高中數學教材核心價值的體現
———以三角問題為例談教材內容的有效利用

◇ 新疆 項玉敏

教材是幾代教育專家智慧的結晶,是教師教學、學生學習的主要載體,也是高考命題的重要參考依據.但目前的高中數學教學中,部分教師不知如何利用教材,甚至采用校本教材或教師自行制作的導學案代替了教材,使教材成了擺設.本文以人教版高中數學教材為例,說明教材的核心價值所在.

1 “章節引言”的引導作用

教材中在每一知識模塊之前都有對該章節內容的總結性介紹,介紹該章節內容的來龍去脈,介紹該章節內容的數學文化,介紹章節的典型問題以及處理問題的視角,甚至包括該章節與前面已學內容的關聯.

案例1三角恒等變換的章引言.

教材引言提取:在“三角函數”的學習中,我們學過了誘導公式,如

即將角α的終邊轉動,所得角的三角函數值與α的三角函數值存在某種關系.如果把π換成β,那么α＋β的三角函數值與α,β的三角函數值有什么關系?

據此可見章引言中不僅介紹了前后知識的關聯,還為我們教學提供了引課的方式.以這樣的方式引出所學內容,盡顯自然.

2 “典型例題”的典型功能

因為教材容量所限,其中所給出的例題或習題都具有典型性和代表性,例題是高考中重要的考查題型,求解方法是解答此類問題的常用通法,我們可以將這種通法類比應用到其他問題的解答中.

案例2(《必修4》第137頁例3)如圖1,點P(x,y)與原點O的距離保持不變,逆時針旋轉角θ到點P′(x′,y′),求證:

設以OP為終邊的角為α,則以OP′為終邊的角為α＋θ,進而利用三角函數的定義及兩角和的正、余弦公式進行求解.本題的證明過程非常簡捷,但這一過程給我們提供了一種處理類似問題的方法,即尋找已知點與未知點坐標之間的關系.

圖1

例1(2017年江蘇卷Ⅰ)如圖2所示,同一平面內的向量的模分別為1,1,若R),則m＋n＝_________.

圖2

求解本題可利用坐標法,即通過以O為坐標原點、OA方向為x軸建立平面直角坐標系,將點B的坐標利用α＋45°的三角函數值來表示,再利用向量的坐標運算進行求解,以下略.

3 “思考內容”的啟發目的

通常在教材中某一知識點的后面,會有相應的“思考與討論”內容,通過對這些內容的研究,能夠使我們對所學內容的理解更加深刻,甚至這些內容還成為高考命題的來源.

案例3(《必修4》第20頁“思考與討論”)角α＝請任選一個具體的x值,比較x,sinx,tanx這三個數的大小,然后想一想,所得關系在內對任意x是否都成立.

通過思考、討論,不難得出sinx＜x＜tanx,進一步探究發現y＝x是y＝sinx,y＝tanx在點(0,0)的切線.在此基礎上可以命制出精彩的高考試題.

例2(2014年北京卷)已知f(x)＝xcosx－求證:f(x)≤0;(2)若a＜恒成立,求amax,bmin.

本題的命題背景就是以y＝x與y＝sinx在區間內的關系,由聯想斜率模型,即點(x,sinx)與原點連線的斜率,可得.

總之,教學中要將教材回歸落到實處,要尊重教材,有效利用教材,才能充分體現教材的核心價值.