高斯定理在萬有引力場中的推廣及應用

謝謙，唐衛斌，劉俊

（商洛學院 電子信息與電氣工程學院，陜西商洛 726000）

高斯定理是電磁學中的重要定理之一，其推導過程是從庫倫定律[1]而來，在力學中，牛頓萬有引力定律和庫倫定律，形式上相似[2-4]，既然通過庫倫定律可推導出電學中的高斯定理，那么類似的也可以從萬有引力定律推導出力學中的高斯定理，通過高斯定理，可以簡便解決引力場中的相關問題。

1 萬有引力定律與庫倫定律的比較

這兩個定律形式上完全相同，如下：

其中r是場點到源點的位矢，因萬有引力只能是引力，且質量只能取正值，故公式前是負號。

可見，只要把電荷電量換成質點質量，把k換成G，則兩式形式上完全相同，只是電荷有正有負，庫倫力有引力也有斥力，而質量只能取正值，作用力只能是引力。

2 力學中的高斯定理

在電磁學中通過庫倫定律可推導出高斯定理[1]：

既然萬有引力與庫倫定律形式上相同，即兩者都為平方反比定律，且引力場強度與電場強度定義相同，經對比可得力學中的高斯定理為：

即引力場強度g對任意閉合面S的積分（引力場通量），等于這個閉合面所包圍總質量的負值除以 ω0。

閉合面S的方向是其外法線方向。

下面對其從特殊到一般，分步來加以證明。

2.1 通過包圍質點m的同心球面的引力場通量都等于

以質點m所在處為中心，任意半徑r做一球面（圖1），根據萬有引力定律，在球面上各點引力場強度大小一樣，，方向沿半徑向內指向球心。在球面上，任取一面元dS，其外法線是沿半徑方向向外的，即n和g夾角為 θ=π，所以通過的引力場通量為：