多種不確定性并存情形下的非常規(guī)可靠性度量方法

李玲玲 段超穎 李志剛

多種不確定性并存情形下的非常規(guī)可靠性度量方法

李玲玲 段超穎 李志剛

（河北工業(yè)大學(xué)電磁場與電器可靠性省部共建重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津 300130）

多種不確定性（如隨機(jī)性、模糊性和不完全可信性）并存的情形在現(xiàn)實(shí)中很常見，但此情形下的可靠性度量并未得到充分研究。本文基于模糊理論和云理論提出了一種適用于上述情形的可靠性度量方法，即：首先針對應(yīng)力、強(qiáng)度中的模糊變量，根據(jù)其不完全可信性采用云理論對其隸屬函數(shù)進(jìn)行云化處理，并在不同可信度下獲得以上、下隸屬函數(shù)描述的正態(tài)云生成區(qū)間值Fuzzy集；然后對上、下隸屬函數(shù)進(jìn)行處理，使其擁有概率密度函數(shù)的數(shù)學(xué)特征，進(jìn)而采用常規(guī)的應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型計(jì)算可靠度的上、下限，構(gòu)造一個(gè)可靠度區(qū)間，最終獲得一條由一系列可靠度區(qū)間及其相應(yīng)的可信度構(gòu)造的分布曲線，以此作為可靠性度量結(jié)果。本文方法不僅可綜合處理多種不確定性，且能使更多信息保留在可靠性度量結(jié)果中。

可靠性度量 隨機(jī)性 模糊性 不完全可信性 區(qū)間值 Fuzzy集 正態(tài)云

1 引言

常規(guī)的可靠性理論以概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)，稱為概率可靠性模型[1-2]，但是它只研究工程設(shè)計(jì)中存在的隨機(jī)現(xiàn)象，僅能處理隨機(jī)性而不能處理模糊性、不完全可信性等其他類型的不確定性（所謂不完全可信性，是指人們對相關(guān)信息并不完全信任），因此模糊可靠性[3]、能度可靠性、穩(wěn)健可靠性以及在穩(wěn)健可靠性基礎(chǔ)上發(fā)展起來的區(qū)間可靠性[4]等相繼被提出，然而這些方法在綜合處理多種不確定性方面仍存在一定局限性。局限性一方面表現(xiàn)在上述方法只針對一種或兩種不確定性，如以模糊概率公式或截集概念為基礎(chǔ)的模糊可靠性只是探討變量的隨機(jī)性和模糊性對可靠度的影響；另一方面表現(xiàn)在可靠性的度量結(jié)果上，只用單一值或者區(qū)間值表示度量結(jié)果并不完善，不能夠滿足工程師快速查找可靠度的需求。當(dāng)前，將人工智能、計(jì)算智能方法[5-8]引入可靠性工程以解決并存于實(shí)際問題中的各種不確定因素是一種新的發(fā)展趨勢，文獻(xiàn)[9-10]分別提出了一種基于D-S證據(jù)理論的系統(tǒng)可靠性分析、評估方法，但是應(yīng)用證據(jù)理論的算法是一個(gè)獨(dú)立系統(tǒng)，并不能得到常規(guī)可靠性與模糊可靠性的聯(lián)系；文獻(xiàn)[11]提出了一種基于云理論、可處理多種不確定性的可靠性度量模型，但其可靠性度量結(jié)果被表達(dá)為一種云分布，實(shí)用性較差，不利于為實(shí)際問題的解決提供直接指導(dǎo)。

針對這種情況，本文提出一種旨在同時(shí)處理隨機(jī)性、模糊性和不完全可信性的非常規(guī)可靠性度量方法，即基于正態(tài)云生成區(qū)間值Fuzzy集方法。該方法可以獲得可靠度可信度曲線，適用于已知應(yīng)力、強(qiáng)度分布或通過計(jì)算可以獲得其分布的精密產(chǎn)品的可靠性度量，不僅使度量結(jié)果蘊(yùn)含了比現(xiàn)有方法更多的信息，而且克服了文獻(xiàn)[11]方法“實(shí)用性差”的不足。

2 基礎(chǔ)知識簡介

2.1 模糊可靠度計(jì)算模型

文獻(xiàn)[12]提出了一種綜合處理隨機(jī)不確定信息與模糊不確定信息的可靠度計(jì)算方法。該方法在應(yīng)力、強(qiáng)度為隨機(jī)變量、模糊變量的任意組合下都具有可用性，其特點(diǎn)是首先處理應(yīng)力、強(qiáng)度中的模糊變量，使之具有與隨機(jī)變量相同的數(shù)學(xué)性質(zhì)；然后借助應(yīng)力—強(qiáng)度干涉模型獲得一個(gè)以分布函數(shù)（分布曲線）表達(dá)的可靠度度量結(jié)果，從而建立起一個(gè)可同時(shí)處理隨機(jī)性與模糊性的可靠度計(jì)算模型。以下對文獻(xiàn)[12]中可靠度計(jì)算方法做一簡單說明。

（1）當(dāng)應(yīng)力、強(qiáng)度變量均為隨機(jī)變量時(shí)，應(yīng)用傳統(tǒng)可靠性理論中經(jīng)典的應(yīng)力—強(qiáng)度干涉模型進(jìn)行可靠度求解。應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型如圖1所示。

圖1 應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型Fig.1 Stress-intensity interference model

在論域U范圍內(nèi)，常規(guī)可靠性理論中可靠度R計(jì)算式為式中，f(s)、g(r)分別為隨機(jī)應(yīng)力、隨機(jī)強(qiáng)度的概率密度函數(shù)。

當(dāng)s=r=a時(shí)，給出強(qiáng)度一定時(shí)產(chǎn)品安全程度和應(yīng)力一定時(shí)產(chǎn)品安全程度的定義，分別用字母表示為P、Q，并有

所以，可以將常規(guī)可靠度計(jì)算式（1）表示為

若令P為x軸，Q為y軸，當(dāng)a在U上自由取值、并遍歷 U時(shí)，即獲得了無數(shù)個(gè)序偶（P, Q），則可以得到一條表征產(chǎn)品可靠度的曲線，如圖 2所示，曲線與x軸、y軸所圍面積即為產(chǎn)品可靠度值。

圖2 可靠度分布曲線Fig.2 The reliability distribution curve

（2）當(dāng)應(yīng)力、強(qiáng)度變量其中一個(gè)為模糊變量或者兩者均為模糊變量時(shí)，首先對模糊變量的隸屬函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將其轉(zhuǎn)換為具有概率密度函數(shù)性質(zhì)的函數(shù)；再將轉(zhuǎn)換好的函數(shù)帶入常規(guī)可靠性計(jì)算方法中計(jì)算。

假設(shè)模糊變量的隸屬函數(shù)為μU(x)，轉(zhuǎn)換過程按式（3）進(jìn)行處理。

p(x)便成為了具有概率密度函數(shù)性質(zhì)的函數(shù)，稱這個(gè)過程為歸一化處理，稱p(x)為歸一化函數(shù)，此后可以按式（1）計(jì)算模糊可靠度。

2.2 云滴貢獻(xiàn)度

當(dāng)超熵He=0時(shí)，云滴分布為高斯分布，此時(shí)所有云滴都分布在高斯曲線上。隨著超熵 He逐漸增大，云滴開始離散，當(dāng)En-3He＞0時(shí)，有99.74%的云滴落在曲線 y1和 y2所圍的區(qū)域內(nèi)，其中，如圖3所示。這就是正態(tài)云“熵的 3σ準(zhǔn)則”。

圖3 熵的3σ準(zhǔn)則Fig.3 The 3σ criterion of Entropy

圖4 超熵的3σ準(zhǔn)則Fig.4 The 3σ criterion of Hyper entropy

表1列出了熵和超熵的三個(gè)特殊倍數(shù)時(shí)對應(yīng)的云滴貢獻(xiàn)度。同樣，可以根據(jù)式（4）計(jì)算熵和超熵任意倍數(shù)時(shí)對應(yīng)的云滴貢獻(xiàn)度。

表1 云滴定性貢獻(xiàn)Tab.1 Qualitative contribution of cloud droplets

2.3 正態(tài)云生成區(qū)間值Fuzzy集

根據(jù)區(qū)間值Fuzzy集理論以及云滴對定性概念的貢獻(xiàn)度，給出正態(tài)云生成區(qū)間值 Fuzzy集的定義[18]。

設(shè) C是論域 U上的定性概念，其正態(tài)云的數(shù)字特征為(Ex, En, He)，令，其中，，則稱為正態(tài)云生成的一個(gè)區(qū)間值Fuzzy集。該定義說明由云滴產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)主要（99.74%）落在區(qū)間值Fuzzy集C的值域帶子里。根據(jù)正態(tài)云生成區(qū)間值Fuzzy集定義和表 1的內(nèi)容，可以得出一個(gè)衍生概念，n倍正態(tài)云生成區(qū)間值 Fuzzy集。在正態(tài)云生成區(qū)間值 Fuzzy集定義中，令，其中，且。稱為n倍正態(tài)云生成的區(qū)間值Fuzzy集。

該衍生定義與原始定義最主要的區(qū)別是將3倍超熵?cái)U(kuò)展成為[0,3]區(qū)間上任意實(shí)數(shù)倍數(shù)的超熵，當(dāng)取定一個(gè)超熵倍數(shù)n時(shí)，同樣可以求得云滴貢獻(xiàn)度C來表征云滴產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)落在區(qū)間值Fuzzy集的值域帶內(nèi)的概率，此時(shí)，每一個(gè)n值都對應(yīng)一個(gè)可信度。可信度T滿足，。比如當(dāng)n=0時(shí)，和相同，均為該云模型的期望曲線，強(qiáng)度的區(qū)間值Fuzzy集成為了對應(yīng)的隸屬函數(shù)曲線，即只考慮到了模糊性的曲線，這樣就違背了考慮隨機(jī)性、模糊性和不完全可信性這三種不確定性的初衷，所以認(rèn)為其可信度 T=0、n=3時(shí)，應(yīng)力和強(qiáng)度的區(qū)間值Fuzzy集曲線值域帶子很寬，即云模型的厚度較大，不完全可信性取值較大，此時(shí)對應(yīng)的云滴貢獻(xiàn)度雖然很高，但其可信度 T= 0.002 7。圖5展示了當(dāng)n=1時(shí)，有68.26%的云滴落在區(qū)間值Fuzzy集的值域帶里，其余云滴落在值域帶外。

圖5 1倍正態(tài)云生成區(qū)間值Fuzzy集Fig.5 One times Gaussian cloud formed interval-valued Fuzzy set model

3 模型建立及算例分析

直流電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩受電樞繞組上的電樞電流影響，針對電機(jī)轉(zhuǎn)矩的可靠性能進(jìn)行分析，假設(shè)電流應(yīng)力變化范圍，電流強(qiáng)度變化范圍。設(shè)該型號產(chǎn)品應(yīng)力變量為隨機(jī)變量，且符合正態(tài)分布，，強(qiáng)度為模糊變量，其模糊隸屬函數(shù)為。根據(jù)以上信息建立隨機(jī)應(yīng)力-模糊強(qiáng)度的可靠性度量模型。

在該算例中，應(yīng)力為隨機(jī)變量不作處理，將模糊強(qiáng)度變量根據(jù)其不完全可信性采用云理論對其隸屬函數(shù)進(jìn)行云化處理，并在不同可信度下獲得以上、下隸屬函數(shù)描述的正態(tài)云生成區(qū)間值Fuzzy集；然后對強(qiáng)度變量的上、下隸屬函數(shù)進(jìn)行處理，使其擁有概率密度函數(shù)的數(shù)學(xué)特征，進(jìn)而采用常規(guī)的應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型計(jì)算隨機(jī)應(yīng)力、模糊強(qiáng)度模型可靠度的上、下限，構(gòu)造一個(gè)可靠度區(qū)間，最終獲得一條由一系列可靠度區(qū)間及其相應(yīng)的可信度構(gòu)造的分布曲線，以此作為可靠性度量結(jié)果。

3.1 建立 3倍正態(tài)云生成區(qū)間值 Fuzzy集

算例中，應(yīng)力變量為隨機(jī)變量而且概率密度函數(shù)已知，就不再做處理；如果針對強(qiáng)度變量源信息可信度為0.9，則強(qiáng)度云模型中的超熵對強(qiáng)度變量建立 3倍正態(tài)云生成區(qū)間值 Fuzzy集模型，此時(shí) 99.74%的云滴落在區(qū)間帶子內(nèi)，模型為

圖6 應(yīng)力-強(qiáng)度區(qū)間值Fuzzy集Fig.6 Stress-intensity interval-valued Fuzzy set model

圖7 3倍正態(tài)云生成應(yīng)力-強(qiáng)度區(qū)間值Fuzzy集Fig.7 Three times Gaussian cloud formed interval-valued Fuzzy set model of stress-intensity model

3.2 模糊可靠度計(jì)算

由于強(qiáng)度變量的隸屬函數(shù)是基于區(qū)間值 Fuzzy集的，即分別擁有上、下兩個(gè)隸屬函數(shù)，以上文中提到的歸一化模糊可靠度計(jì)算方法為基礎(chǔ)，根據(jù)式（4），針對不同的強(qiáng)度隸屬函數(shù)會(huì)有不同的可靠度解，所以，對于可靠度的求解會(huì)有兩種不同的組合方式：①隨機(jī)應(yīng)力和模糊強(qiáng)度的下隸屬函數(shù)組合；②隨機(jī)應(yīng)力和模糊強(qiáng)度的上隸屬函數(shù)組合。以組合①為例說明模糊可靠度的求解過程。

強(qiáng)度模糊變量的下隸屬函數(shù)為

同時(shí)，應(yīng)力一定時(shí)產(chǎn)品安全程度Q為

其中，erf(x)函數(shù)為誤差函數(shù)，是對一個(gè)形如正態(tài)分布的概率密度函數(shù)利用Matlab計(jì)算變上限積分的結(jié)果；。

根據(jù)應(yīng)力、強(qiáng)度的安全概率密度函數(shù) P(l)和Q(l)，可以得到部分P、Q的值，見表2。

表2 部分P、Q值Tab.2 A part of numerical values of P、Q

通過仿真計(jì)算，得到更多 P、Q值，繪制成模糊可靠度分布曲線，如圖 8所示。

圖8 可靠度分布曲線Fig.8 The reliability distribution curve

再根據(jù)式（4）可以算出模糊可靠度為

按照上述計(jì)算原理，對強(qiáng)度變量分別建立n倍正態(tài)云生成區(qū)間值Fuzzy集且），同時(shí)求出對應(yīng)的云滴貢獻(xiàn)度。應(yīng)用 Matlab編程可以分別得到n倍正態(tài)云生成區(qū)間值 Fuzzy集時(shí)，繼電器對應(yīng)的模糊可靠度區(qū)間、貢獻(xiàn)度及可信度，表3列舉了幾個(gè)特殊倍數(shù)時(shí)對應(yīng)的數(shù)據(jù)。

表3 n倍正態(tài)云生成區(qū)間值Fuzzy集對應(yīng)的模糊可靠度區(qū)間和貢獻(xiàn)度Tab.3 Fuzzy reliability intervals and contributions of n times Gaussian cloud formed interval-valued Fuzzy set model of stress-intensity model

圖9將表3中列舉的數(shù)據(jù)繪制成了可靠度可信度分布散點(diǎn)圖。

圖9 可靠度-可信度的分布Fig.9 The reliability-credibility distribution

保持超熵不變即He=0.1時(shí)，改變n的數(shù)值建立應(yīng)力-強(qiáng)度n倍正態(tài)云生成區(qū)間值Fuzzy集，進(jìn)而獲得更多模糊可靠度區(qū)間-可信度的數(shù)據(jù)，圖 10表示n以0.01為步長變化時(shí)獲得的可靠度-可信度分布。

文獻(xiàn)[11]提出了可信度的概念，并繪制了可靠度-可信度分布曲線，用來表征“對象的可靠性度量值在某種程度上是值得相信的”這個(gè)概念的可信程度。圖 10所示可靠度-可信度曲線，得到了和文獻(xiàn)[11]類似的結(jié)果。

圖10 步長為0.01時(shí)可靠度-可信度分布Fig.10 The reliability-credibility distribution when step is 0.01

以圖10例均為He=0.1情況下取不同步長時(shí)的可靠度-可信度曲線；當(dāng)超熵變化時(shí)，即對模糊變量（本文指強(qiáng)度）的不完全可信性取值變化時(shí)，獲得的可靠度-可信度分布曲線，如圖 11所示，兩條曲線說明了超熵的大小對可靠度的影響。可見，超熵的變化并不影響可信度為1時(shí)的可靠度取值，只是改變了可靠度-可信度的分布形式。

圖11 He=0.05時(shí)可靠度-可信度的分布Fig.11 The reliability-credibility distribution with different Hyper entropys

3.3 繼電器溫度實(shí)例

某型號繼電器溫度的變化范圍為-40～70℃，認(rèn)為此區(qū)間為溫度強(qiáng)度區(qū)間，若溫度應(yīng)力的變化范圍為-60～40℃，假設(shè)其溫度應(yīng)力和溫度強(qiáng)度均為模糊變量，且隸屬函數(shù)如下，取超熵為 0.1時(shí)，云化的區(qū)間值Fuzzy集模型如圖 12所示。

圖12 3倍正態(tài)云生成應(yīng)力-強(qiáng)度區(qū)間值Fuzzy集Fig.12 Three times Gaussian cloud formed interval-valued Fuzzy set model of stress-intensity model

由圖 12可以看出應(yīng)力與強(qiáng)度干涉區(qū)域較大，根據(jù)式（2）可以計(jì)算出模糊可靠度為=0.685，圖 13為步長為0.1，超熵為0.1時(shí)獲得的繼電器溫度應(yīng)力強(qiáng)度的可靠度可信度分布圖，由圖 13中可以讀出可靠度為0.685時(shí)對應(yīng)的可信度為1，與計(jì)算結(jié)果相符。

圖13 步長為0.1時(shí)可靠度-可信度分布Fig.13 The reliability-credibility distribution when step is 0.1

由圖 13可以看出繼電器溫度為例，可靠度在[0.68,0.69]區(qū)間范圍內(nèi)變化，可靠性能較低。同樣可以得出超熵為 0.1，步長為 0.01時(shí)可靠度可信度分布曲線，如圖 14所示。

圖14 步長為0.01時(shí)可靠度-可信度分布Fig.14 The reliability-credibility distribution when step is 0.01

4 結(jié)論

在常規(guī)的可靠性分析中，除了隨機(jī)不確定信息和模糊不確定信息，通常還需要處理不完全可信的不確定信息，為此，本文提出了基于正態(tài)云生成的區(qū)間值Fuzzy集模型，能夠同時(shí)處理上述不確定性，并得出如下結(jié)論，該可靠性度量模型適用于應(yīng)力、強(qiáng)度變量為隨機(jī)或模糊的任意組合，可以應(yīng)用到機(jī)械、電器產(chǎn)品的可靠性度量中，由于獲得的模糊可靠度精度較高，該模型尤其適用于對于可靠性要求較高的領(lǐng)域中。

（1）不完全可信性則存在于對源信息的可靠性的信任程度以及對于同一概念的不同認(rèn)知。利用正態(tài)云的超熵來考慮源信息的不完全可信性解決了對第三種不確定性的處理。

（2）對于含有模糊信息的變量，對變量建立區(qū)間值Fuzzy集，利用其上、下隸屬函數(shù)計(jì)算模糊可靠度，并用區(qū)間表示，這個(gè)過程考慮了變量的模糊性；而且利用云模型對區(qū)間值Fuzzy集進(jìn)行云化，將云滴的隨機(jī)性與模糊性融合了起來。

（3）可靠性度量結(jié)果以一條由一系列可靠度區(qū)間及其相應(yīng)的可信度構(gòu)造的分布曲線來表示，由結(jié)果中不僅可以看出可靠度的趨勢，讀出某可靠度區(qū)間及其對應(yīng)的可信度，還可以繪制不同超熵情況下的可靠度曲線。

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Study of Unconventional Reliability Measure Methods in the Case of Several Uncertainties Coexisting

Li Lingling Duan Chaoying Li Zhigang

（Province-Ministry Joint Key Laboratory of Electromagnetic Field and Electrical Apparatus Reliability Hebei University of Technology Tianjin 300130 China）

A variety of uncertainties including randomness, fuzziness and incomplete credibility coexist in reality. Even though this situation is common, it is not fully researched. An unconventional method is proposed which can deal with above-mentioned uncertainties. This method is based on fuzzy theory and cloud theory. First, make the incomplete credibility information of fuzzy stress and intensity variables cloudization by using the theory of cloud. And get the Gaussian cloud formed interval-valued Fuzzy sets which are described by the upper and lower membership functions at different credibility. Then, deal with upper and lower membership functions to make them have the mathematical characteristics of probability density function. In this way, the upper and lower limit values can be calculated with conventional stress-intensity interference model and a reliability interval can be constructed. At last, the reliability measure results curve which consists of a series of reliability intervals and their corresponding credibility can be obtained. The method not only can deal with a variety of uncertainties comprehensively, but also can keep more information in reliability measure results.

Reliability measure, randomness, fuzziness, incomplete credibility, int erval-valued Fuzzy sets, Gaussian cloud

TB114.3

李玲玲 女，1968年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡娖骺煽啃浴㈦娏ο到y(tǒng)及其自動(dòng)化。

國家自然科學(xué)基金（51377044, 51475136），河北省自然科學(xué)基金（E2014202230）和河北省高等學(xué)校創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)領(lǐng)軍人才培育計(jì)劃（LJRC003）資助項(xiàng)目。

2014-07-30 改稿日期 2014-09-19

段超穎 女，1990年生，碩士研究生，研究方向?yàn)殡娖骺煽啃詸z測技術(shù)。