高中數(shù)學(xué)教材核心價(jià)值的體現(xiàn)
———以三角問題為例談教材內(nèi)容的有效利用

◇ 新疆 項(xiàng)玉敏

教材是幾代教育專家智慧的結(jié)晶,是教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)的主要載體,也是高考命題的重要參考依據(jù).但目前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,部分教師不知如何利用教材,甚至采用校本教材或教師自行制作的導(dǎo)學(xué)案代替了教材,使教材成了擺設(shè).本文以人教版高中數(shù)學(xué)教材為例,說明教材的核心價(jià)值所在.

1 “章節(jié)引言”的引導(dǎo)作用

教材中在每一知識(shí)模塊之前都有對(duì)該章節(jié)內(nèi)容的總結(jié)性介紹,介紹該章節(jié)內(nèi)容的來龍去脈,介紹該章節(jié)內(nèi)容的數(shù)學(xué)文化,介紹章節(jié)的典型問題以及處理問題的視角,甚至包括該章節(jié)與前面已學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián).

案例1三角恒等變換的章引言.

教材引言提取:在“三角函數(shù)”的學(xué)習(xí)中,我們學(xué)過了誘導(dǎo)公式,如

即將角α的終邊轉(zhuǎn)動(dòng),所得角的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值存在某種關(guān)系.如果把π換成β,那么α＋β的三角函數(shù)值與α,β的三角函數(shù)值有什么關(guān)系?

據(jù)此可見章引言中不僅介紹了前后知識(shí)的關(guān)聯(lián),還為我們教學(xué)提供了引課的方式.以這樣的方式引出所學(xué)內(nèi)容,盡顯自然.

2 “典型例題”的典型功能

因?yàn)榻滩娜萘克?其中所給出的例題或習(xí)題都具有典型性和代表性,例題是高考中重要的考查題型,求解方法是解答此類問題的常用通法,我們可以將這種通法類比應(yīng)用到其他問題的解答中.

案例2(《必修4》第137頁例3)如圖1,點(diǎn)P(x,y)與原點(diǎn)O的距離保持不變,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ到點(diǎn)P′(x′,y′),求證:

設(shè)以O(shè)P為終邊的角為α,則以O(shè)P′為終邊的角為α＋θ,進(jìn)而利用三角函數(shù)的定義及兩角和的正、余弦公式進(jìn)行求解.本題的證明過程非常簡捷,但這一過程給我們提供了一種處理類似問題的方法,即尋找已知點(diǎn)與未知點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.

圖1

例1(2017年江蘇卷Ⅰ)如圖2所示,同一平面內(nèi)的向量的模分別為1,1,若R),則m＋n＝_________.

圖2

求解本題可利用坐標(biāo)法,即通過以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)、OA方向?yàn)閤軸建立平面直角坐標(biāo)系,將點(diǎn)B的坐標(biāo)利用α＋45°的三角函數(shù)值來表示,再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解,以下略.

3 “思考內(nèi)容”的啟發(fā)目的

通常在教材中某一知識(shí)點(diǎn)的后面,會(huì)有相應(yīng)的“思考與討論”內(nèi)容,通過對(duì)這些內(nèi)容的研究,能夠使我們對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解更加深刻,甚至這些內(nèi)容還成為高考命題的來源.

案例3(《必修4》第20頁“思考與討論”)角α＝請(qǐng)任選一個(gè)具體的x值,比較x,sinx,tanx這三個(gè)數(shù)的大小,然后想一想,所得關(guān)系在內(nèi)對(duì)任意x是否都成立.

通過思考、討論,不難得出sinx＜x＜tanx,進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)y＝x是y＝sinx,y＝tanx在點(diǎn)(0,0)的切線.在此基礎(chǔ)上可以命制出精彩的高考試題.

例2(2014年北京卷)已知f(x)＝xcosx－求證:f(x)≤0;(2)若a＜恒成立,求amax,bmin.

本題的命題背景就是以y＝x與y＝sinx在區(qū)間內(nèi)的關(guān)系,由聯(lián)想斜率模型,即點(diǎn)(x,sinx)與原點(diǎn)連線的斜率,可得.

總之,教學(xué)中要將教材回歸落到實(shí)處,要尊重教材,有效利用教材,才能充分體現(xiàn)教材的核心價(jià)值.