堆積剛性鏈條下降的多次碰撞求解*

趙 斌 吳慶春 汪連城 金遠偉

(南京工程學院數理部 江蘇 南京 100875)

鏈條下落運動是典型的變質量體系，一直備受廣大師生的關注，它也是大學物理“質點系動量定理”教學中常選用的典型問題[1,2]．鏈條下落時，沒有碰撞時是自由下落(圖 1)．文獻[2]指出了這一下落過程中能量損失的原因是鏈條間的非彈性碰撞．本文仍只考慮下落速度與下落鏈條長度的函數關系，我們采用碰撞的節點處速度是不連續的描述，即引入第一類間斷點或者跳躍間斷點．由于鏈條是剛性，鏈條碰撞過程是完全非彈性碰撞，我們細致推導給出了下降過程中每下降一段鏈條的能量損失和下落過程的總能量損失，并計算了下落時間、加速度．當鏈條分段足夠小時，即通過求極限給出了柔軟繩的結果．

1 鏈條下落問題和動量定理的求解

為了后面工作的對比參考，這里我們首先簡介一下大學物理中鏈條下落問題和動量定理的求解過程[2]．如圖1所示，初始一柔軟剛性鏈條單位長度的質量為λ，鏈條放在有一小孔的桌上，鏈條一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周圍．由于某種擾動,鏈條因自身重量開始下落.求鏈條下落速度v與下落距離y之間的關系．

圖1 柔軟鏈條下落示意圖，豎直向下為Oy軸正向

設各處摩擦均不計，且認為鏈條軟得可以自由伸開．動量定理的求解如下：在t時刻，設鏈條的下垂長度為y，下落速度為v，下垂部分的質量m1=λy．該部分鏈條的動量

p=λyv

外力沖量

Fexdt=m1gdt=λygdt

利用質點系的動量定理(Fexdt=dp)有

λygdt=λd(yv)

上式兩邊同時乘以v，得到

λgydy=λvd(yv)

替換變量，兩邊積分

給出了v與y的關系

由此算出下落長度為y的過程中機械能總的損失為

2 多次碰撞下落的求解模型

假設均勻、離散的鏈條每一截鏈的長度為Δl, 質量為m0，則單位長度的質量

在第ti時刻，下垂了i節鏈條，此時，該下垂部分的長度iΔl, 記為位置坐標yi=iΔl， 質量為im0=λyi.由于下落中的碰撞過程，位置yi點，速度不連續，即此位置處左右極限不相等,為跳躍間斷點，記為

這里用速度在yi處的左右極限表示該位置發生碰撞前后的速度值， 由于是剛性鏈條，碰撞前后下落鏈條的質量從im0變成(i+1)m0．在這個過程中第(i+1)段小鏈條突然受到了已下落i節鏈條的脈沖力，然后整體一起下落運動．這可以視為一個碰撞過程，而且是完全非彈性碰撞．碰撞前后速度發生了躍變，即在同一位置處速度不連續，為間斷點．根據動量守恒，則碰撞前后瞬間的速度關系為

考慮第i(i≥2)節鏈條從yi+到y(i+1)-的下落過程中[yi+表示在位置yi完成碰撞，y(i+1)-表示在y(i+1)處還未碰撞，yi=yi-=yi+]，整體做自由落體運動，有

(1)

于是利用式(1)和上面的動量守恒得到的vi-和vi+遞推關系，我們可以計算出

利用數列求和公式[3]可以得到

(2)

(3)

在i足夠大的極限情況下，式(2)、(3)同時趨近于連續的計算表達

利用式(2)、(3)，我們可以很容易計算第i次完全非彈性碰撞過程損失的機械能δei

(4)

由于非彈性碰撞，損失的機械能量轉化為熱． 第i次下落過程中，i節鏈條先是整體自由下落Δl，獲得的動能增加為λgyiΔl，隨后第i碰撞損失的機械能為δei，δei相對于第i(i≥2)次下落獲得的動能之比(ξi)為

(5)

的微分可以得到

可以看出這與式(5)的極限表述是一致的．

利用表達式(4)，我們對i求和可以計算下落到yn位置鏈條總共損失的機械能

整理可以寫成

(6)

我們發現式(6)對所有n都成立(包括n=1)，當n足夠大時，式(6)正是前面動量定理給出的結果．

由下落速度的表達式(2)、(3)可以計算第i次下落需要的時間Δti，由于第i次下落過程中，i截鏈條整體自由下落Δl，速度由v(i-1)+增大到vi-，則

(7)

同樣，通過求和得到下落到yn處的需要下落時間

(8)

表達式(8)是下落n段鏈條需要的時間．對于不同的n值, 可以計算得到

隨著n增大，表達式(8)是收斂的．由連續軟繩的計算結果

可以得到下落的加速度

下落時間與下落位移y的函數關系為

令y=yn，定義相對誤差

我們可以通過數值計算相對誤差來考察表達式(8)的收斂性：n=1 000，δtn=0.023；n=105,δtn=0.002 4；n=106,δtn=7.5e-4．可以看出當n趨近無窮大時，表達式(8)收斂為

前文已經提到，在剛性鏈條下落的過程中，除去下落節點的位置處，下落的加速度都是g．由于我們引入了速度間斷的模型，自然會導致下落節點的加速度是奇點．這里我們可以通過定義一個鏈條下落過程的平均加速度來回避節點的奇性．定義第i個鏈條完整下落過程的平均加速度

(9)

由于是剛性鏈條，碰撞是瞬時的，將式(7)的下落時間代入式(9)可以得到

(10)

3 結論

我們嚴格推導了堆積剛性鏈條下降的多次碰撞求解的明確表達，給出了從離散到連續的數學表述．其中一系列完全非彈性碰撞的嚴格計算有助于學生理解相關變質量系統的物理過程，以及培養學生建立不同數學模型求解物理問題的能力．