基于水平線的圖像處理

[摘要]對圖像中的全部水平線進行光滑的方法，可以在對圖像進行去噪、增強、保證平滑水平線演化。尤其是各水平線在表示邊緣輪廓線的同時也會按照法線方向進行移動，因此對邊緣的定義進行了保存。邊緣的切線方向是光滑方向，此時，圖像在邊緣位置上的梯度變得比較小，致使演化此水平線的速度很小，進而造成了水平線在邊緣位置上的移動與光滑程度都非常小。

[關鍵詞]曲線演化;水平線;圖像處理

[中圖分類號]TP391.41

[文獻標識碼]A

1 Snake模型

圖像分割與圖像處理屬于同一種圖像修補問題，它具體是指對背景與其他物體之間特定目標的分離問題有效進行解決，已經出現了很多方法利用邊緣檢測對這一問題有效解決。

Snake[模型在圖像分割中屬于一種主動輪廓模型，它的依據是曲線能量最小化的變型。主動輪廓模型是Snake模型的重要思想：在限制給定圖像的情況下，在需要檢測目標周圍設置初始曲線，并且憑借一定的方式對曲線進行演化，逐漸收縮目標，最后在目標邊緣的曲線結束演化，促使得到曲線有關的最小內能與外能，其中利用內能可以促使邊緣檢測曲線變得更加光滑，而利用外能有利于曲線與圖像目標的邊緣更加接近。

2 水平集方法概述

在處理圖像與計算機視覺中，大部分偏微分方程都能夠通過驅動曲率的曲線或者演化曲線進行表示。在這一研究范圍內，Sethian構建的水平集法體現出了比較廣泛的影響與應用。重要思想就是通過高維曲面的零水平集對曲線或者曲面進行表示。這一技術不但為數值提供了更加準確的方法，并且能夠對拓撲變化輕易進行處理。

原始的水平集方法具有比較簡單的思想，給定空間曲面，并且對空間在速度場控制下的變化情況進行討論，速度場的大小取決于空間點的相關位置、演化所需的時間、曲面的幾何信息以及外部對曲面的作用力。Sethian在1987年提出對這類問題處理可以采用水平集函數，他定義了一個光滑的函數，其中使用集合代表曲面。

水平集函數具有以下性質：

φ（x，t）<0，對x∈Ω;

φ（x，t）>0，對x∈Ω;

φ（x，t）<0，對x∈Ω。

在演化的具體過程中，可以通過尋找集合φ（x，t）=0對曲面演化位置進行確定。這一改進對計算數值發揮了重要作用，有利于進行定義以及對曲線的變化拓撲有效處理，自行分裂與合并。

在速度場的作用下對φ中的各水平線進行演化，能夠在速度場作用下獲得對應的曲面變化空間位置的情況。

通過對圖像的各種理解，對圖像下各種定義。可以假設真實的一幅圖像應當符合的性質，憑此構建各種形式的圖像模型。例如Mumfordshah模型認為圖像是交疊的光滑物體，因此圖像應當是分段且光滑連續的，可以把圖像劃分為光滑與邊緣部分各自構建模型，同樣的也需要指出圖像應當符合的特點，并且構建原始圖像模型，在這里本文提出了處理圖像的新方法。

3 曲線演化中處理圖像

曲線演化：通過某種方式促使曲線上的各點不斷對自身的空間位置進行改變，在整體變化過程中，曲線可能會產生擴張、收縮、分裂以及合并現象，各點可以產生不同的改變方式與行為。把在曲線上各點進行移動的方式與行為進行控制的外力稱為流，也可以認為是外力作用下的曲線演化過程。

研究者提出了對圖像中的全部水平線進行光滑的方法，可以在對圖像進行去噪、增強、保證平滑、演化以及表述邊緣過程中使用這些方法，并且獲得了良好的效果。

利用水平集方法對曲線演化進行求解，使用函數中的零點集對曲線M進行表示。我們可以在Ω上的一幅圖像定義函數φ，將φ（x，y）的數值作為點在（x，y）的位置上的灰度值。可以獲得以下的命題。

命題：已知方程φ1= v|Vφ|在圖像φ上進行作用，各水平線在圖像中都憑借速度v按照梯度反方向進行演化。證明方程φ1= v.|Vφ|在圖像φ上進行作用時，零水平線會按照速度反方向通過速度v進行移動。

設計圖像函數為ω=φ-k，任一灰度值表示為k，則會有：

于是存在于圖像∞中的零水平線按照梯度反方向通過速度v進行演化。由于在φ中零水平線就是灰度值k的水平線，因此命題成立。

命題對于一般的圖像都能夠成立，現在獲得了針對水平線的處理圖像的方法;

當用（2）式對圖像進行處理時，存在于圖像之中的各水平線會憑借速度v沿著反方向梯度進行移動。只要選擇適當的表達v的方式，促使存在于圖像中的各水平線按照某種規律實施演化，就能夠獲得圖像處理的目的。

4 對ALM模型的解釋

其實能夠用這一種對圖像水平線的圖像處理方法對很多存在的圖像處理模型進行解釋，平滑處理一維與二維信號的經典做法是把信號與高斯核作卷積，高斯濾波器的特點寬度決定模糊程度，由于高斯核各向同性的算子，因而按照不同區域間邊緣的法線方向光滑，模糊了邊緣的空間位置。Malik與Perona提出了一種各向異性的擴散工程，它只對邊緣的切線方向進行光滑，而不是對邊緣的法線方向進行光滑。Avlarez與Morel做出了重要的改進，提出了圖像的光滑模型，它可以更好地保持邊緣，將會用本文提出的思想解釋這個模型。

ALM模型就是對下面的方程進行求解：

其中圖像與高斯濾波器的卷積應用G*a表示。

按照水平線演化，擴散方程的幾何意義為，存在于圖像中的各水平線憑借速度v按照梯度沿反方向進行移動。尤其是各水平線在表示邊緣輪廓線的同時也會按照法線方向進行移動，因此對邊緣的定義進行了保存。邊緣的切線方向是光滑方向，此時，圖像在邊緣位置上的梯度變得比較小，致使演化此水平線的速度很小，進而造成了水平線在邊緣位置上的移動與光滑程度都非常小。

5 應用新建模型

我們可以假設真實圖像應當具備的性質，根據這個前提構建原始的不同形式的模型。在這里要把處理圖像轉化為處理圖像的水平線，促使v的表達方式不同，就能夠使存在于圖像中的各水平線體現不同的性質，進一步調整整幅圖像。今后可以根據圖像的不同類型選擇各種v，構建對應的處理圖像模型。

在一般的曲線演化中應用v=k，也就是曲率驅動的演化模型，曲線在比較大的曲率時能夠快速移動，而曲線在曲率較小時移動速度比較慢。

在（3）式中應用v=k時，由命題可知，移動水平線速度的快慢同時決定了曲率的大小。當出現k>0與k<0的時候，分別按照梯度反方向與梯度方向憑借|k|的速度進行移動。因此應用這個方程進行處理之后，存在于圖像中的各水平線會出現逐漸變小的曲率。同時方程促使圖像中存在的深色物體逐漸收縮。圖像中存在的噪聲點一般會在該位置變大曲率，因此針對比較大的曲率的點可以通過這個方程實施消除，進一步滿足噪音去除的目的。

通過分析v=k時方程的演化結果可知，圖像中的水平線被方程拉直了，有效去除了邊緣位置的棱角以及噪聲。可是也能夠分析出存在于圖像中的曲邊物體逐步開始縮小.直至最后消失，因此通過它對圖像直接進行處理時，嚴格限制了迭代具體次數以及時間步長，對其在圖像處理過程中的應用造成了阻礙。

Malldi與Sethian利用很多的數值試驗，分析與研究了這一方程的作用。通過一個開關函數對圖像產生的擴散行為有效控制，促使各點按照所在區域中像素不同的灰度強度與梯度信息，對擴散行為選擇max與nun有效控制。

我們從（3）式分析產生以上效果的具體原因。通過分析圖形可以獲得以下命題，按照這個命題人們獲得了一個比較簡單的圖像修補方程。

存在于圖像中的凸物體部分，曲率k是正值;在凹物體部分，曲率七是負值。證明選擇一個普通的圖像，在圖像中劃出幾條水平線，其灰度值的關系是：

a>d>c>b，因此圖像呈現的是凹物體。

已知b-a <0，因此k<0，也就是在凹部分，曲率比零小，同理可證在凸區域，曲率也比零小。針對凸區域，v=k>0，其中水平線按照反方向梯度憑借速度|k|進行演化，由此區域將會不斷縮小。針對凹區域，v=k<0，水平線按照反方向梯度憑借|k|進行演化，因此區域凹的程度將會逐步縮小，直到k值為零，也就是水平線是直線。

[參考文獻]

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[作者簡介]張琳娜（1981-），女，陜西渭南市人，研究生，副教授，研究方向：數學教育與數學建模。