例談兩個向量經典不等式的活用

◇ 山東 劉玉珍

本文著重說明如何在適當變形、構造向量的基礎上,靈活運用向量中的兩個經典不等式證明相關不等式以及求解函數的最值、值域問題.

向量經典不等式1|a·b|≤|a|·|b|,即－|a|·|b|≤a·b≤|a|·|b|,對任意向量a,b都成立.

在此應特別注意,對于任意非零向量a,b都有a·b＝|a|·|b|?向量a,b方向相同?存在λ＞0,使得b＝λa;a·b＝－|a|·|b|?向量a,b方向相反?存在λ＜0,使得b＝λa.

例1已知sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1,證明:

證明欲證原式成立,即證|sinαcosα＋sinβ·.構造向量

則由已知得

所以由向量不等式|a·b|≤|a|·|b|,可得

例2求f(x)＝3 1－x＋ 3＋4x的最大值.

解析

當且僅當a＝λb(λ＞0),即亦即x＝時,不等式取等號.

向量經典不等式2||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|對任意向量a,b都成立.在此應特別注意,對于任意非零向量a,b都有|a|＋|b|＝|a＋b|?向量a,b方向相同;|a|＋|b|＝|a－b|?向量a,b方向相反;||a|－|b||＝|a＋b|?向量a,b方向相反;||a|－|b||＝|a－b|?向量a,b方向相同.

例 3求 函 數的最小值.

解析

當且僅當a＝λb(λ＜0),即

亦即x＝0(此時λ＝－1)時,不等式取等號.

故當x＝0時,f(x)取得最小值2 3.

例4已知函數f(x)＝x2＋x＋1－,求函數f(x)的值域.

解析

若向量a,b方向相同,則a＝λb(λ＞0),即但該方程組無解,從而上述不等式中的等號取不到.

故所求函數f(x)的值域為(－1,1).

綜上,利用向量經典不等式解題的關鍵在于結合構造向量題設條件或目標問題中有關表達式的外在結構特點,側重考慮“平方和”或“之積之和”的形式等.