基于抽象素養培養的變式教學探究
——以2018年高考全國卷Ⅰ理科第16題為例

324022 浙江省衢州第三中學 湯小青 陳 旭

變式教學的教學策略包括概念性變式和過程性變式.概念性變式是指構建合適的變異維度，讓學生體驗學習對象的關鍵方面，形成對概念的本質理解.[1]過程性變式旨在提供適當的鋪墊，幫助學生形成學習對象與已有知識的內在、合理的聯系.兩種變式策略共存互補、相互促進，分別在不同情境、不同階段發揮作用.數學抽象素養的形成包含概念、規則的獲得，命題和模型的提出，知識結構和體系的形成.通過概念性變式教學，學生能從多角度體驗學習對象的數學本質，更好地獲得概念和規則；通過過程性變式，學生能更合理地構建知識的內部聯系，形成知識結構和體系.因此，變式教學的開展更有利于抽象素養在課堂教學中的落地生根.筆者以2018年高考全國卷Ⅰ理科第16題為例，從變式教學層面進行抽象素養培養的探究.

一、 原題再現

原題(2018全國卷Ⅰ理-16) 已知函數f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值為________.

二、 變式教學設計

為便于不等式的使用，將原題變為以下變式.

變式已知函數f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最大值為________.

(一)單調性開路

變式2解法與變式1類似，此處略.

設計意圖：利用所學知識尋求普適性的方法是解題教學的首要任務.利用導數求解函數單調性，進而解決最值問題，是求解所有可導函數最值問題的通法.從最值的層面更好地構建導數在函數問題中的價值.

(二)應用不等式初探

(三)應用不等式再探

變式5求函數y=f(x)=sinx+sin2x+sin3x的最值.

(四)數形結合顯威

圖1 相切求最值

變式6求函數y=f(x)=sin(2x)+2sinx+2cosx+2的最大值.

圖2

(五)高觀點立意

設計意圖：2019年人教版高中數學新教材必修一第三章復習參考題中就有“求證：若g(x)=x2+

三、 反思與總結

(一)通過變式教學設計完善知識結構，形成知識體系

函數最值問題的知識結構和體系較為復雜，結合三角公式、三角函數可以實現形式的多變性，在多種形式的基礎上融合多種方法，進而幫助學生更好地抽象出函數最值問題的知識結構和體系.從通法的角度利用導數研究單調性求最值，結合萬能公式，再利用求導求最值；將基本不等式、柯西不等式的形式特點和三角函數的公式變形進行有機結合，讓結構的形式和問題的實質相融合；利用問題的結構特征構造反比例函數和圓的相切、構造單位圓的內切三角形面積，讓抽象的代數與直觀的圖形相融合；從函數的凹凸性觀點，進一步揭示問題的實質.

(二)通過變式教學設計一題多解，抽象出問題的實質，提升思維品階

數學核心素養水平的提升，思維能力的進階，是一個有序的過程.通過合理的變式教學設計、多維度逐層深入的變式，學生經歷由通性通法到多種不等式探究、再到數形結合、最后在高觀點下立意的探究過程，在逐層深入的過程中逐步揭開問題的實質，不斷提升數學核心素養水平，發展高階思維.

(三)通過變式教學設計多題一解，抽象方法的內涵，形成一般性結論

在變式教學設計中，每一維度都設計多個變式，實現多題一解，使學生多角度認知方法，形成一般性的結論.