偏微分方程中熱傳導(dǎo)模型的建立與求解

楚智媛

（吉林醫(yī)藥學(xué)院，吉林 吉林 132000）

1 偏微分方程

1.1 偏微分方程的起源與發(fā)展

偏微分方程最早起源于18 世紀(jì)，當(dāng)時(shí)歐拉提出了弦振動(dòng)的二階方程，它是最早的偏微分方程。到了19 世紀(jì)，偏微分方程這門學(xué)科漸漸的發(fā)展起來(lái)，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉在《熱的解析理論》中描述了熱流動(dòng)的問(wèn)題，它給出了著名的傅里葉解法來(lái)求偏微分方程，同時(shí)他也是最早提出三維空間的熱流動(dòng)問(wèn)題，他的解法為推動(dòng)偏微分方程這門學(xué)科的發(fā)展貢獻(xiàn)了巨大的力量。可惜的是，他當(dāng)時(shí)只給出了一些解，但是沒(méi)有證明解的收斂性。到了20 世紀(jì)，隨著泛函分析等一些學(xué)科的發(fā)展，推動(dòng)著偏微分方程的巨大發(fā)展。蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)家索伯列夫擴(kuò)大了對(duì)解的概念的理解，提出了廣義函數(shù)的概念，繼而法國(guó)的著名數(shù)學(xué)家洛朗·施瓦茨深入學(xué)習(xí)和研究，讓偏微分方程這門學(xué)科又有了進(jìn)一步的發(fā)展。

數(shù)學(xué)史上有許多著名的偏微分方程例如：不可壓流體的不可壓Euler 方程、幾何學(xué)中的極小曲面方程、電磁學(xué)理論中的Maxwell 方程組、廣義相對(duì)論中的Einstein 方程等。其實(shí)很多偏微分方程不僅跟數(shù)學(xué)有關(guān)，更多的是和物理相關(guān)的內(nèi)容，由此可見，偏微分方程理論與求解在推動(dòng)社會(huì)科技進(jìn)步與發(fā)展中起著至關(guān)重要的作用，因此我們對(duì)求解偏微分方程的研究和求解從未停止過(guò)。偏微分方程的求解一直是數(shù)學(xué)家潛心研究的領(lǐng)域，因?yàn)樗鼧O其復(fù)雜，有的方程是無(wú)法給出具體的解析解的，所以還有很多偏微分方程是在論證解的存在性，然后通過(guò)其他實(shí)驗(yàn)或者是數(shù)值解法進(jìn)而給出一個(gè)可能滿足某偏微分方程的解。

1.2 偏微分方程的預(yù)備知識(shí)

偏微分方程就是指給出的方程當(dāng)中含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)方程。偏微分方程都是指的多元函數(shù)，如果一元函數(shù)的話那就是常微分方程。我們之前在學(xué)習(xí)常微分方程的時(shí)候知道，如果常微分方程要是有解則它必有無(wú)窮多個(gè)解，那么拿到偏微分方程中來(lái)看的話，可以知道偏微分方程的通解也會(huì)含有任意元素。但是隨著我們的求解會(huì)發(fā)現(xiàn)，偏微分方程是很難求解的，有的甚至給不出通解的表達(dá)式，于是才有數(shù)學(xué)家會(huì)退而求其次證明解的存在性。我們一般研究的是二階偏微分的求解問(wèn)題，那么二階線性偏微分方程的基本形式如下：

式中：L為線性偏微分方程算子，x為自變量，i，j表示正整數(shù)，xi，xj代表分量，m為正整數(shù)，Rm為實(shí)數(shù)域，aij（x）二階偏導(dǎo)數(shù)的系數(shù)，bi（x）為一階偏導(dǎo)數(shù)的系數(shù)，c，u，f都是關(guān)于自變量的函數(shù)，f在偏微分方程中稱為自由項(xiàng)，當(dāng)f=0 時(shí)是齊次二階線性偏微分方程組，當(dāng)f≠0 時(shí)稱為非齊次二階線性偏微分方程組。二階偏微分方程一般分為橢圓方程、拋物方程、雙曲方程3 種。那么如何確定二階偏微分方程的類型呢，我們可以使用二階項(xiàng)數(shù)的系數(shù)矩陣來(lái)確定。如果系數(shù)矩陣是正定的或者是負(fù)定的，那么它就是橢圓方程。如果系數(shù)矩陣是半正定的或者是半負(fù)定的，那么它就是拋物方程。如果系數(shù)矩陣是不定的，那么它就是雙曲方程。其中橢圓方程與時(shí)間t無(wú)關(guān)，稱為穩(wěn)態(tài)方程，拋物方程和雙曲方程與時(shí)間t有關(guān)，所以稱為發(fā)展方程。

1.3 二階偏微分方程的定解問(wèn)題

這里我們以發(fā)展問(wèn)題為例，要想讓偏微分方程有唯一的解，我們需要給這個(gè)方程加上一個(gè)初值條件和邊值條件。邊值條件中有3 種類型：

Dirichlet 邊界條件（第一邊值條件）

Neumann 邊界條件（第二邊值條件）

Robin 邊界條件（第三邊值條件）

式中：Ω 為邊界，n是上每一點(diǎn)的外法向，為邊界分布，α表示系數(shù)。

二階偏微分方程、初值條件、邊值條件3 個(gè)元素共同構(gòu)成了定解問(wèn)題。

2 熱傳導(dǎo)模型

熱傳導(dǎo)[1]是指介質(zhì)內(nèi)無(wú)宏觀運(yùn)動(dòng)時(shí)的傳熱現(xiàn)象，更嚴(yán)格的說(shuō)是指固體中才是真正的熱傳導(dǎo)。熱傳導(dǎo)是指物體或者系統(tǒng)內(nèi)存在著溫度差，熱量可以從溫度高的地方流入溫度低的地方，其中熱傳導(dǎo)的速率由物體內(nèi)溫度場(chǎng)的分布情況所決定。我們通過(guò)熱傳導(dǎo)模型建立偏微分方程，偏微分方程的解可以刻畫出熱量傳遞期間函數(shù)的變化情況。熱傳導(dǎo)問(wèn)題是描述在某個(gè)特定的區(qū)域內(nèi)，溫度是如何隨時(shí)間發(fā)生變化的。熱傳導(dǎo)模型分為一維和三維的，該文我們將以一維熱傳導(dǎo)模型為例，給出方程的推導(dǎo)過(guò)程。令x為位置，t為時(shí)間，為x位置在t時(shí)刻的溫度，Q為熱量，設(shè)一維桿的截面面積為S，體積為V，我們根據(jù)能量守恒定律和傅里葉熱傳導(dǎo)定律能得出下面的式子。

由能量守恒可知，從t1時(shí)刻到t2時(shí)刻熱量的變化為

式中：c為單位質(zhì)量的物體改變1 ℃所需要的熱量即為比熱，ρ為密度，兩邊同時(shí)取三重積分則為

再由傅里葉熱傳導(dǎo)定律得到，從t1到t2時(shí)刻通過(guò)物體的熱量為

其中n為外法向，再由高斯公式推導(dǎo)可知一維熱傳導(dǎo)模型公式[2-3]為：

同理，我們還可以把熱傳導(dǎo)模型推導(dǎo)到三維空間上，該文我們就不再過(guò)多贅述了，其方法和一維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)過(guò)程相同，因此三維熱傳導(dǎo)模型公式為：

3 利用差分法求解一維熱傳導(dǎo)方程問(wèn)題

導(dǎo)數(shù)實(shí)際上就是極限值，我們想用差商來(lái)代替微商，于是使用差分法來(lái)求解偏微分方程問(wèn)題。差分法[4-5]是一種解決微分方程的近似解法，能夠給出近似解。它是通過(guò)有限次差分來(lái)近似導(dǎo)數(shù)，從而尋求方程的近似解。用更簡(jiǎn)單的一句話來(lái)說(shuō)就是把導(dǎo)數(shù)用有限差商來(lái)替代，從而把方程和邊界條件近似地改成差分方程來(lái)表示，把微分方程的問(wèn)題改成代數(shù)方程的問(wèn)題。綜上，就是用差商來(lái)近似代替微商，公式如下：式中：y（x）表示在點(diǎn)處的函數(shù)值，y（x+Δx）表示在x+Δx處的函數(shù)值，Δx表示增量，d 是導(dǎo)數(shù)的符號(hào)。此外，在使用差分法求解一維熱傳導(dǎo)問(wèn)題時(shí)，我們還要知道泰勒公式和一階中心差商公式，具體公式如下：

式中：f為函數(shù)，x為自變量，h為增量，d為一階導(dǎo)數(shù)，d2為二階導(dǎo)數(shù)，d3為三階導(dǎo)數(shù)2!=2×1，3!=3×2×1，Δf，表示差分，表示自變量的增量。由此，我們可以根據(jù)上述2 個(gè)公式推導(dǎo)出二階中心差商公式，如下：

差分法求解的具體過(guò)程如下。首先，知道求解區(qū)間，規(guī)定整個(gè)模型的長(zhǎng)度為l，然后把求解的區(qū)域離散化，將變量x進(jìn)行n等分（h為x方向上的步長(zhǎng)），變量t進(jìn)行m等分（τ為t方向上的步長(zhǎng)），給出相應(yīng)的坐標(biāo)表達(dá)式：

式中：xi表示x的第i個(gè)分量，tk表示t的第k個(gè)分量，T為總時(shí)間。根據(jù)上述的離散化，我們將整個(gè)區(qū)域分成若干個(gè)小網(wǎng)格，我們要求每個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值，然后套用差分法來(lái)求解偏微分方程的解，這里為了我們今后書寫方便，我們給出簡(jiǎn)化記法：

其次，化簡(jiǎn)一維熱傳導(dǎo)問(wèn)題

由此我們可以看出，這個(gè)區(qū)域的每個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值都可以用與它下方相鄰的3 個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值來(lái)給出。綜上，一維熱傳導(dǎo)模型問(wèn)題的差分法為：

最后，根據(jù)上述迭代公式，我們可以使用相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件，例如MATLAB 來(lái)編程，進(jìn)而求解出偏微分方程的解析解。

4 結(jié)語(yǔ)

偏微分方程在數(shù)學(xué)學(xué)科當(dāng)中有著非常重要的地位。因?yàn)槲覀儸F(xiàn)實(shí)生活中遇到的問(wèn)題都是多變量的，建立的模型中變量越多越能夠很好的模擬現(xiàn)實(shí)生活，多變量問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化成偏微分方程求解的問(wèn)題。數(shù)學(xué)發(fā)展至今，偏微分方程求解問(wèn)題仍然是各個(gè)科學(xué)家們潛心研究的重要領(lǐng)域，一直在尋找新的問(wèn)題突破口。其中，熱傳導(dǎo)模型問(wèn)題是非常典型的偏微分方程問(wèn)題，它的求解有很多方法，差分法是比較好理解和好操作的一種。除差分法外，還可以利用MATLAB 中的pdepe 函數(shù)、toolbox工具箱來(lái)求解或者是蒙特卡洛求法等。該文給出了一維熱傳導(dǎo)模型問(wèn)題的求法，我們可以比較一下其他算法和差分法哪個(gè)更簡(jiǎn)單實(shí)用，還可以擴(kuò)充維數(shù)，去研究三維問(wèn)題，探討一下三維熱傳導(dǎo)模型問(wèn)題使用哪種方法等方便、更能簡(jiǎn)化運(yùn)算時(shí)間。