高階性、挑戰度目標下的矩陣運算的課堂教學

柏靈

【摘要】課堂教學的重要性不言自明.在現代信息化學習平臺輔助下，學生能提前完成獨自勝任的預學內容，課堂上，教師根據學生的學習反饋創建問題情境引入概念、原理和抽象內容講解，學生將自己的自學體驗和老師的引導講授結合在一起，共同有效完成課堂教學的高階性、挑戰度目標.

【關鍵詞】線性方程組;矩陣運算;向量;矩陣乘法;幾何意義

【基金項目】吉林大學本科教學教改項目（2019XZD024）：公共數學課的課前引學內容設計與實踐

疫情期間的全國范圍“停課不停學”的實踐在保證教學基本目標完成的同時，讓教師不斷反思如何在現有的條件下，使教學過程實現線上和線下教育的有效融合.

而后的順利開學更讓教師和學生都認識到線下課堂教學獨特的不可替代性.傳統的數學課堂教學中，在有限的時間內，教師幾乎都是一味采用灌輸的做法，遇到概念和定理更是一筆帶過，很少花精力去分析和引導.但在信息現代化教學平臺的輔助下，教師完全可以合理優化分配教學時間和內容.例如，教師可以通過學習平臺發布自己制作的預學課件或網上教學資源，向學生推送課程預習任務和問題，使學生對教學內容有一個初步整體的認識; 教師可以設計課前、課中、課后學習任務測試等靈活的考核內容來考察學生自主學習的效果.課堂上，教師只講解概念定理的產生背景和涉及重難點需要深入理解的內容，對抽象理論的闡述按照認知規律，由淺入深，從具體到抽象，由形象直觀到理性的思維模式遞進，這樣既沒有過度增加學生的學習認知負擔，又倒逼學生自主預學掌握能力范圍的新內容，以期到后續階段達到完成深度學習的效果.

線性代數是一門大學公共基礎課的必修通識課程，一般都是在大學第一年進行講授，課時少而內容繁.剛從高考刷題模式訓練脫離的學生面對這門抽象性和邏輯性難度大幅提升的課程，經常是無所適從，且這類基礎課基本都采用大班授課制，很多課堂學生人數超過150人，甚至有200多人的規模，學生數學學習能力明顯參差有別.這些短期內不能改善的現狀極大增加了大學數學課程高階性目標實現的難度，對教師課堂教學質量的提高提出了嚴峻的考驗.

課堂教學的有效性和高階性如何實現？下面以大學數學公共課——線性代數的矩陣運算版塊學習為例提出幾點建議.

教學過程分為兩個階段：

一、課前準備內容

1.學生自行搜索矩陣的發展歷史，對矩陣的整個發展過程能做簡單總結，了解具有代表性人物的貢獻.結合教材的例子，通過具體實例，體會如何用“矩陣”來描述一些生活現象等.

2.學生了解高等數學中的空間解析幾何的基本內容：笛卡兒坐標系，三維向量的坐標，單位向量的坐標表示，向量的加法和數乘運算及幾何意義，向量的數量積.

3.學生觀看學習通相應課節視頻，學會矩陣的基本運算，會算例題.

4.教師布置思考題：矩陣乘法為什么不是直覺上的同型矩陣對應元素做數的乘法？

從形式上看，矩陣的加法和數乘運算與數和向量的運算相一致，學生很容易接受.但是，學生對矩陣的乘法出現的運算規則幾乎是不明所以的，只會照搬法則簡單計算.因此，教師課堂上的講解就集中在對矩陣乘法法則的理解上，明確這個法則的定義淵源和深層意義.

二、以線性方程組的矩陣表示做引例展開

根據學生的自主預學，課堂前期可以適當設計測試題檢測，然后課堂上引出思考問題并討論（進階學習階段）：

1.矩陣的乘法運算可以不是同型矩陣相乘，但是為什么必須滿足左乘矩陣的列的個數和右乘矩陣的行的數必須相等呢？

2.注意兩個情形： A矩陣和向量相乘與同維度的行列向量相乘的區別.

3.課前思考題的解答過程作為重點內容強調.

用每一個學生都熟悉的線性方程組作為引例.

對乘加法則其實體現了A陣行向量和B 陣列向量的數乘關系.這樣的表示形式也說明矩陣相乘未必滿足交換律.矩陣的相乘未必是同型矩陣，只要求左乘矩陣的列和右乘矩陣的行數相同.這和同型矩陣的加法運算極大地不同，原因就在于運算規則的應用背景不同.

三、總 結

矩陣的乘法是矩陣代數運算的核心，課堂上具體展示方程組用矩陣和向量相乘的例子，并在形式上復合表示多個方程組，使學生充分理解矩陣的乘法運算法則的原理，對初學者而言必是矩陣運算內容的高階性要求.這個運算法則和矩陣的加法和數乘運算不一樣，不是簡單的矩陣對應元素的數相乘，其中既有向量的數乘又有向量的加法運算，正所謂線性運算的組合，體現了“線性”關系.

在展開課堂教學之前，學生對教學內容必須有一定的自主學習體驗，學會了力所能及的內容.學生提前預學的配合，可以糾正學生高中一味刷題做題模型化的習慣，也使學生正視大學學習內容概念理論系統化，倒逼學生形成自主學習和主動思考的意識.教師對學生的學習結果通過測試反饋有了一定的掌握和了解，對后續學生學習產生的問題提前有了準備.這樣的課堂教學才給質量的提升提供了前提保障.有了這樣的實踐和反思才可能會有數學課堂上的創新、高階和課程難點.

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