數學思想方法在高中數學解題中的應用

在高中數學問題的解決過程中，有必要圍繞問題建立完整的解決路徑，以確保數學問題與解決對策達到有效的對應，并提高解決問題的準確性。

1.建立具體的函數模型，提高函數知識點的接受效率。在實際的中學數學學習過程中，我們不難發現教師講授的功能知識點是非常抽象的，這也是引起學生學習困難的主要因素之一。為了有效解決這一問題，教師需要在高中數學課堂中，為原始的抽象功能知識建立特定的功能模型。這樣，可以大大降低學生的學習難度，提高學生的學習效率。

例如，在學習“二次函數”這一部分相關知識點的時候，為了提高學生的數學知識接受效率，可以先確定具體的二次函數模型，用數學語言表達即為f（x） =ax2+ bx +e（a≠0）。再幫助學生進一步掌握二次函數的相關性質，可以將其所包含的知識同樣用數學語言表示出來，如二次函數f（x）的對稱軸為-b/2a;二次方程根與系數的關系，即兩根之和x1+x2=-b/a，兩根之積x1x2=c/a等。把這

些原本學生難以理解與掌握的數學函數知識點通過函數建模的方式清晰地展現出來，以幫助學生更好地學習。

2.和諧化、直觀化原則在不等式最值問題中的應用。和諧原則是指轉換問題的表達方式，將條件和問題聯系在一起并以符合數學內部邏輯的形式表達它們。在改善或驗證方程式或方程式的最大值時，可以先分析現有條件，使用已知方程式構造能形成的方程式和數學關系。然后將問題的條件轉換為方程式，結合數字、形狀和公式來解決問題。

例如，已知函數f（x）=cos x+cos 2x，求f（x）的最大值和最小值。先將三角函數與二次函數掛鉤，通過三角函數公式的轉化，把f（x）=COS x+ cos 2x轉化成cos x+2 cos2x-1;再將cosx用t來表示，從而得出f（t）=2t2+t1這樣的函數;最后通過畫圖得出函數的最大值和最小值。

3.整體代換，化繁為簡。整體代換是高中整體數學思想的一個重要組成部分，主要是根據新元性質，對整體計算公式進行代換，從而將原來計算比較復雜的公式變得更加簡單，更加清晰并富有條理，以保證學生能夠更加輕松自如地運算。

例如，在計算（a1 +a2+…+an-1）（a2+a3+…+an-1+an） - （a2 +a3+-+an-1）.（a1+a2 +-+an-1+an）這個多項式的過程中，如果按照題目的要求進行逐一計算分解，那么整個求解過程十分復雜，并且計算量十分大。如果將這個多項式進行變形.采用整體代換的數學思想，則可以輕松地將這個題目解決。在計算過程中我們假設a2 +a3 +-+an-1為未知數值X，則原來的數值可以表示為（a1+X）.（X+an）-X（a1 +X+an），通過對該算式進行進一步的簡化分解，可以得到X2 +a1X+anX+a1an— a1X — X2— anX，從而就能得到最終的計算結果為a1an。

4.換元法在高中數學解題中的應用。換元法也是數學思維的一種常用方法，使用此方法解決問題，可以大大簡化解決問題的步驟，并找到問題中的隱藏內容。

例如，已知a、b均大于2，試證明：ab>a+b。在分析題目的過程中，我們可以看出題目中給出的有效條件極少，直接證明的難度較大。我們可以先對不等式進行變形，即將ab>a+b轉化為ab- （a+b）>0。然后進一步換元，用m、n代替a、6進行分析證明。由于a、6均大于2，那么可以設a為m+2，b為n+2，m、n均大于0。此時ab- （a+b）=（n+2）.（m+2） （m+2+n+2）=mn+n+m>0，因為m、n均大于0，所以該不等式成立，所以原不等式ab>a +b也同樣成立。

作者單位：江西省鄱陽中學