大學生對麥克斯韋方程組的理解研究

劉文莉 包 芯 章 越 申亞琴

(北京師范大學物理學系 北京 100875)

麥克斯韋方程組完整地概括了電磁場的基本規律，其在電磁學中的地位如同牛頓運動定律在力學中的地位，以麥克斯韋方程組為核心的電磁理論，是經典物理學最引以自豪的成就之一，它所揭示出電磁相互作用的完美統一，并被廣泛地應用于技術領域.物理與日常生活息息相關，從日常生活中學生能夠得到對物理現象或問題的理解，其中有些理解是正確的，而有些理解則是片面的、不完整的，有些甚至是完全違背科學觀念的，研究者把這些完全違背科學知識的理解稱為錯誤概念，而錯誤概念具有廣泛性、自發性、頑固性和負遷移性，在傳統課堂教學下，無論物理專業還是非物理專業，都有部分學生對麥克斯韋方程組存在誤解，可能導致對其應用的困難，教師在教學過程中應采取有針對性的教學措施，及時糾正學生的錯誤概念，提高課堂教學效果.

1 麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組由高斯定理、法拉第定律(環路定理)、磁場的高斯定理和安培環路定理4式組成.

(1)

(2)

(3)

(4)

麥克斯韋方程組有積分和微分兩種表達形式，積分形式側重于使用間接的量——如電位移通量、磁通量、自由電荷代數和、電場的環量、電流強度等對電磁場整體性質的描述；而微分形式利用數學的高斯定理和斯托克斯公式，引入旋度和散度的概念，從而表達出場中任意點的電磁量與領域點電磁量的時空關聯.

式(1)為靜電場的高斯定理.描述電場與空間中電荷分布關系，表示靜電場是一個有源場，靜電場中任意閉合曲面的電位移通量等于該曲面內的自由電荷的代數和.

式(2)為環路定理(也稱法拉第定律).靜電場沿任一閉合曲線的環流為零,表示靜電場是一個勢場；同時這個式子也體現了變化的磁場能夠產生電場，感生電場方向的判定遵從楞次定律.

式(3)為磁場的高斯定理，磁感應強度對任一閉合曲面的通量為零，表示磁場是一個無源場，不存在磁單極子，磁感線閉合.

式(4)為安培環路定理，闡明磁場可由兩種方法生成：一種是靠傳導電流(安培定律)，另一種是靠時變電場，或稱位移電流(麥克斯韋修正項)，說明磁場是渦旋場.

麥氏方程組描述了場源(ρ和J)如何影響電磁場的演化，電場和磁場的互相激發，電磁場也會按洛倫茲力對場源施加作用.滿足麥氏方程組的兩個四元函數E(x,y,z,t),B(x,y,z,t)構成電磁波，以光速向外傳播信息和能量.

2 研究設計

本研究樣本為北京某高校125名物理學專業大一本科生.課堂教學中使用PI教學法，收集學生關于電場和磁場認識的概念測試題(問題1)的討論錄音，并對錄音進行轉錄，分析學生外顯的錯誤概念.

問題1:如圖1所示，電容器在被一個恒定電流I充電的過程中，在電容器中的P點

(1)有穩恒電場

(2)有變化的電場

(3)有穩恒磁場

(4)有變化的磁場

(5)有變化的電場和不變的磁場

(6)有變化的磁場和不變的電場

(7)以上都不對

其次，在電磁學課程結束的時候設置開放性問題(問題2)讓學生進行書面回答，從方程書寫正確與否及對電磁場的認識兩方面對125份答卷進行分析，并將學生出現的錯誤進行統計和歸類.

問題2:寫出麥克斯韋方程組，并依此談一談你對電磁場的認識.

綜合分析學生在問題1和問題2中出現的錯誤概念，提高研究結果的信度.

3 研究結果

3.1 學生對問題1的課堂討論

研究樣本共33組，每組3～4人，其中30組經過討論得到了正確的結果，也給出了正確的解釋，找出學生討論過程中外顯的錯誤概念并進行分類，主要存在以下3類,如表1所示.

3.2 麥克斯韋方程組公式的書寫

大部分學生能夠完整、正確寫出方程組，但是細節方面錯誤很多，主要存在5類錯誤，具體如表2所示.

研究還發現，學生在書寫真空中的麥克斯韋方程組積分形式出現錯誤的次數遠高于其他形式.

3.3 基于麥克斯韋方程組對電磁場的認識

在問題2回答對電磁場認識的時候，大部分學生能從電磁場相互聯系、相互激發等方面解釋，也有少數學生提到對稱性、電磁張量的統一性等重要內容；但也普遍存在很多問題，如表述不夠準確導致歧義，簡單“讀”方程等.總體來看學生對電磁場的認識主要存在以下幾種錯誤概念.

(1)對電場和磁場的相互關系理解有誤.學生回答中最常見的錯誤表述是“變化的電場產生變化的磁場，變化的磁場產生變化的電場”“有電場的地方一定有磁場”“感生電流的存在會有電場產生”.而根據麥氏方程組式(2)(環路定理)和式(4)(安培環路定理)可知，感生電場由變化的磁場產生，同時變化的電場也可以產生磁場，由此產生的電場和磁場是否恒定則由原磁場和原電場的時間變化率決定，變化率恒定則產生恒定場，變化率不恒定時產生的場是和變化率一樣隨時間變化的，此時，“變化的磁場產生變化的電場，變化的電場產生變化的磁場”又是正確的，因此，不能一概而論.

(2)對電場和磁場的不恰當類比.由于電場和磁場在很多方面的相似性，學生容易將靜電場中學到的知識簡單地遷移到磁場中，造成對磁場的理解有誤，如靜電場是無旋的，靜磁場是無源的.除此之外有學生認為變化的磁場(電場)能產生電場(磁場)，因此簡單認為電場和磁場“是同一種物質”，或者“是一種物質的兩種存在形式”.

對學生的討論錄音進行分析時還關注到，大部分學生在討論中只是陳述自己的觀點和理解，并沒有進行有效交互討論，只有極少數小組對組內學生外顯的錯誤概念進行了針對性的糾正，所以仍然有學生沒有發現和糾正自己理解中存在的錯誤，并在問題2中又出現了同樣的錯誤.

在討論中出現錯誤次數最多的錯誤概念為“變化的電場能夠產生變化的磁場”，對出現此錯誤概念的13位學生的問題2的書面回答進行分析，發現其中有2位學生又外顯出類似的錯誤(98號在問題2回答中寫道“電場周圍必定存在磁場”，79號寫道“磁場也可以激發電場”)；除此之外有2位學生在討論中沒有外顯這一錯誤，但是在問題2回答中出現.由此說明學生的錯誤概念具有頑固性，經過課堂教學后錯誤概念并沒有得到改正.

4 結論

本次研究對125名學生的討論和書面回答進行分析，總結出大學生對麥克斯韋方程組的理解和應用容易出現的6類錯誤：方程書寫不規范(方程書寫中分不清積分符號、不寫矢量符號)，對電磁場的相互關系理解有誤(認為變化電場能產生變化的磁場、認為變化的磁場能產生電磁波)，將電磁場進行不恰當類比(認為電場和磁場是同一種物質)，對平行板間電磁場認識有誤(認為平行板間沒有電流通過，使用畢奧薩伐爾定律求解極板間磁場)，不能正確理解位移電流(認為位移電流是變化磁場產生的電流、不能理解位移電流在極板間的分布情況)，對感生電場理解不到位(認為電場始終為勢場、對感生電場方向判斷錯誤).

教師在教學中應該充分了解學生的錯誤概念，以此為起點設計有針對性的教學策略，有效幫助學生改正錯誤概念，提升對麥克斯韋方程組的理解.