基于模糊規(guī)劃的合金配料優(yōu)化方案

鐘丁媛，王全超

（南京林業(yè)大學(xué)，江蘇 南京 210037）

1 問題介紹

為了迎合合金產(chǎn)品在市場銷售中的特殊要求，煉鋼廠通常采取脫氧合金化過程，使所要求元素達(dá)標(biāo)。如何科學(xué)預(yù)測合金元素的收得率，確定合金配料的方案，降低生產(chǎn)成本，都是企業(yè)亟待解決的問題。在此背景下，本文對脫氧合金化環(huán)節(jié)建立合適數(shù)學(xué)模型，預(yù)測合金元素的歷史收得率。并根據(jù)實際生產(chǎn)需求，在保證收得率的基礎(chǔ)上降低生產(chǎn)成本，給出優(yōu)化后的合金配料方案。

2 模型假設(shè)

假設(shè)脫氧合金化過程中鋼水凈重不變，脫氧合金化滿足化學(xué)的三大守恒定律：物料守恒、電荷守恒、質(zhì)子守恒。不考慮合金配料大小、合金脫氧合金化方式、殘渣對收得率的影響，假設(shè)脫氧合金化反應(yīng)前后溫度變化不大。

3 元素收得率預(yù)測模型的建立和優(yōu)化

3.1 探究影響歷史收得率的因素

對于某個確定的合金元素i 有：

其中，η(i)為元素收得率，X( i )為被鋼水吸收的合金元素的重量，Y( i )為加入該元素總重量；Z( i )，L( i )分別為脫氧合金化前后后鋼水中元素含量。

根據(jù)對收得率的初步計算與分析可知，脫氧合金化過程中，加入的合金配料一部分與鋼水中的氧元素發(fā)生脫氧反應(yīng)，一部分與殘渣發(fā)生反應(yīng)被消耗，其余部分被鋼水吸收。合金元素的收得率受如下因素影響[1]：

（1）轉(zhuǎn)爐終點的鋼水含氧量，包括：鋼水含碳量：轉(zhuǎn)爐終點鋼水中含碳量高，含氧量就低；且服從碳-氧平衡，若不平衡，則鋼水中的C、O元素會發(fā)生化學(xué)反應(yīng)，產(chǎn)生氣體溢出。鋼水含錳量：具有強(qiáng)氧化性，鋼水中含錳量高，含氧量降低。鋼水溫度：溫度高，含氧量高。（2）殘渣含量。一些合金元素能夠被殘渣中的金屬氧化物氧化，如FeO。這些物質(zhì)含量越高，鋼水氧化性越強(qiáng)，得到的收得率越低。（3）合金元素脫氧能力。不同的合金元素的脫氧能力不同，如Al、Ba、Ca、Mg脫氧能力強(qiáng)。（4）脫氧合金化后鋼水溫度。脫氧后鋼水溫度高，則合金元素收得率低。（5）合金配料大小。合金體積過大，不易與鋼水發(fā)生化學(xué)反應(yīng)，且鋼水的不同部分反應(yīng)速度不同，反應(yīng)不均勻；體積過小，易被裹入殘渣中，造成合金配料的損失，降低收得率。在實際生產(chǎn)中，對于同一批材料而言，合金配料大小差別不大。因此，可以忽略，只考慮變化較大的因素，如轉(zhuǎn)爐終點溫度、鋼水中元素含量等。

3.2 收得率預(yù)測模型的建立與求解

（1）模型建立。設(shè)合金元素的收得率η(i)受個因素的影響，為相互獨立的因素。

針對各變量，首先進(jìn)行多重共線性檢驗，根據(jù)相關(guān)性指標(biāo)判斷是否存在共線性。通過計算得出，各個影響因素X( i), i = 1 ,2,L n 與η(i)的關(guān)系是線性的。建立多元線性回歸方程如下：

式中，α0, α1,L ,αn為回歸系數(shù)，ε(i)為隨機(jī)誤差。ε(i)滿足以下條件時，多元線性方程才有意義：服從正態(tài)分布；無偏性；所有殘差變量相互獨立且方差相等。

由于無法對()精確計算，因此假設(shè)在每個樣本點，ε(i)的值盡可能小，則相應(yīng)的估算回歸方程可改寫為：

式中，β0,β1,L ,βn為回歸系數(shù)。β0是X1, X2,L ,Xn都為時的點估計值；β1是X2, X3,L ,Xn保持一定時的偏回歸系數(shù)。

本文采用最小二乘法計算β0,β1,L ,βn，計算時間測量值和估算值的殘差平方和Q ，其表達(dá)式為：

要使ε(i)的值盡可能小，Q 應(yīng)達(dá)到最小，則：

進(jìn)行矩陣變化求解，得：

由n 組觀測值求解元線性方程，用矩陣表示為：

即η= X β，用最小二乘法求解可得：

（2）模型求解。使用Python，選取其中700條數(shù)據(jù)進(jìn)行運算，對C、Mn元素的影響因素進(jìn)行了回歸預(yù)測，如表1所示。

表1 C、Mn影響因素的回歸預(yù)測

（3）結(jié)果分析。對于某一確定的金屬元素，在轉(zhuǎn)爐終點溫度、鋼水凈重變化不大的情況下，元素收得率受轉(zhuǎn)爐終點元素含量、加入的合金配料影響較大。而連鑄正樣元素含量產(chǎn)生的差異，是由轉(zhuǎn)爐終點、合金配料的元素含量所引起的。因此，其不能作為主要因素，只能用來判斷脫氧合金化得到的鋼種是否符合生產(chǎn)需求。而根據(jù)實際情況，脫氧合金化反應(yīng)后的溫度會在很大程度上影響收得率。

由此我們推斷出，在轉(zhuǎn)爐終點溫度、鋼水凈重變化不大時影響元素收得率的主要因素為：轉(zhuǎn)爐終點元素含量、合金配料中元素含量、脫氧合金化后溫度。

（4）模型檢驗。利用剩余數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗，通過預(yù)測C、Mn兩種元素的收得率，與實際收得率進(jìn)行對比，計算其置信度為：

通過判斷預(yù)測是否合理及是否過擬合，得出C元素的置信度λ(C)=96.18%，。繪制出歷史收得率與預(yù)測結(jié)果對比圖，如圖1所示。

圖1 C、Mn歷史收得率與預(yù)測結(jié)果對比

對每個合金元素而言，收得率的影響因素相同，區(qū)別僅在于影響程度大小。因此，該模型與實際情況吻合度較高。

3.3 預(yù)測模型的優(yōu)化

（1）數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化。首先我們引入合金元素加入率的概念：

然后對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，轉(zhuǎn)化函數(shù)為：

式中μ為樣本均值，σ為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。

運用z-score標(biāo)準(zhǔn)化，對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理：求出各變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差xi,si；標(biāo)準(zhǔn)化處理；將逆指標(biāo)的正負(fù)號對調(diào)。處理后的變量值在0上下波動，其中大于0和小于0的值分別表示表示高于和低于平均水平，且數(shù)據(jù)滿足正態(tài)分布。

（2）交叉驗證。選出700個數(shù)據(jù)進(jìn)行測試，剩下的進(jìn)行檢驗。采取k折交叉切分，對數(shù)據(jù)分層，確保各類別的數(shù)據(jù)比例與原始數(shù)據(jù)保持一致。再利用隨機(jī)數(shù)，將數(shù)據(jù)分成k份，每次取出一份驗證，剩下k-1份訓(xùn)練，重復(fù)k次。最后取k次實驗的平均值，作為評價誤差值的結(jié)果。

交叉驗證能在最大限度上保證數(shù)據(jù)選取的合理性，防止因數(shù)據(jù)分布不均勻等造成的誤差。

（3）模型優(yōu)化。數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的線性擬合優(yōu)化。

圖2 C、Mn歷史收得率與預(yù)測結(jié)果對比（線性）

運用了標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)，對收得率進(jìn)行了線性預(yù)測，比歷史合金收得率進(jìn)行了對比，發(fā)現(xiàn)預(yù)測效果很好，Δη(C) = 0.69，Δη(Mn) = 0.81。

基于特征值分解協(xié)方差矩陣的PCA算法。

模型建立。

由于數(shù)據(jù)的排列順序會造成預(yù)測結(jié)果不同，因此找出n組相互正交的坐標(biāo)軸，使每個新坐標(biāo)軸的方向是原始數(shù)據(jù)中方差最大的方向。以此獲得的坐標(biāo)軸，大部分集中在前面，后面幾乎為0。忽略后面的數(shù)據(jù)，實現(xiàn)對數(shù)據(jù)特征的降維處理。

利用標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機(jī)變量，對收得率進(jìn)行了預(yù)測和擬合。

模型求解。

繪制柱形圖，得到協(xié)方差矩陣的特征根及貢獻(xiàn)率，并選取影響收得率最大的兩個維度，繪制降維后的散點分布圖，如圖3、圖4所示。

圖3 方差解釋圖

圖4 降維后主成分散點分布圖

得出累積貢獻(xiàn)度[0.3291，0.4734，0.5678，0.6548，0.7387，0.8167]。x軸方向的維度上，越接近右端，收得率越高。則在這一主成分里，系數(shù)為正的數(shù)量越多，影響越大。同理得到，y軸方向的維度上，越接近上端，收得率越高。

基于線性-PCA的預(yù)測優(yōu)化。

圖5 C、Mn歷史收得率與預(yù)測結(jié)果對比（線性-PCA）

基于支持向量機(jī)模型的SVR預(yù)測優(yōu)化。

模型建立。

支持向量機(jī)通過內(nèi)積函數(shù)定義的非線性變換，將低維輸入空間轉(zhuǎn)到高維，而后尋找輸入、輸出變量間的線性關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)換為求解凸約束條件下的規(guī)劃問題，求得全局最優(yōu)解。本文選取輸入變量：轉(zhuǎn)爐終點溫度、轉(zhuǎn)爐終點元素含量、鋼水凈重、加入合金配料元素含量；輸出變量：元素收得率、連鑄正樣元素含量。收得率可表示為：

由于內(nèi)積函數(shù)的計算維度很大，因此采用高斯核函數(shù)，公式如下：

式中xc表示核函數(shù)中心，σ表示函數(shù)寬度函數(shù)，其控制了函數(shù)的徑向范圍。若x,xc很接近，則核函數(shù)值為1，若相差很大，值約為0。

下面建立合金收得率預(yù)測模型，并利用標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)預(yù)測。具體步驟如下：①利用歷史收得率訓(xùn)練模型。②預(yù)測當(dāng)前合金元素的收得率。③按照對應(yīng)鋼號和編號加入相應(yīng)的合金配料，并計算其加入量。④將實際測量結(jié)果存入歷史收得率數(shù)據(jù)庫。

模型結(jié)果。

圖6 C、Mn歷史收得率與預(yù)測結(jié)果對比（SVR）

基于PCA和SVR的優(yōu)化。

首先，通過PCA降維，而后使用SVR進(jìn)行預(yù)測，得到結(jié)果。

圖7 C、Mn歷史收得率與預(yù)測結(jié)果對比（PCA-SVR）

（4）結(jié)果分析。通過這幾種方法得出的預(yù)測結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其均能在一定程度上提高收得率的預(yù)測準(zhǔn)確性，而標(biāo)準(zhǔn)化后的多元線性回歸效果最好。因此，我們選用此模型進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測。

4 基于生產(chǎn)成本的模型優(yōu)化

（1）模型建立。由國家標(biāo)準(zhǔn)可知，鋼水中合金元素的含量是在內(nèi)控區(qū)間內(nèi)波動，但是隨著合金元素含量的減少，合金收得率仍有線性遞減的趨勢。因此如何在保證合金收得率的基礎(chǔ)上，最大限度降低成本是我們需要解決的問題。建立數(shù)學(xué)模型如下：

式中，Cj為加入配料的百分比，pj表示合金配料價格，M為鋼水凈重，Mj為加入的合金配料重量，為鋼種國家標(biāo)準(zhǔn)的第種元素含量的最大值和最小值。

（2）模型求解。以鋼號HRB400B的鋼材為例，設(shè)轉(zhuǎn)爐鋼水凈重為實際樣本平均值M= 72209kg，其主要合金元素的國家標(biāo)準(zhǔn)及元素各計算用參數(shù)如表2所示。

表2 鋼號HRB400B合金元素國家標(biāo)準(zhǔn)

選取加入合金配料的種類、單價及所含各元素的含量，如表3所示。

表3 合金配料信息表

使用MATLAB對歷史數(shù)據(jù)組進(jìn)行仿真計算，最終得到合金配料投入種類、重量及成本如表4所示。

表4 優(yōu)化方案合金配料表

與未優(yōu)化前的歷史平均成本2.5640萬元相比，成本優(yōu)化了48.80%，極大地降低了生產(chǎn)成本。

5 結(jié)論

（1）模型結(jié)論。本文首先計算出碳、錳元素收得率為91.93%、88.97%，分析影響收得率的主要因素是轉(zhuǎn)爐終點元素含量、合金配料元素含量。建立多元回歸模型預(yù)測合金配料元素收得率，并通過優(yōu)化處理，得出線性回歸預(yù)測效果最好，準(zhǔn)確度高達(dá)96%。最后采用模糊線性規(guī)劃法算法，建立了基于生產(chǎn)成本的合金配料方案優(yōu)化模型。改進(jìn)了以模糊規(guī)劃為核心的合金配料方案優(yōu)化模型。以HRB400B為例，給出了最優(yōu)方案：投入1698.6kg的硅鋁合金FeAl30Si25、1461.7kg的硅錳面（硅錳渣）、69.5kg的石油焦增碳劑，其最小成本為1.3127萬元，和原始合金配料相比，成本優(yōu)化了48.80%，極大地降低了生產(chǎn)成本。

（2）對煉鋼的建議。①提高轉(zhuǎn)爐終點元素含量：在降低鋼水氧化性的同時，降低合金配料加入總量，從而降低成本。另外，控制轉(zhuǎn)爐終點溫度及過程溫度也極為重要，否則容易造成廢品。②利用仿真模擬降低生產(chǎn)成本：通過仿真實現(xiàn)合金配料的自動優(yōu)化和成本控制，避免人為因素的影響，提高配料準(zhǔn)確性和效率。③引進(jìn)新的工藝技術(shù)和反應(yīng)容器：改進(jìn)工藝技術(shù)，如鋼水?dāng)嚢琛簭?qiáng)控制等，對反應(yīng)儀器進(jìn)行更精密的控制。采用隔熱性更強(qiáng)的容器，防止脫氧合金化過程中熱量損失。④采用更高效低成本的反應(yīng)材料：引進(jìn)高效的反應(yīng)催化劑，及元素含量更高、成本更低的合金配料。