三維增材鞋面印花機對位平臺的冗余驅動控制策略

沈瑞超， 郗欣甫， 孫以澤

(東華大學 機械工程學院， 上海 201620)

絲網印刷的原理是在刮板的作用下，油墨從絲網版中漏印至承印物上，形成圖文部分；由于原稿空白部分在絲網版上的網孔被堵塞，油墨無法漏印，從而完成印刷[1]。隨著科學技術的發展，絲網印刷技術得到了快速的發展，絲網印花設備的自動化程度也越來越高[2]。而三維增材印花機主要應用在高端運動鞋面的生產上，鞋面印花的特點是鞋面形體復雜多變，油墨厚度較厚。普通圓網、平網印花的油墨厚度為0.1 mm以下，而鞋面印花的油墨厚度可達到0.8 mm以上。要達到這么厚的油墨厚度需要靠幾十次甚至上百次的疊印、套印才能完成[3]，任何一次的印刷出現偏差都會使該鞋面作廢，因此，鞋面印花對疊印套印的精度要求非常高。目前國內外主要依靠人工印花，生產效率低，工作強度高，對工人技能要求高，因此鞋面印花成為行業內的一大難點。鞋面印花無法實現自動化機印的主要原因之一是幾十次或上百次的疊印、套印精度無法解決。

近年來，許多研究人員對自動印花機做了深入的研究：李培等[4]采用基于粒子群算法對印花機對位平臺的綜合誤差進行了補償，該方法只是對綜合誤差進行了補償，沒有分析產生誤差的原因；但丁等[5]則提出了新型臺板定位系統，該系統對于單塊網板的印花有一定效果，但是對于多塊網板套印的定位精度沒有顯著效果。

本文基于三維增材印花機，研發了一種3自由度冗余驅動的高精度對位平臺；提出了基于冗余驅動的同步協調控制策略，同時對系統的換向間隙進行了補償。經過實驗驗證了改進后的對位平臺及其控制策略極大地提高了三維增材印花機對位平臺的對位精度。

1 印花機對位平臺工作原理

1.1 三軸并聯機構(UVW)對位平臺

圖1示出三維增材印花機的照片。其分為印刷機頭、倍速鏈傳送線、烘箱3部分。

圖1 三維增材印花機Fig.1 3-D additive printing machine. (a) Overall structure of 3-D additive printing machine; (b) Structure of printing head

印刷機頭又分為印刷機構和對位機構，其中對位機構采用了UVW對位平臺。UVW對位平臺的核心機構組成是移動副-轉動副-移動副(P-R-P)并聯機構，P-R-P并聯機構可以實現一定范圍內，X方向移動、Y方向移動、θ方向(XY平面)轉動[6]。圖2示出UVW平臺的機構簡圖。

圖2 UVW對位平臺機構簡圖Fig.2 Mechanism diagram of UVW positioning platform

鞋面印刷時，往往需要多塊網版進行套印。當第1塊網板印刷完畢，需要更換網板繼續印刷時，就需要進行對版操作。此時先將第2塊網板固定在對位平臺上，然后操作人員通過觀察網板上的印花與上一塊網板所印的鞋面印花之間的偏差，調整UVW平臺。操作人員將X、Y方向的偏差以及角度的偏差輸入控制器，控制器驅動對位平臺運動，使得第2塊網板上的印花與第1塊網板印好的鞋面上的印花匹配，從而實現對版。由此可見，對位平臺的定位精度對鞋面印刷質量有直接的影響。

1.2 UVW對位平臺運動學逆解

采用幾何法求解UVW對位平臺的運動學逆解。對于平面內的運動可以分解為繞幾何中心的旋轉和沿X、Y方向的平移2部分。

首先分析繞幾何中心旋轉的運動學逆解，圖3示出UVW平臺旋轉任意角度的示意圖。圖中δX1、δX2、δY分別為平臺完成繞平臺幾何中心旋轉δθ時X1、X2、Y軸的位移量。設定平臺順時針旋轉時δθ為正，X1、X2軸的位移為正，Y軸的位移為負。根據旋轉前后的幾何關系即可求出每個電動機的位移量。式(1)所示為δX1、δX2、δY與旋轉角度δθ之間的關系。

圖3 UVW平臺旋轉任意角度示意圖Fig.3 Schematic diagram of UVW platform rotation at any angle

(1)

式中：δX1為X1軸的位移量，mm；δX2為X2軸的位移量，mm；δY為Y軸的位移量，mm；δθ為平臺繞幾何中心旋轉的角度，(°)；θ0為對位平臺原有的旋轉角度，(°)；R為對位平臺幾何中心到各軸軸承中心的假設半徑，mm；θx為連接X1軸與平臺幾何中心的直線與水平方向的夾角，(°)；θy為連接Y軸與平臺幾何中心的直線與水平方向的夾角，(°)。

對于UVW平臺沿X正方向平移ΔX，沿Y正方向平移ΔY，δX1、δX2、δY的位移量滿足式(2)所示關系。

(2)

式中：ΔX為平臺X方向位移，mm；ΔY為平臺Y方向位移，mm。

對于繞平臺幾何中心旋轉δθ，且沿X方向移動ΔX，沿Y方向移動ΔY的逆解公式可通過式(1)和式(2)疊加得到，如式(3)所示。

(3)

2 基于冗余驅動的對位平臺

2.1 冗余驅動的運動學分析

由于目前市場上的UVW對位平臺都是由3個軸驅動，其Y向移動只靠一個Y軸驅動，且該Y軸往往布置于UVW平臺的一側；因此，對位平臺Y向運動時，存在驅動力不足和受力不均的情況，影響Y向的定位精度。同時由于旋轉需要3個軸配合動作，因此也會影響到對位平臺旋轉的定位精度。針對此問題，提出了增加1個Y軸的解決方案，但是由于UVW平臺只有3個自由度，因此增加1個Y軸后，系統變為冗余驅動機構。

冗余驅動是指機構的驅動數量大于機構的自由度[7]，其優點在于可以消除系統奇異點、提高機構運動精度[8]、提高承載能力、提高剛度等[9-10]。然而由于冗余驅動機構比傳統的非冗余機構復雜得多，因此只有依賴一定的控制方法才能更好地發揮出冗余驅動的優點[11-12]。

實現平面內任意角度和任意方向平移，只需要3個原動件即可實現，增加1個Y軸只是為了提高系統的運動精度、承載能力和剛度，因此并不會影響對位平臺的運動學逆解。所以對于冗余驅動的對位平臺平面內運動時，仍然滿足式(3)所示關系。圖4示出了冗余驅動的對位平臺繞幾何中心旋轉δθ時的示意圖。

圖4 冗余驅動對位平臺繞幾何中心旋轉示意圖Fig.4 Schematic diagram of redundant actuation positioning platform around geometric center

對于冗余驅動機構，由于存在機構運動耦合，即機構運動過程中各子系統之間的運動相互影響相互關聯[13]，因此，只有機構中的各個軸在運動過程中嚴格保持一定的關系，才能保證機構正常運行，否則無法發揮冗余驅動機構的優點，而且會由于內力過大造成機構的損壞[7]。為簡化控制過程，將冗余驅動機構在平面內的運動分解為繞幾何中心的旋轉和沿X、Y方向的平移2部分運動。即先將對位平臺繞幾何中心旋轉，然后再將對位平臺沿X、Y方向平移。首先分析對位平臺繞幾何中心旋轉δθ角度時各軸之間的運動關系，由圖4可知運動過程中滿足式(4)所示關系，因此只要找到運動過程中δX1與δY2的關系即可確定4個軸之間的關系。

(4)

式中：δY1為Y1軸的位移量，mm；δY2為Y2軸的位移量，mm。

由此可得到式(5)所示的關系。

(5)

對于沿X正方向移動ΔX，沿Y正方向移動ΔY可得到式(6)所示關系，因此只要保證對位平臺運動過程中嚴格滿足式(5)和式(6)即可使冗余驅動的對位平臺正常運轉，發揮冗余驅動機構的優點。

(6)

2.2 基于冗余驅動的同步協調控制策略

首先對于沿X或Y方向平移ΔX或ΔY,只需保證運動過程中滿足式(6)即可。由式(6)可知，X1軸與X2軸，Y1軸與Y2軸滿足線性關系，因此可采用電子齒輪將X1軸與X2軸同步，Y1軸與Y2軸同步，電子齒輪比為-1。

對于繞對位平臺的幾何中心旋轉，式(5)表達了旋轉過程中對位平臺中Y2軸和X1軸之間的位置關系。由式(5)可知，旋轉運動中Y2軸和X1軸之間的位置關系不是線性關系，因此需要采用電子凸輪的方式來實現。當旋轉前平臺沒有進行過X或Y方向的位移即ΔX和ΔY為零時，式(5)所述的關系即為運動過程中δX1與δY2的凸輪曲線。考慮到對版過程中對位平臺的旋轉角度有限，因此可以預先將計算好的旋轉角度范圍內的凸輪曲線寫入控制器。根據經驗可知，對版過程中網板旋轉的角度范圍為±2°，實際測得L為560 mm，W為400 mm，根據式(1)可分別計算出旋轉-2°和2°時的δX1值分別為-19.787 mm和19.300 mm。因此取δX1運動范圍為(-20，20)即可滿足要求，將δX1在該區間內分成8 192份，根據式(5) 計算出對應的δY2。即將凸輪曲線在(-20，20)區間內離散化為8 192個點，點與點之間采用一次多項式連接，離散化的點越多，運行越平穩，定位精度越高，但是對控制器性能要求也越高。由式(4)可知，旋轉過程中對于X2軸與Y1軸可以采用電子齒輪的方式，將X2軸與X1軸耦合，Y1軸與Y2軸耦合，電子齒輪比為1。這樣就可以實現冗余驅動的對位平臺在一定范圍內繞幾何中心旋轉任意角度。如果旋轉前對位平臺在X或Y方向有ΔX和ΔY的位移時，則需要對上述離散后的凸輪點沿X或Y方向偏移ΔX和ΔY即可得到新的電子凸輪曲線。

3 換向間隙的補償

3.1 換向間隙補償的控制策略

實際生產中發現，對位機構在換向運動時存在換向間隙，為進一步提高印花機對位機構的定位精度，需要對機構的換向間隙進行補償。當機構運行的方向與上次運行的方向相反時，即為換向。印花機對位平臺是由電動機通過彈性聯軸器、滾珠絲桿、滑塊與對位平臺連接。由于機械設備制造中，存在機械零件公差，并且彈性聯軸器和滾珠絲桿存在換向間隙，因此，在換向運動時會首先抵消這部分間隙，然后才可以正常驅動對位平臺的運動[14]。也就是說換向時對位平臺的實際位移要比電動機的指令位移小，這就會造成實際的位移與指令位移不符，影響到對位平臺的定位精度。因此，對機構的反向間隙進行補償，可進一步提高對位平臺的定位精度。

對機構換向間隙補償，首先要判斷當前的運動是否是換向運動，如果是換向運動則需要在指令位移的基礎上增加換向間隙的距離，反之則不需要，即可實現換向間隙的補償。要判斷是否是換向運動，就要記錄上次電動機的位置，當前電動機的位置和電動機將要去的位置。通過這3個位置確定機構上次的運動方向和此次的運動方向，從而判斷是否發生了換向。定義當前電動機的位置數值減去上次電動機的位置為正時，表示上次機構的運動方向為正方向，反之為反方向。同樣電動機將要去的位置減去電動機當前的位置數值為正時，表示此次機構的運動方向為正方向，反之為反方向。因此，當這2次做差的數值反號時，說明此次電動機的運動方向相對上次電動機的運動方向是換向運動，此時需要進行換向間隙的補償。

使用坐標軸清晰地表示了如何判斷是否發生了換向，如圖5所示。圖中：P1表示上次電動機的位置；P2表示當前電動機的位置；P3表示電動機將要去的位置。

圖5 判斷是否換向示意圖Fig.5 Schematic diagram of whether to reverse

當這3個位置滿足式(7)時，說明電動機由P2位置到P3位置進行了換向，此時需要進行反向間隙的補償。反之則說明由P2位置到P3位置沒有換向，不需要進行反向間隙的補償。

(P2-P1)×(P3-P2)<0

(7)

3.2 換向間隙的測量

確定了如何判斷是否換向后，接下來還需要確定換向時應該補償多少，補償的數值可以通過試驗來確定。在對位平臺的末端，采用百分表測量換向時平臺的實際位移，通過與指令位移對比得到換向間隙。試驗分別對位移±2.5、±0.2、±0.05 mm時進行了換向間隙的測量，得到表1、2所示的數據。

由表1可知，對位平臺X向的換向間隙的眾數為0.005 mm；由表2可知，Y向的換向間隙的眾數為0.010 mm。因此，選擇0.005、0.010 mm分別作為X、Y向的換向間隙補償。由于機構繞平臺幾何中心旋轉實際上也是由X、Y向各軸的運動合成的，因此X、Y向各軸的換向間隙補償也適用于對位平臺繞幾何中心旋轉時的換向間隙補償。

表1 X向換向間隙測量Tab.1 Measurement of X-direction reversing backlash mm

表2 Y向換向間隙測量Tab.2 Measurement of Y-direction reversing backlash mm

4 試驗驗證

為驗證冗余驅動和換向間隙補償對印花機對位平臺定位精度的影響，搭建了試驗平臺，該平臺采用4個步進伺服作為驅動，電動機布置方式與圖4相同。試驗對于X向、Y向分別進行了±0.05、±0.2、±2.5 mm 相對位移的多次測量。對于Z向旋轉角度進行了±0.1°、±0.2°的多次測量，表3示出改進前后對位平臺的定位精度和換向間隙的對比，平臺示意圖見圖6所示。

圖6 試驗平臺Fig.6 Experiment platform

表3 改進前后定位精度對比Tab.3 Improved front and rear positioning accuracy comparison

由試驗結果可知：采用冗余驅動和換向間隙補償的控制策略后，Y向定位精度由0.070 mm提高到0.010 mm，提升了85.70%；Z向旋轉定位精

度由0.004 8°提高到0.001 3°，提升了72.90%；X向定位精度保持不變；X向換向間隙由0.010 mm提高到0.005 mm，提升50.00%；Y向換向間隙由0.040 mm 提高到0.010 mm，提升了75.00%；Z向旋轉換向間隙由0.001 4°提高到0.000 8°，提升了42.86%。

5 結 論

1)采用冗余驅動的印花機對位平臺，Y向定位精度提高了85.70%，Z向旋轉定位精度提高了72.90%，X向定位精度保持不變。

2)增加換向間隙補償后，X向換向間隙提高了50.00%，Y向換向間隙提高了75.00%，Z向旋轉換向間隙提高了42.86%。

3)基于冗余驅動的印花機對位平臺同步協調控制策略可有效提高對位平臺的定位精度，從而提高了印花機的印刷質量。