看“一”的眼光

郜舒竹

【摘? ?要】數學課程內容中，除了有客觀、統一和確定的標準單位，相對于人的認知過程，還有主觀、個性和多樣的意念單位。許多內容的理解都與意念單位的選擇、使用、分解、組合、轉化有關。看“一”的眼光，指的是對“一”的選擇和使用。這種單位化的眼光對于建立數學課程內容之間的聯系以及解決問題過程中方法的生成，都會起到重要的作用。不僅如此，單位化作為一種認知能力，也是數學課程內容中所蘊含著的育人因素。數學教學應當讓學生親力親為地經歷這樣的認知過程，發展認知能力，實現數學的教育性。

【關鍵詞】單位;標準單位;意念單位;認知能力

“一”也叫“單位（Unit）”，數學課程中許多內容都與單位的選擇、使用、分解、組合、轉化有關。看“一”的眼光，指的是對單位的選擇和使用。作為人的認知能力，這種眼光對于建立數學課程內容之間的聯系以及解決問題過程中方法的原創生成，都會起到重要作用。

一、什么是“單位”

通常的數學課程與教學中，會把“一，十，百，千……”叫作十進制記數法的“計數單位”或“記數單位”;把小數中的“0.1，0.01，0.001……”叫作小數單位;把“[12]，[13]，[14]……”這樣分子是1的分數叫作“分數單位”;把“米，厘米，毫米……”叫作長度單位，諸如此類用于量的“度量（Measurement）”，還有面積單位、體積單位、角的度量單位、質量（重量）單位、時間單位、貨幣單位、溫度單位，等等。

這樣的單位具有相對“客觀、統一、確定”的特點。“客觀”指的是外在于學習者的主觀意愿;“統一”指的是長期以來人們的普遍公認并且約定俗成，遵循這樣統一的標準，可以實現盡人皆知、沒有歧義的表達。正是這樣的客觀性和統一性使得單位具有了約定俗成的“確定性”，不會依據人的主觀意愿進行改變。因此，這種單位實質是一種具有普遍意義并且約定俗成的語言，是實現表達和交流的工具。這種具有客觀性、統一性和確定性的單位可以稱之為“標準單位（Standard Units）”。

從認知的角度看，單位實質是人對待“一”的看法和想法，有了“一”，才能使得“幾”或“多少”具有確定的意義。如果把看待和選擇“一”的過程視為人的主觀行為或思維過程，這樣的過程也叫作“單位化（Unitizing）”，是人的一種認知方式，也可以認為是人的一種認知能力，具有主觀、個性和多樣的特點。

正如古希臘歐幾里得在《原本》中把“單位”定義為“每件事都是單位”[1]，而表達多少的數（自然數）是單位的復合。比如通常所說的“6個蘋果”，是把“1個蘋果”視為“一”。如果改變對“一”的看法，把“2個蘋果”視為“一”，那么“6”這個數就變為“3”，6個蘋果的說法就變為“3對蘋果”。再比如“6根筷子”中的“6”是將“1根筷子”看作“一”。如果改變看法，把“2根筷子”視為“一”，那么“6根筷子”的說法就變成“3雙筷子”。原本用數“6”表達的對象，改變為用數“3”來表達。

因此可以說，用于表達“幾”的數，是相對于“一”而言的，看待“一”的眼光，決定了用哪個數表示“幾”。因此數是人頭腦中建構的概念，屬于抽象的范疇。

更進一步，還可以把“6個蘋果”這個整體視為“一”，這時其中的“1個蘋果”就需要用分數“[16]”來表達，其中的“2個蘋果”就變為“[26]”。如果把“2個蘋果”看作“1對蘋果”，那么“6個蘋果”的表達就變為“3對蘋果”，同樣把“3對蘋果”視為“一”，這時“1對蘋果”（2個蘋果）的表達就成為分數“[13]”。這樣用變化的眼光看待單位的過程，體現了“[26]=[13]”的意義，也就是分數中“約分”的過程，小學數學課程內容中也叫作“分數基本性質”。

按照這樣的理解，單位實質是人與環境互動中，對客觀對象生成看法和想法過程中的產物，是思維中形成的對象或實體（Conceptual Entity），是人主觀生成或“建構（Construction）”出來的產物。相對于前面所說的客觀、統一和確定的標準單位，這樣主觀建構的單位也叫作意念中的單位，簡稱為“意念單位（Conceptual Unit）”[2]，具有主觀、個性和多樣的特點。

意念單位作為一種思維形式，類似于認知語言學中“意象圖式轉換（Image Schema Transformation）”下的“一多轉換（Multiplex-Mass）”，簡單說就是“視多為一”或“視一為多”的思維方式和表達方式，把“很多”看作并表達為“一群”，“一群”是由很多“1個”組成，因此“一群”中的“一”，同時也有“多”的含義。如果把“一”與“多”視為對立的雙方，“一多轉換”表現為對立的雙方的相互轉化，滲透了辯證思維中對立統一的觀念。

因此對于單位的認識，一方面，可以認為是約定俗成的標準單位，具有客觀、統一和確定的特點。另一方面，也可以認為是主觀、個性和多樣的意念單位，意念單位的生成、使用和轉化，就成為數學學習過程中應當逐步經歷并提升的認知能力。

二、情境相同，算式多樣

對于整數乘法算式，比如“3[×]2=6”，如果其中的因數“3”表示類似于前面蘋果的“3個”對象，這時“3”的意義就是“多”，表示3個“一”，這里的“一”表示的是“1個”對象。算式中另一個因數“2”，其意義是把“3個”視為“一”，表示包含2個這樣的“一”，這里的“一”不再是“1個”，而是“3個”，是把“3個”這樣的“多”視為“一”。

第一個因數“3”表達的是具體“對象（Object）”的屬性，第二個因數“2”則不同，表達的是包含這種具體對象的“類（Collection）”或“集合（Set）”。類在認知科學中往往用熟悉的“容器（Container）”進行隱喻或類比。因此“3[×]2=6”的運算過程，可以理解為將3個對象分2次放入2個容器中，進而產生了一個包含6個對象的新容器（如圖1）。

放入之前因數“3”表示“3個”對象，放入容器過程中是將“3個”對象視為“一”，結果的2類合并成為一個新的類，包含6個對象。

因此，運算“乘”在思維中具有“進入（Into）”的意義，前面提及的歐幾里得《原本》中對于乘法的定義就表達了這樣的意義。17世紀英國著名數學家、牛頓的老師艾薩克·保羅（Isaac Barrow：1630—1677）所著英文版《原本》第7卷的命題16這樣描述乘法：“如果兩個數A，B相乘，其中一個進入另外一個，產生兩個數AB，BA，那么這兩個數相等。”[3]這一命題實際敘述了乘法所滿足的交換律，其中對乘法過程就使用了“進入（Into）”的表述。后來歐洲許多算術教科書中都沿用了這樣的表述。[4]

接下來的問題是在整數乘法意義的基礎上，如何認識一個分數與整數相乘？如何使得分數與整數相乘的意義與整數乘法意義進行銜接？通常的做法是利用分數加法。比如“[29×3]”，利用相同加數求和，改寫為“[29+29+29]”進行計算。事實上，還可以運用意念單位的改變，認識分數乘整數。

如果將算式“3[×]2=6”中因數3表示的3個對象，看作是包含于9個對象中的一個局部。把“9個”對象視為“一”，那么3個對象相對于這個“一”，就成為[39]。與圖1所示整數乘法同樣的過程得到的6個對象，相對于9個對象這個“一”來說，就成為[69]（如圖2）。

因此算式“3[×]2=6”就改變為分數乘法算式：

[39×2=3×29=69]

由此看出，兩個不同的算式“3[×]2=6”與“[39×2=69]”，都表達了6個對象平均分配的過程，區別在于看待“一”的眼光不同。“3[×]2=6”是將“1個”視為“一”，“[39×2=69]”是將“9個”視為“一”。看“一”的眼光的改變，導致寫出的算式不同。從兩個整數的乘法，自然而然地過渡到分數乘整數。

對于除法運算也是類似，比如將6個蘋果平均分給2個人，每人分3個，用整數除法算式表示為“[6÷2=3]”。如果把6個蘋果看作是從9個蘋果中取出來的，把“9個”看作“一”，那么6個蘋果相對于這個“一”，就成為[69]，分得的結果每人3個，相對于“一”，就成為[39]。相應的算式就成為：

[69÷2=6÷29=39]

因此從實際情境看，將6個蘋果平均分給2個人的過程，是一個客觀的事件或過程，人用數學符號表達這個事件時，就有主觀、個性和多樣的特點。如果把“1個蘋果”視為“一”，符號表達就是“[6÷2=3]”;把“9個蘋果”視為“一”，列出的算式就成為“[69÷2=39]”。因此可以知道數學認知過程的一個重要特征：情境相同，算式多樣。

計算教學的一個重要內容是理解算式的意義，這樣的意義一方面來源于具體的涉身活動和經驗，另一方面是建立與已有知識和經驗的聯系。用變化的眼光看單位，可以將整數和分數視為同樣對象的不同表達，分數的出現實質是人的建構，源于人看待單位眼光的改變。

前面出現的分數[39]，可以約分為[13];[69]可以約分為[23]。換言之，也就是把[39]與[13]看作是相等關系，同樣[69]和[23]也具有這樣的相等關系。用等式表示為：

[39]=[13]，[69]=[23]

如前所述，類似于此約分的過程，是看“一”的眼光發生了兩次變化的結果。第一次是將“3個”視為“一”，從而“9個”就成為“3”，這個“3”表達的是3組，每一組中包含“3個”。第二次是將“3組”視為“一”，每一組就成為“[13]”，其中的“6個”就是“2組”，自然成為[23]。

因此[39]和[69]分別表達的是把“9個”視為“一”中的3個和6個，而[13]和[23]分別表達的是把“3組”看作“一”中的1組和2組。因此類似于[39]=[13]和[69]=[23]這樣約分的過程，實質是在同樣情境下，看“一”的眼光發生了變化，使得同樣的情境出現了不同的表達。

三、方法的方法

數學教學中一個需要研究的問題是如何幫助學生原創生成解決問題的方法，也即讓學生經歷思考“方法的方法（Methodology）”的過程。表面看不同的算法或解題方法，實質是在同樣或類似的看法和想法中生成的，這樣的看法和想法是高于操作性方法的“大想法（Big Idea）”。下面以小學數學課程內容中與分數相關的問題為例加以說明。與分數相關的問題通常分為三類。

第一類：求一個數的幾分之幾，用乘法。

第二類：求一個數是另一個數的幾分之幾，用除法。

第三類：已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數，用除法。

其中第三類問題也稱為“知幾求一”的問題，被認為是與分數相關問題中最困難的。在人教版小學數學六年級上冊“分數除法”單元中的例題敘述為：

小明的體重是35kg，他的體重比爸爸的體重輕[815]。小明爸爸的體重是多少千克？

從小明體重比爸爸輕[815]，可以知道小明體重相當于爸爸體重的[（1-815）=715]。也就是已知爸爸體重的[715]是35kg，求爸爸體重（知幾求一）。傳統的教法是讓學生記住：已知一個數的幾分之幾是多少，要求這個數，用除法。現在是已知爸爸體重的[715]是35kg，用除法“[35÷715]”計算出爸爸體重為75kg。

像這樣“模仿+記憶+練習”的學習方式，自然缺失了意義的理解。學生對于整數除法的已有經驗是“等分”和“包含”，而此時所出現的算式“[35÷715]”，用等分和包含都很難解釋其意義。為了規避這種困難，如今教科書中通常采用方程的方法解決問題，其算理的依據是乘除運算的互逆關系。

設爸爸體重為[x] kg，依據等量關系“爸爸體重減去小明體重比爸爸輕的部分等于小明體重”，列出方程“[（1-815）x=35]”或“[x-815x=35]”，通過解方程得到爸爸體重為75kg。這樣的處理能夠實現算法的合理性，但仍然缺乏對算式意義的理解。事實上，如果以變化的眼光看待“一”，可以結合學生已有經驗，生成多種自然而然且合情合理的方法。

方法1：視分數單位“[115]”為“1”（如圖3）。

如果視“[115]”為“1”，那么[715]就改變為“7”，小明體重比爸爸少的部分就是“8”，這樣爸爸體重就成為“15”（如圖4）。

問題自然而然地轉化為用整數可以解決的問題：已知一個數的7倍等于35，求這個數的15倍是多少？可以用下面算式計算出結果：

[35÷7×15=75]（kg）

方法2：視“小明體重”為“1”（如圖5）。

如果視小明體重為“1”，那么爸爸體重就相當于將小明體重平均分為7份中的15份，用假分數表達為“[157]”，或用帶分數表達為“[217]”（如圖6）。

這時問題已經轉變為求一個數的幾倍或幾分之幾的指向乘法計算的問題：求35的[157]是多少？運用乘法可以計算出爸爸體重：

[35×157=75]（kg）

除了上面兩個方法，還可以把“爸爸和小明體重總和”看為“1”，此時相當于將“1”平均分為22份，小明體重為其中的7份，用分數表達為[722];爸爸體重為其中的15份，用分數表達為[1522]（如圖7）。有了這樣的表達，自然建立了小明體重和爸爸體重之間的關系，學生可以在明晰關系的基礎上，產生出多樣的算法。

綜上，看“一”的眼光是單位化的認知方式和能力，是把“一”或“單位”視為意念中的對象或實體，是主觀、個性和多樣的思維產物。靈活多樣地選擇和使用單位，可使得數量以及數量關系的表達方式隨之變化。同樣的對象出現不同的表達，體現了數學符號的語言特征，即表達方式的多樣性。

不僅如此，看待單位眼光的改變，使得解決問題的方法呈現多樣化，表面看是不同的方法，其背后具有同樣的大想法。如果把解題時列出算式并且計算出結果的過程叫“做法”，那么對于單位的選擇和使用，就體現了這種做法的想法，也就是方法的方法。

數學教育的初心是教育，教育的初心是人的發展。充分利用數學課程內容中所蘊含著的育人因素，使學生在數學學習過程中親力親為地經歷認知過程、發展認知能力，實現數學的教育功能，應當成為數學教學追求的目標。

參考文獻：

[1]REDMAYNE. Euclids Elements[M]. LONDON： R. Mount， F. and B. Sprint， 1714： 142.

[2]BEHR， KHOURY， HAREL， etc. Conceptual Units Analysis of Preservice Elementary School Teachers' Strategies on a Rational-Number-as-Operator Task[J]. Journal for Research in Mathematics Education ， 1997， 28（1）：48-69.

[3]BARROW. Euclids Elements[M]. LONDON： W. Redmayne， 1714： 153.

[4]COCKER. Cockers Arithmetick[M]. LONDON： W. Ricbardson， 1702： 38.

（首都師范大學初等教育學院? ?100048）