失穩背景流下對稱型海洋內波的生成演變

趙艷玲，盧姁，黃泓，劉賽賽，張銘

(1.中國人民解放軍31010 部隊，北京 100081；2.中國人民解放軍32021 部隊，北京 100094；3.國防科技大學 氣象海洋學院 大氣環流與短期氣候預測實驗室，江蘇 南京 211101)

1 引言

海水密度穩定層化海洋中普遍存在海洋內波，其對人類的海洋活動有很大影響。內波對海洋中的混合有重大貢獻，其生成機制一直是物理海洋學的重要研究課題之一[1-3]。潮汐與地形相互作用是內波在陸架區的主要生成機制[4-5]。不過，在無潮汐與地形相互作用時，海洋內波也常被觀測到[6-7]。Mack 和Hebert[8]通過分析熱敏電阻測溫資料后，認為剪切背景流的不穩定是赤道東太平洋上層內波產生的主要機制。Lozovatsky[9]在孟加拉南部灣做了觀測，揭示了受剪切流不穩定影響的密度躍層中高頻內波的基本結構和特征。Zhang 和Alford[10]考察了華盛頓大陸架上非線性內波的不穩定性，在監測到的130 個不穩定內波中，有108 個被確定為剪切不穩定。Yuan 等[11-12]利用內波線性理論模型，分析了黑潮的不穩定性，研究了黑潮附近內波的生成機制。研究指出，對于向西傳播的擾動，由南向北的黑潮流場是不穩定的，此時內波從黑潮吸收能量并增長，并提出了黑潮流場不穩定性可激發內波的新觀點。他們還用該理論模型解釋了衛星SAR 圖像觀測到的內波與黑潮西邊界共存的現象，從而驗證了黑潮流場的不穩定性確實可激發出內波。

初始擾動的存在和海洋內波振幅的增長是內波產生的重要條件，而后者與垂向剪切背景流的不穩定性密切有關。對于波動的線性不穩定問題，背景流的失穩與波動的不穩定兩者是等價的；可利用標準模方法，將波動的線性不穩定問題轉化為一個常微分方程與其邊界條件構成的特征值問題，并可離散化為矩陣的特征值問題來數值求解，這也是求解此問題的常用方法[13]；然而對非線性穩定性問題這種方法失效，此時必須采用另外的辦法[14]。利用數值實驗方法能夠研究線性和非線性波動的發展演變問題[15]；故對海洋內波的發展演變，同樣可采用數值實驗的方法來研究[16-17]。

波動與背景流的配置關系是背景流失穩及波動穩定性問題研究的重要方面。當波動傳播方向與背景流方向相同（垂直），即波動的波陣面與背景流方向垂直（平行）時，則該波動稱為橫波（對稱）型波動[13,18]。有關在失穩垂向剪切流下線性和非線性海洋內波生成發展的理論研究及數值實驗有不少[16-17,19-20]。然而對于對稱型海洋內波的理論研究不多[21]，這方面的數值實驗至今也尚未見到。因此，對垂向失穩剪切流下對稱型海洋內波的振幅增長形態、波動結構和傳播特征、躍層附近波動的表現圖像、波動增長的最優尺度，以及線性與非線性波動表現異同等重要問題均需研究和回答。為此，本文利用一個自研的非靜力數值模式，對失穩垂向剪切背景流下線性和非線性對稱型海洋內波的生成演變做了數值實驗，試圖回答以上重要問題，并進行討論。

2 數值模式和實驗方案

采用無海底地形的二維非靜力準不可壓縮方程組，考慮了海洋躍層和剪切背景流的作用，并設擾動（內波）傳播方向為x方向，水平背景流的流向垂直于該擾動的傳播方向，即該流向為y方向；再設該擾動（內波）沿背景流的流向是均勻的，也即對該擾動（內波）有?()/?y=0，而y方向也是該擾動（內波）波陣面的方向。z方向由海底垂直指向海面，并設海底為z=0。這樣依據文獻[22-23]，并取對稱型擾動形式后，該數值模式所使用的控制方程組為

式中，ζ=?w′/?x－?u′/?z為等y面上的渦度，且滿足泊松方程ζ=?2ψ，ψ為流函數；u′、v′、w′分別為x、y、z方向的擾動流場；σ′=－gρ′/ρ0，σ′為位密度擾動，ρ′為密度擾動，在此 ρ0為海水標準密度，取為常數；N2=N2(z)為海洋層結參數；f為地轉參數；g為重力加速度，對海洋內波均取為常數。在式（1）中，非線性項為u′?()/?x（平流項）和w′?()/?z（對流項），若略去這兩項就成為線性模式，否則為非線性模式。因不考慮海底地形以及本模式海面采用剛蓋近似，故上、下邊界條件為

在數值求解該控制方程和邊界條件時，首先對該方程做數值積分，得到下一時刻的ζ、v′、σ′值；然后用超松弛迭代法解泊松方程ζ=?2ψ得到 ψ；再由u′=－?ψ/?z，w′=?ψ/?x通過差分求得u′、w′，由此得到該時刻的所有變量值；之后再對該方程繼續進行數值積分，如此循環往復，直至積分至指定的時刻終止。模式水平范圍為48 km，水平方向取601 個格點，格距為80 m；垂直范圍（海深）取1 840 m，分23 層，有24 個層次，第1 層次為海底（下邊界），第24 層次為海表面（上邊界），層次間距也為80 m。水平側邊界取海綿邊界條件。空間差分取中心差，時間積分取前差迭代方案，積分時間步長取12 s。

模式在第22 層次有躍層存在，在該層次取層結參數N2=10－4s－2，而其他層次均取N2=10－8s－2。之所以這樣取是因實際海洋中除躍層外，其他地方密度垂向變化都很小。因實際海洋中往往存在躍層以下流動與表層相反的情況，故本文中取該模式的背景流為：在海底為-0.5 m/s，之上至海表面呈線性變化，海表面其值取0.5 m/s。模式中取地轉參數f=0.694 0×10－4s－1（28.5°N 處的值）。

本文用流函數來表示流場擾動，在其正、負中心的外圍分別有順、逆時針旋轉的環流圈，擾動速度的大小則由流函數等值線的疏密程度來反映。在下文流函數與位密度分布圖中，橫坐標為x方向（指向右方），x值為距左邊界（x=0處）的距離，單位為80 m，此值也可視為x方向的水平格點數（以下簡稱格點），左、右邊界的格點分別為0、600；縱坐標為z方向（指向天頂），其值為垂向層次數；y方向則由頁面之外垂直穿透頁面。這些以下都不再贅述。本文數值實驗中模式的積分終止時刻：線性情況為30 h，非線性情況為72 h。

模式初始無流場擾動。初始位密度擾動場在垂直和水平方向分別呈半個簡諧波形態，垂直和水平半波長分別為1 840 m（海深）和320 m（4 個格距），其中心在距左邊界20.08 km（格點251）的海深一半（水深920 m）處；半個簡諧波范圍在格點249～253 間的各層次之內，而之外，初始位密度擾動的值都為0；該范圍中心處的位密度擾動值，也是最大值（振幅）為10－3m/s2。

以上數值實驗中所用的背景流、層結等環境參數以及初始場均取理想而非實際值，但大多符合實際海洋的典型情況[17]。

3 線性模式內波生成發展

3.1 速度場演變

現利用上述線性模式來分析剪切背景流的失穩和內波的發展過程。本文取是格點總數）來反映全場擾動速度隨時間的變化，并用以分析波動的發展演變過程，在此表示對該模式范圍的所有格點求和。因本文初始場僅有位密度場擾動而無流場擾動，故開始積分后，流場和位密度場會相互調整，激發出重力慣性波，并向周圍傳播。

圖1a 給出了E值隨積分時間的變化。由圖1 可見，在積分的前12 h，E值大致呈指數形式很緩慢地增加，12 h 后E值則呈指數形式急劇增大，這表明該系統進入迅速發展階段，也即該系統明顯存在不穩定，對線性模式，背景流的失穩與擾動的不穩定是等價的；因在此層結是穩定的，故從該擾動系統與背景流的配置來看，該不穩定屬對稱不穩定，其是重力慣性內波的不穩定。

南宋時期，東西部文化差異及差距客觀存在，而陸游以東部吳越文化的視角考量西部，將一些差異也變成差距，無疑加深了其差距的尺度，增加了地理學的人文情感因素。

3.2 流函數

圖1 線性(a)和非線性(b)模式中E 值隨時間變化Fig.1 The variation of E values over time in linear (a) and nonlinear (b) models

圖2 給出了流函數的空間分布。積分3 h（圖2a）可見，在初始位密度周邊，原先靜止的流場現已出現了兩個流動方向相反的環流圈，兩環流圈之間有幾乎垂直的較強上升流，而其他各處流動微弱。積分6 h（圖2b），該兩個環流圈由原來的一個中心現演變為在其上、下部各有中心，且上部中心在左，下部中心在右，環流的強度也在增加，此時模式范圍內擾動速度場u′的最大值為0.61 m/s。積分12 h（圖2c），以上兩個環流圈又演變成傾斜環流系統，該系統由具有正、負中心的兩個傾斜環流圈組成，在系統正、負中心之間從海底向上至躍層之下有強傾斜上升流，且該系統已演變成經典的對稱不穩定環流系統[22]，此時為0.80 m/s。積分18 h（圖2d），該對稱不穩定環流系統強度持續增加，形態變化不大，僅在其左、右兩側有新的傾斜擾動出現，此時為1.33 m/s。積分24 h（圖2e），該系統強度繼續迅速增加，但形態仍變化不大，在其左、右兩側的傾斜擾動持續發展，此時為3.45 m/s。積分30 h（圖2f），該系統形態仍維持，強度還在迅速增強中，此時增至8.91 m/s，已高出海洋典型流場10 cm/s 約2 個數量級，為此結束該數值實驗。

由圖2 可見，積分12 h 后流函數的主體形態即正、負傾斜環流圈的水平尺度維持大體不變，此時該主體形態的水平尺度約為6.4 km，其遠大于初始擾動尺度320 m；這表明該尺度是在本文所取環境場（即地轉參數，層結參數和背景流，其與典型值相差不遠）下，線性對稱不穩定的最優增長水平尺度。從該主體形態的位置看，在擾動發展中其位置不變，這表明線性對稱不穩定是原地增長的。

3.3 位密度

圖2 線性模型中流函數的空間分布（等值線表示流函數，單位：m2/s）Fig.2 The distribution of stream functions in linear models (isolines represent stream functions,unit:m2/s)

因位密度擾動 σ′與密度擾動 ρ′成正比，比例系數－g/ρ0為常數，故可分析 σ′的演變來得知 ρ′的演變。圖3給出了各時刻 σ′的空間分布，初始時其空間分布如上文所述。積分3 h（圖3a）可見，σ′的分布與初始時截然不同，其擾動中心已由海深一半處垂向移至初始擾動上方的躍層（22 層）及之上，并向左右傳播。積分6 h（圖3b），σ′這種態勢分布大體維持，并出現了從左至右的負、正、負的3 個擾動中心，擾動強度也有所增強。積分12 h（圖3c），躍層及附近 σ′分布的態勢仍基本維持，其強度還在增加，此時原先3 個擾動中心，現在最右邊的消失，成為一對擾動中心，并與之相應在海底附近也開始出現擾動中心。積分18 h（圖3d）躍層及附近 σ′的分布態勢依然維持，強度進一步增加，原在海底附近的擾動中心加強并向斜上方伸展，構成傾斜方向貫穿整個水體的正擾動帶。積分24 h（圖3e），σ′的分布大體態勢不變，僅強度進一步不斷增強。積分30 h（圖3f），σ′的分布態勢仍大體不變，但強度迅速加強，此時在原先傾斜貫穿水體的正擾動帶兩側又出現了貫穿水體的負擾動帶，該正擾動帶與從海底向上至躍層之下的傾斜強上升流相配合，而負擾動帶則與該強上升流兩側的傾斜下沉流相配合。

圖3 線性模型中位密度擾動場的空間分布（等值線表示位密度，單位：10-4 m/s2）Fig.3 The distribution of potential density perturbation in linear models (isolines represent potential density,unit:10-4 m/s2)

綜上，線性對稱不穩定12 h 后位密度擾動 σ′的大值中心位于初始擾動水平位置上方的躍層附近，以后位密度擾動 σ′的分布形態也大致不變，僅強度增加。這表明海洋內波被躍層所俘獲，并與實際海洋內波的觀測相一致。與流函數相應，位密度擾動也呈原地增長，其最優增長水平尺度同流函數。

4 非線性模式內波生成演變

本節分析非線性模式中內波的生成演變規律。該模式中因存在擾動與擾動的相互作用，故背景流的失穩與擾動的不穩定并不等價，這與線性模式不同。這里非線性模式中的環境條件（背景流和層結參數等）以及初始場均取得與線性模式相同。

4.1 速度場演變

在此與線性模式相同，也用E值隨時間的變化來反映波動的發展演變過程。由圖1b 可見，擾動在開始的6 h 內E值變化較激烈，以后E值大體按線性形式增長，這與線性的情況有很大不同，到65 h 后，增長幾乎停止甚至出現衰減。將圖1b 與圖1a 相比較可見，在積分30 h 前，非線性的內波增長要較線性慢，且12 h 后其增長仍呈準線性形式，這與線性的指數增長不同，并由此可見非線性效應有維穩作用。

4.2 流函數

圖4 給出了流函數的空間分布。由積分3 h（圖4a）可見，此時其流函數分布與線性情況大體相同，不再贅述。積分6 h（圖4b），此時流函數的分布已與線性情況有所不同，在海洋中層原初始擾動場位置及兩側出現了4 個從左至右的負、正、負、正的環流中心，及與這些中心相對應的垂向環流圈，此時模式范圍內擾動速度場u′的最大值為0.17 m/s。積分12 h（圖4c），以上4 個環流圈中原先左邊第3 個環流圈發生了傾斜，在該環流右下方的海底之上出現了垂向等值線的密集帶，表明該處垂直運動強，此時仍為0.17 m/s。積分24 h（圖4d），原先傾斜環流圈左、右兩側的環流圈也發生傾斜，原先的垂向等值線密集帶現已消失，不過在格點210 附近的海底之上又出現了新的垂向等值線密集帶，表明此處垂直運動很強，此時仍維持在0.17 m/s。積分36 h（圖4e），在原先較強的負環流圈的左、右兩側又形成了較強的負環流圈，這表明負環流圈在總體增強，而垂向等值線密集帶的位置則基本不變，此時增加到0.20 m/s。積分48 h（圖4f），負環流圈總體增強的趨勢仍維持，左側的負環流圈強度增至最大，右側的強度也明顯增加，不過中間的負環流圈強度減弱，3 個負環流圈的傾斜度都略有增加，而原先垂向等值線密集帶則略有右移，此時為0.19 m/s。積分60 h（圖4g），原先最左邊正環流圈左側很弱的負環流現明顯增強，在模式范圍水體內現有4 個負環流圈，原先垂向等值線密集帶的位置仍略有右移，不過在該密集帶左邊的海底之上又新生了垂向等值線密集帶，這表明擾動向左、右跳躍式傳播，此時則為0.22 m/s。積分72 h（圖4h），流函數分布態勢變化不太大，擾動仍向左、右方傳播，并已覆蓋至模式的全部范圍，兩條垂向等值線密集帶的位置仍都略有右移，此時為0.19 m/s。

綜上，在此流函數的發展演變與線性情況不同，流函數向左、右方的傳播明顯，流函數環流圈的正、負振幅也不對稱，負振幅要更大，并在海底之上會生成流函數垂向等值線密集帶，其可看成間斷；然而流函數的傾斜環流圈以躍層為頂蓋這一點，則對線性和非線性情況都適用。

4.3 位密度

圖5 給出了各時刻位密度擾動 σ′的空間分布，初始的空間分布見上文。由積分3 h（圖5a）可見，σ′的分布與線性情況也大體相同，不再贅述。積分6 h（圖5b），與線性情況相比，在躍層及之上的 σ′擾動向左、右方傳播較快，并出現多個正、負擾動中心。積分12 h（圖5c），在初始擾動中心之上的躍層及附近，σ′出現了一個負中心，其左、右側各有一個正中心，左側的正中心傾斜向下伸展，在躍層之下又形成一個較強的正中心；與躍層上負中心的水平位置相應，在海底也有一個負中心向上伸展，在其左側海底之上出現了位密度垂向等值線的密集帶，表明該處位密度水平梯度很大。積分24 h（圖5d），σ′分布的變化不很大，原海底的負中心明顯加強，與躍層之下海洋上部的正中心形成正、負中心傾斜對峙的形態，在海底該負中心的左側又出現一個較弱的正中心，在該較弱正中心左側海底之上新生了一條位密度垂向等值線密集帶，而原先的那條消失。積分36 h（圖5e），σ′分布的變化仍不太大，原先在海底的負中心明顯加強，原先新生的垂向密集帶現在其位密度水平梯度還在加劇。積分48 h（圖5f），在原先 σ′正、負中心傾斜對峙位置的左、右方分別又出現了同樣的傾斜對峙形態，這樣就總共有3 個該對峙形態，原先的垂向密集帶略有右移。積分60 h（圖5g），原先3 個對峙形態的負擾動中心均增強，正擾動中心均減弱，在原先左邊對峙形態的左側又新生成一個對峙形態；原先的垂向密集帶仍略有右移，在其左邊又新生了一條垂向密集帶。積分72 h（圖5h），擾動繼續向左、右方傳播，最右邊又新增加了一個對峙形態，現對峙形態已增加到5 個，并總體上保持負中心強，正中心弱的態勢，原先的兩條垂向密集帶依然略有右移，但右邊的那條水平梯度有所減弱，此時位密度擾動 σ′已覆蓋該模式的全部范圍。

綜上，非線性情況當存在躍層時，海洋內波同樣會被躍層所俘獲，在躍層上始終也都存在位密度擾動的大值中心，并最終形成多個正、負中心傾斜對峙的形態；每個對峙形態中位密度擾動的正、負中心分別對應于流函數環流圈上的傾斜上升、下沉流；非線性效應也會造成位密度等值線的密集，形成垂向密集帶，其也可看成間斷。

5 討論

圖4 非線性模型中流函數的空間分布（等值線表示流函數，單位：m2/s）Fig.4 The distribution of streamfunctions in nonlinear models (isolines represent stream function,unit:m2/s)

圖5 非線性模型中位密度場的空間分布（等值線表示位密度，單位10-4 m/s2）Fig.5 The distribution of potential density perturbation fields in nonlinear models (isolines represent potential density,unit:10-4 m/s2)

首先，比較本文取同一失穩垂向剪切背景流下，線性與非線性對稱型內波的差異。線性內波強度呈指數增長態勢，該內波是對稱不穩定的。而非線性內波的強度有很長一段時間大體呈線性增長，可看作該內波的發展期，此時的增長要比線性的指數增長小很多，以后該內波進入穩定期，不再增長甚至略有衰減（圖1）。這表明非線性效應抑制了內波增長，最終使擾動趨于穩定，非線性效應具有維穩作用。之所以這樣是因為在非線性模式中，除了存在線性模式中的背景流與波動的作用，背景流將能量輸送給波動，使之發展（不穩定）之外，還存在因非線性項（平流項和對流項）引起的波波相互作用；該作用使某個從背景流獲得能量而發展的波又會將能量轉移到其他波上，從而因能量的流失而抑制了自身的發展；該非線性過程十分復雜，難以解析求解。文獻[14]曾討論了正壓大氣的非線性不穩定問題，然而本文所用的控制方程組是非靜力的，遠較正壓大氣的復雜，故對本文控制方程組的非線性穩定性至今尚無理論證明，這也是本文要進行數值研究的原因。對線性內波的對稱不穩定，隨著積分時間增加，擾動波形基本不變，正振幅和負振幅兩者大體相同，且呈符號相反原地增長的傾斜環流圈，在該環流圈之間則有強傾斜上升流，理論分析的情況也是如此[21,24]。非線性內波情況有所不同，因非線性項的平流和對流作用，其波形隨積分時間的增加而發生變化，傾斜環流圈數目也在增加，并最終形成負環流強度大于正環流強度的結果，即非線性內波的負振幅要大過正振幅[25]。由于非線性追趕效應（主要由平流項造成），隨著積分時間增加，會導致流函數及位密度擾動水平梯度越來越大，形成等值線密集帶，并可視為間斷[25]，而線性情況因無平流項不會出現此情況。

其次，討論該對稱型不穩定波動的性質。由上可知，無論是線性還是非線性內波，都有正、負位密度擾動區對應于上升、下沉運動區。注意到位密度擾動與密度擾動正、負符號相反，這樣就有負密度擾動區對應于上升運動，正密度擾動區對應于下沉運動，故而此種運動屬于對流；然而這時層結是穩定的，這樣就不可能有純垂直對流的發生，此時只有傾斜對流才能得到維持和發展。大氣中對稱不穩定也稱之為斜對流不穩定，并可用等熵面（等位溫面）上的微團運動來討論[24]，對海洋而言，等位密度面則起到了等位溫面的作用。

最終，要討論實際海洋中是否存在內波對稱不穩定的問題。黑潮是一支強西邊界流，其在躍層之下的流向與躍層上的流向相反，表現為一支垂向剪切流。引言中已提到Yuan 等[11-12]指出，對于向西傳播的擾動，由南向北的黑潮流場是不穩定的，并解釋了觀測到的內波與黑潮西邊界共存的現象。由于黑潮自南向北流，而擾動向西傳播，顯然擾動（內波）的傳播方向與背景流（黑潮）垂直，而觀測到的內波與黑潮西邊界共存則表明該內波波陣面平行于背景流（黑潮），故該內波為對稱型內波；因背景流（黑潮）的失穩，致使該內波得以生成和發展。如此看來，在實際海洋中垂向剪切流的失穩造成對稱型內波的生成發展應該確實存在，并值得進一步研究。

6 結語

本文采用無海底地形但考慮海洋躍層和背景流的二維非靜力準不可壓縮方程組，以及據此自研的數值模式，對失穩垂向剪切背景流下線性及非線性對稱型海洋內波的生成發展做了數值實驗，所得主要結論有：

（1）失穩垂向剪切背景流下，對稱型內波得以生成發展，線性情況則有內波的對稱不穩定，該內波強度呈指數增長；非線性情況內波強度在發展期呈準線性增長，最終進入穩定期；線性增長比非線性增長要快得多，而非線性效應具有維穩作用。

（2）對該生成發展的線性、非線性對稱型內波，在躍層處的位密度擾動均存在大值中心，即其為躍層所俘獲，這與實際觀測相一致；流函數與位密度擾動有很好匹配，位密度擾動的正、負中心分別相應于流函數的上升、下沉運動，這表明有斜對流發生，且該斜對流以躍層為頂蓋。

（3）隨積分時間增加，該線性對稱型內波的波形大體不變，正、負振幅也大體相同，且呈現符號相反原地增長的兩個傾斜環流圈，在它們之間有強傾斜上升流；而非線性對稱型內波的波形則隨積分時間改變，傾斜環流圈數目也在增加，最終形成負環流強于正環流的態勢，并有流函數、位密度擾動的水平梯度劇增，其可視為間斷。

最后要指出的是，關于實際海洋背景流、環境參數和初始場的數值實驗，則是我們今后進一步要開展的工作。