系統可靠度約束下的備件配置優化

王 成, 許建新, 李連玉, 王紅軍, 張振明

(1. 西安航空學院機械工程學院, 陜西 西安 710077;2. 西北工業大學機電學院, 陜西 西安 710072;3. 航空工業成都飛機工業(集團)有限責任公司, 四川 成都 610092;4. 北京信息科技大學現代測控技術教育部重點實驗室, 北京 100192)

0 引 言

備件的配置優化對于系統可靠性的保障和維護成本的降低具有重要的作用。近年來,備件的配置優化問題受到國內外學者的廣泛關注[1-2]。特別是近幾年,基于系統效能的備件配置越來越受到重視。如張志華等[3]研究了串聯系統備件滿足率的多種分配方法,為合理制定串聯系統備件保障方案提供了理論依據。王曉波等[4]研究了以單備件滿足率與系統滿足率作為約束條件,以系統利用率作為目標函數的備件配置模型,該模型為魚雷基層級、基地級維修初始備件數量確定提供了參考。Jin等[5]提出了一個集成的產品-服務模型,通過同時分配可靠性、冗余性和備件來保證系統的可用性。Wang等[6]提出了基于系統可靠性的艦隊備件優化配置方法,目標是滿足艦隊系統可靠性的前提下,最小化每個備件的數量。Dreyfuss等[7]以窗口滿足率為最大化目標,研究了兩級可交換物品維修系統中的備件分配問題。Guo等[8]研究了依賴延遲交貨的多組件可維修孤立系統備件配置決策方法。邵松世等[9]采用系統分析法構建備件保障效能評估指標體系,研究初始備件配置優化方法,該方法為保障資源的優化配置提供了參考。

關于基于系統效能的備件配置的研究,主要難點在于如何建立系統與單元之間的備件保障指標數學模型,常見的模型有3種:① 按照國軍標GJB4355規定,將串聯系統的部件保障概率可近似認為是各單元保障概率中的最小值[10];② 串聯系統的部件保障概率等于各單元保障概率的乘積[4];③ 串聯系統的部件保障概率為各個單元部件保障概率的線性加權[11-12]。每一種模型的適用性都受任務時間和單元個數的限制,因此在實際應用中應根據具體的任務時間和單元個數選擇相應的模型進行備件配置。現有的研究主要集中在基于滿足率進行備件的配置優化,在工程應用中起到了較好的應用效果。但其在精準量化方面還存在不足,針對目標系統的準確保障還有待提高。為了解決現有備件配置存在的不足,以可靠性為中心理論,開展基于系統可靠度的備件配置方案研究。

本文從保障系統可靠度的角度出發,構建了系統可靠性模型和備件配置模型,以系統可靠度閾值和任務運行時長為約束條件,采用成本效益重要度對備件配置模型進行優化,尋求以備件配置成本最低為目標的備件配置方案。

1 系統可靠性模型

假設系統由n個型號各異的電子類組件串聯而成,組件i服從平均故障率為λi的指數分布。組件i的可靠度函數Ri(t)可以表示為

Ri(t)=e-λit,i∈{1,2,…,n}

(1)

由此可知,系統的可靠度函數Rs(t)為

(2)

2 備件配置模型

假設系統在備件更換時刻之前發生突發失效,則立即進行小修,小修時間忽略不計,每次小修產生的維修成本為c。備件的更換原則就是在整個保障時間內使其備件和維修總成本達到最小,即

(3)

3 成本效益重要度

本文的備件配置模型屬于非線性整數規劃問題,使用一般的規劃論方法求解,過程較為復雜,因此采用邊際效應思想進行優化求解[13],以達到對有效資源的合理利用。為此,本文將所需配置備件的最小成本問題轉化為在任意一次更換時刻選擇哪一個組件進行備件才能使所選擇的備件單位成本提升的系統可靠度增量最大的問題。

取第j次組件更換時刻作為研究時刻點,并求出該時刻的單位成本提升的系統可靠度增量。在第j次更換時刻對第i個組件進行備件更換后備件單位成本提升的系統可靠度增量可以表示為

(4)

式中,ηi(t)為第i個組件成本效益,將其定義為單位成本提升的系統可靠度增量;R(t)為第i個組件更換之前的系統可靠度函數;Rω(t)為第i個組件更換之后的系統可靠度函數,第i個組件備件更換后對整個系統的可靠度會有一個提升,此時的系統可靠度函數可以表示為Rω(t)，且Rω(t)<1。

為了量化描述Rω(t),首先研究第i個組件的備件更換行為對第i個組件可靠度的影響。假設第i個組件工作一段時間后對其進行備件更換,此時的組件可靠度相當于通過一個時間的正向偏移量來提升其可靠度直到為1,即

(5)

由此可知,Rω(t)可以表示為Rω(t)=R(t-ε),0<ε<τ,其中ε表示由第i個組件進行備件更換時對整個系統可靠度提升所需的時間正向偏移量。

為了使R(t)能夠由含Ri(t)的表達式來表示,本文采用重要度(importance measure, IM)[14]方法進行求解。IM方法被廣泛應用于系統工程、可靠性工程等領域[15-17],用以評估各種對象的相對重要程度,如系統中組件的重要程度。IM方法用于識別系統中最重要的組件,這些組件在可靠性、風險或安全性方面更顯著地影響著系統的運行。通常來講,IM方法用于量化系統的各個組件對整體系統性能(例如,可靠性、風險、可用性)的貢獻[18-19]。有關IM的方法很多,本文選擇Birnbaum重要度(Birnbaum importance, BI)理論[20]進行問題的求解。

根據樞軸分解定理[14]和BI理論對R(t)進行變形展開,具體過程如下。

由樞軸分解定理可知,R(t)可以表示為

R(t)=Ri(t)R(1i,t)+(1-Ri(t))R(0i,t)

(6)

式中,R(1i,t)為當第i個組件正常時在t時刻的系統可靠度函數;R(0i,t)為當第i個組件失效時在t時刻的系統可靠度函數。

(7)

由式(6)和式(7)可知,R(t)可以變形為

(8)

同理可知,Rω(t)可以變形為

(9)

將式(8)和式(9)代入式(4)可得

(10)

(11)

4 備件配置優化

在系統可靠度不低于預設閾值以及保障時間達到設定時間兩個條件下,基于成本效益重要度優化模型,采用模擬消耗式組件的方式來反向求解各組件所需備件的配置數量。當系統可靠度未達到下限閾值前,如果出現部件故障,采用小修的方式快速恢復系統功能,其間僅計入維修成本,維修時間忽略不計。當系統可靠度低于預設閾值時,將待更換的各組件成本效益重要度從大到小依次排列,對成本效益重要度最大的組件進行備件更換,備件更換相當于在原組件壽命時間的基礎上前移了一個時間τ,使其可靠度變為1。假設更換過程沒有時間延遲,更換完成后形成新系統繼續運行,并根據約束條件決策是否進入下一次更換。最后,求出整個保障時間內各組件所需更換備件的數量,形成最優的備件配置方案。詳細的備件配置優化過程如圖1所示。

圖1 備件配置優化過程

步驟 1參數預設。按照任務的要求,設置系統可靠度下限閾值以及保障時間。

步驟 2系統運行。判斷系統運行時間是否到達任務中止時間,如果到達,任務完成。如未到達,判斷系統可靠度是否下降到預設閾值。如果高于預設閾值,在未發生故障的情況下系統繼續運行,如果發生故障,對系統進行小修后快速恢復系統運行。如果低于預設閾值,進行步驟3。

步驟 3組件更換。當系統可靠度下降到下限閾值時,計算各組件成本效益重要度,取最大成本效益重要度對應的備件進行更換,其形式化見式(12)所示,更換完成后,轉到步驟2繼續運行。

(12)

式中,csj為第j次更換時刻需要更換的組件;fj(·)為第j次更換時刻的映射函數。

步驟 4形成最優備件配置方案。當任務完成后,對每次組件更換的備件進行數量統計,形成最優備件配置方案,可以形式化表示為{e1,e2,…,ei,…,en},其中ei表示第i個組件配置的備件數量。

5 算例分析

以某航空企業數控機床主軸系統伺服驅動裝置為例進行系統可靠度約束下的備件配置優化。主軸伺服驅動裝置主要由伺服控制板、功率模塊、伺服電機和編碼器等組件串聯構成,各組件的年平均故障率根據企業對組件的故障頻次進行統計得出,各組件的規格參數如表1所示。

表1 組件規格參數

由式(2)可知,其主軸伺服驅動裝置的可靠度可以表示為

Rss(t)=R1(t)R2(t)R3(t)R4(t)

(13)

式中,Rss(t)為主軸伺服驅動裝置可靠度函數;R1(t)為伺服控制板可靠度函數,且R1(t)=e-λ1t;R2(t)為功率模塊可靠度函數,且R2(t)=e-λ2t;R3(t)為電機可靠度函數,且R3(t)=e-λ3t;R4(t)為編碼器可靠度函數,且R4(t)=e-λ4t。

表2 備件配置迭代過程

圖2 系統可靠度變化情況

6 結 論

針對由電子類組件構成的串聯系統,采用成本效益重要度方法實現了系統可靠度約束下的備件配置優化。根據成本效益重要度最大值選擇系統中最需要被更換的組件進行備件,基于成本效益重要度選擇組件的方法不僅有助于識別系統的瓶頸并防止系統發生意外失效,而且可以方便快捷地實現整個保障時間內的備件配置優化。數值實例驗證了所提方法的可行性,該方法為其他高端裝備中核心電子類產品系統保障提供了參考。

在后續的研究中可以考慮從以下3個方面來拓展:① 取消每次僅更換一個組件的限制,根據可靠度上下限控制要求,研究多個組件的更換策略;② 本文所提方法僅適用元件失效時間服從指數分布的情況,后續可以研究元件失效時間服從一般分布情況下的備件配置方案和優化方法;③ 本文所采用的成本效益重要度方法,在一定程度上方便快捷地解決了工程應用中的非線性整數規劃問題,但仍具有局限性。隨著計算機算力的提升,后續可以采用數據驅動的方式求解最優的數值解。