造橋選址問題大剖析

甘曉云

學(xué)了《軸對稱》的相關(guān)內(nèi)容后，有一類問題同學(xué)們將會不可避免地遇到，那就是造橋選址的問題. 這類看起來復(fù)雜的問題，其實質(zhì)是求最短路徑問題. 我們可以把實際問題抽象成數(shù)學(xué)中的線段和最小問題，再利用平移變化將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題. 下面我們就通過幾道題剖析造橋選址問題.

【經(jīng)典再現(xiàn)】

（1）如圖1，A，B兩點在路l的兩側(cè)，在l上找一點C，使C到兩點的路徑之和最短。

（2）如圖2，A，B兩點在路l的同側(cè)，在l上找一點C，使C到兩點的路徑之和最短。

這兩道題所展示出的模型是最短路徑的經(jīng)典模型. （1）題中，A，B兩點在l的兩側(cè)，直接連接兩點，與l的交點即為所求點；而（2）題中，A，B兩點在l的同側(cè)，這時，通過軸對稱原理找出B點在l的對稱點B′，連接A，B′即可找到所求的點.

不難看出，這兩道題解題的依據(jù)都是利用了“兩點之間，線段最短”這一原理.

【例題】如圖3，A，B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN. 橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直，如圖4.）

【點撥】拿到這道題，同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)，它與前面經(jīng)典例題中的兩個模型很相似，但又有些差別，所以不少同學(xué)容易出現(xiàn)以下幾種錯誤：

第二類：直觀感覺垂線段最短，沒有考慮垂線段最短的應(yīng)用背景，如圖7、圖8.

第三類：盲目尋找對稱點，如圖9.

以上三種類型是同學(xué)們常犯的錯誤.

那么解決這道題能否借鑒最短路徑的經(jīng)典模型呢？其實都是兩條線段和最小的問題，但經(jīng)典模型中只有一條直線，這道題有兩條直線，而且AM，NB是斷開的兩條線段，能否把它們放在一起呢？可以利用平移實現(xiàn)圖形的轉(zhuǎn)化. 從A到B有三段路，分別是“走路—過橋—走路”，由于橋長不變，不妨假設(shè)把橋先平移出來，變成“過橋—走路—走路”，只需兩段“走路”的距離之和最短就可以了. 這樣就使問題轉(zhuǎn)化為在直線b上找一點N，使到直線b的兩側(cè)兩點A′，B的距離之和最小，如圖10.

由此，這道題的作圖操作步驟是：過點A作AC⊥b于點C，在線段AC上截取AA′等于河寬，然后連接A′B交b于點N，最后過點N作MN⊥a于點M. 則MN即為所求的架設(shè)橋的地點，如圖11.

如果改為平移B點呢？也是同理，請同學(xué)們自行完成畫圖.

這樣就把兩條直線異側(cè)兩點的最短路徑問題，利用圖形變化將其轉(zhuǎn)化為“在一條直線異側(cè)兩點與直線上點的線段和最小問題”.

為了更清楚地理解這種方法，能否證明為什么這樣作圖路徑最短呢？我們可以在直線上任取一點（與所求作的點不重合），證明所連線段的和大于所求作的線段的和.

證明：如圖12，在直線b上任取一點N′，過N′做N′M′⊥a于點M′，連結(jié)AM′，A′N′，N′B

在△A′N′B中，

∵A′B

∴A′N+BN+MN

根據(jù)平移的性質(zhì)，有A′N=AM

∴AM+MN+BN

【拓展1】如圖13，如果A，B兩地之間有兩條平行的河，我們要建的橋都是與河岸垂直的。我們?nèi)绾握业竭@個最短的距離呢？

方法1：仿照上例，可以將點A沿與河垂直的方向平移兩個河寬分別到A1，A2，路徑中兩座橋的長度是固定的. 為了使路徑最短，只要A2B最短即可，連接A2B，交河流2河岸于N，在此處造橋MN；連接A1M，交河流1河岸于P，在此處造橋PQ,所得路徑AQPMNB最短，如圖14.

方法2：如圖15，將點A沿與第一條河流垂直的方向平移一個河寬到A1，將B沿與第二條河垂直的方向平移一個河寬到B1，連接A1B1與兩條河分別相交于N，P，在N，P兩處，分別建橋MN，PQ，所得路徑AQPMNB最短.

【拓展2】如圖16，如果在上述條件不變的情況下，兩條河不平行，又該如何建橋？

方法1：如圖17，先將點A沿與河流1河岸垂直的方向平移一個河寬到A1，再沿與河流2河岸垂直的方向平移一河寬到A2，連接A2B，交河流2河岸于N，此處建橋MN；連接A1M，交河流1于P，在此處建橋PQ. 所得路徑AQPMNB最短.

方法2：也可以如圖18，將A沿與河流1垂直的方向平移1個河寬，得到A1，再將B沿與河流2河岸垂直的方向平移1個河寬得到B1，連接A1B1與河流1、河流2分別相交于P，M，分別作橋MN，PQ，所得路徑AQPNMB最短.

通過上述的例題和拓展可知：一、要使所得到的路徑最短，就要平移，使除河寬不變外，其他路徑經(jīng)平移后能在一條直線上，再應(yīng)用“兩點之間，線段最短”解決問題；二、在解決最短路徑問題時，我們通常可以利用軸對稱、平移等變化把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.