攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律

馬萌晨 宋申民

摘 要：面向多導(dǎo)彈協(xié)同攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的問題， 基于剩余飛行時(shí)間控制， 設(shè)計(jì)了兩種不同的協(xié)同制導(dǎo)律。 針對(duì)多導(dǎo)彈分布式通信的場(chǎng)景， 基于偏置比例導(dǎo)引的思想設(shè)計(jì)了具有時(shí)變導(dǎo)航系數(shù)的分布式協(xié)同比例制導(dǎo)律; 針對(duì)指定攻擊時(shí)間的場(chǎng)景， 基于常值前置角下的剩余飛行時(shí)間形式， 利用滑?？刂坪头蔷€性擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)了具有指定攻擊時(shí)間的滑模制導(dǎo)律。 仿真結(jié)果表明， 所設(shè)計(jì)的兩種制導(dǎo)律可以有效針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)實(shí)施協(xié)同攻擊或依次攻擊。

關(guān)鍵詞：???? 機(jī)動(dòng)目標(biāo); 剩余飛行時(shí)間; 偏置比例導(dǎo)引; 非線性擾動(dòng)觀測(cè)器; 滑?？刂? 多導(dǎo)彈協(xié)同; 制導(dǎo)律

中圖分類號(hào)：???? TJ765.3; V448? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：??? A? 文章編號(hào)：???? 1673-5048（2021）06-0019-09

0 引? 言

現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)是體系與體系之間的對(duì)抗， 隨著通信組網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展， 多導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)正逐步成為現(xiàn)代戰(zhàn)場(chǎng)中的重要作戰(zhàn)模式之一。 多導(dǎo)彈之間通過(guò)通信實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的協(xié)同感知、 協(xié)同探測(cè)與協(xié)同攻擊， 可以最大限度地利用和協(xié)調(diào)導(dǎo)彈系統(tǒng)資源， 提高導(dǎo)彈的整體作戰(zhàn)效能。

在多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方面， 國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者進(jìn)行了大量的研究。 文獻(xiàn)[1]較早開展了攻擊時(shí)間控制的研究， 針對(duì)反艦導(dǎo)彈， 基于最優(yōu)控制理論， 通過(guò)在傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上增加攻擊時(shí)間誤差反饋?lái)?xiàng)， 設(shè)計(jì)了多導(dǎo)彈攻擊時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律， 并給出導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間的近似求法。 在此基礎(chǔ)上， 文獻(xiàn)[2]增加了具有終端攻擊角約束的附加項(xiàng)， 實(shí)現(xiàn)了同時(shí)具有攻擊角度和攻擊時(shí)間控制的協(xié)同制導(dǎo)律。 文獻(xiàn)[3]通過(guò)引入剩余飛行時(shí)間方差的概念， 設(shè)計(jì)了分布式時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律， 并給出一種剩余飛行時(shí)間形式的理論推導(dǎo)。 文獻(xiàn)[4]通過(guò)設(shè)計(jì)含有攻擊時(shí)間誤差和導(dǎo)彈前置角的新型滑模面， 設(shè)計(jì)了攻擊時(shí)間可控的滑模制導(dǎo)律， 但該制導(dǎo)律存在不連續(xù)的問題。 文獻(xiàn)[5]直接將攻擊時(shí)間誤差設(shè)計(jì)為滑模面， 并通過(guò)引入一個(gè)連續(xù)的非線性函數(shù)， 設(shè)計(jì)了攻擊時(shí)間可控的非奇異滑模制導(dǎo)律。 文獻(xiàn)[6]針對(duì)導(dǎo)彈在三維空間攻擊固定目標(biāo)場(chǎng)景， 考慮導(dǎo)彈飛行過(guò)程中的視場(chǎng)角約束， 基于一致性算法設(shè)計(jì)了帶有視場(chǎng)角約束的三維時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律。 文獻(xiàn)[7]為減少由于剩余飛行時(shí)間估計(jì)不準(zhǔn)產(chǎn)生的誤差， 基于領(lǐng)從式制導(dǎo)架構(gòu)， 將制導(dǎo)律的攻擊時(shí)間控制問題轉(zhuǎn)換為從彈跟蹤領(lǐng)彈的剩余彈目相對(duì)距離問題， 并通過(guò)解耦得到俯仰和偏航通道的控制量。 文獻(xiàn)[8]基于領(lǐng)從架構(gòu)， 采用超螺旋控制方法設(shè)計(jì)了攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律， 提高了所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的魯棒性與平穩(wěn)性。 文獻(xiàn)[9]在具有角度約束的最優(yōu)制導(dǎo)律基礎(chǔ)上， 引入攻擊時(shí)間控制修正量， 通過(guò)在線的調(diào)整領(lǐng)彈和從彈， 設(shè)計(jì)了具有攻擊時(shí)間和角度約束的協(xié)同制導(dǎo)策略。 文獻(xiàn)[10]針對(duì)高超聲速飛行器， 在滑翔段通過(guò)設(shè)計(jì)兩階段的協(xié)同航跡規(guī)劃， 實(shí)現(xiàn)了攻擊時(shí)間和攻擊角度的約束， 該方法為調(diào)整導(dǎo)彈的攻擊時(shí)間和攻擊角度提供了新的思路。 但上述方法大多是針對(duì)艦船等靜止或低速移動(dòng)目標(biāo)所設(shè)計(jì)， 對(duì)于運(yùn)動(dòng)及機(jī)動(dòng)目標(biāo)缺乏嚴(yán)謹(jǐn)有效的理論分析。

在針對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方面， 文獻(xiàn)[11]針對(duì)低速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)， 通過(guò)將目標(biāo)運(yùn)動(dòng)引起的剩余飛行時(shí)間變化視為擾動(dòng)， 利用線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)其估計(jì)并進(jìn)行補(bǔ)償， 基于固定時(shí)間收斂控制理論， 設(shè)計(jì)了攻擊時(shí)間控制協(xié)同制導(dǎo)律。 文獻(xiàn)[12]基于滑?？刂?， 設(shè)計(jì)了一種可指定攻擊時(shí)間的非奇異滑模制導(dǎo)律， 并在此基礎(chǔ)上， 采用虛擬目標(biāo)的設(shè)計(jì)思路， 將制導(dǎo)律擴(kuò)展到機(jī)動(dòng)目標(biāo)的應(yīng)用場(chǎng)景中。? 文獻(xiàn)[13]針對(duì)靜止和機(jī)動(dòng)目標(biāo)，? 分別設(shè)計(jì)了分布式和集中式的協(xié)同制導(dǎo)律， 但缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摲治龊妥C明。 文獻(xiàn)[14]基于導(dǎo)彈和運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型， 推導(dǎo)了一種新型的剩余飛行時(shí)間形式， 并設(shè)計(jì)了針對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)和機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律。 文獻(xiàn)[15-16]基于一致性理論， 利用滑模控制方法針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)分別從視線和視線法向方向設(shè)計(jì)制導(dǎo)律來(lái)控制導(dǎo)彈的攻擊時(shí)間和攻擊角度， 但該方法要求導(dǎo)彈軸向推力可控， 條件太過(guò)苛刻。 文獻(xiàn)[17]研究了切換通信拓?fù)錀l件下， 多枚導(dǎo)彈采用領(lǐng)從制導(dǎo)體制協(xié)同攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的時(shí)變編隊(duì)制導(dǎo)問題， 通過(guò)控制從彈跟蹤期望的時(shí)變編隊(duì)， 實(shí)現(xiàn)了多導(dǎo)彈對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的協(xié)同攔截。 文獻(xiàn)[18]針對(duì)三維場(chǎng)景下， 多枚弱機(jī)動(dòng)導(dǎo)彈協(xié)同攔截強(qiáng)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的問題， 通過(guò)將導(dǎo)彈的可達(dá)區(qū)域在二維空間下表示， 提出一種基于協(xié)同覆蓋策略的協(xié)同制導(dǎo)律， 實(shí)現(xiàn)了多枚弱機(jī)動(dòng)導(dǎo)彈在加速度受限情況下， 對(duì)強(qiáng)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的協(xié)同攔截， 該方法具有較強(qiáng)的工程實(shí)用性。

基于上述討論， 為了處理導(dǎo)彈軸向不可控情況下， 多導(dǎo)彈協(xié)同攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的協(xié)同制導(dǎo)問題， 分別采用在線和離線設(shè)計(jì)剩余飛行時(shí)間的思想， 設(shè)計(jì)了分布式時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律和指定攻擊時(shí)間制導(dǎo)律， 從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的同時(shí)或依次攻擊。

1 制導(dǎo)模型及剩余飛行時(shí)間計(jì)算

首先給出導(dǎo)彈和目標(biāo)在二維平面內(nèi)的制導(dǎo)模型示意圖， 如圖1所示。

圖中， M和T分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo); R表示導(dǎo)彈和目標(biāo)之間的相對(duì)距離; Vm和Vt分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度; θm和θt為導(dǎo)彈和目標(biāo)的前置角; θL表示視線角。 則制導(dǎo)模型的動(dòng)力學(xué)方程可以表述為

R·=Vtcosθt-Vmcosθm=Vr（1）

Rθ·L=Vtsinθt-Vmsinθm=Vθ（2）

θ·m=amVm-θ·L（3）

θ·t=atVt-θ·L（4）

對(duì)導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間（time-to-go，? tgo）的估算是針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)協(xié)同攻擊的前提， 對(duì)剩余飛行時(shí)間的研究不僅需要研究如何更準(zhǔn)確地估算出導(dǎo)彈的攻擊時(shí)間， 還要兼顧考慮其動(dòng)力學(xué)模型是否可控。 現(xiàn)階段， 針對(duì)打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)的剩余飛行時(shí)間， 由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)的未知性， 尚無(wú)有效精確的數(shù)學(xué)解析式， 大多采用通過(guò)一些假設(shè)來(lái)求得近似的剩余飛行時(shí)間。 因此， 給出以下三種常用的剩余飛行時(shí)間的表達(dá)式， 并對(duì)其特性進(jìn)行分析。

（1）基于比例導(dǎo)引的剩余飛行時(shí)間tgo1

若導(dǎo)彈M采用比例制導(dǎo)律， 則根據(jù)文獻(xiàn)[3]， 可較精確地估計(jì)得到導(dǎo)彈M的tgo1為

tgo1=RVm1+θ2m2（2N-1）（5）

式中： N為導(dǎo)航系數(shù)， 滿足2<N<6。

tgo1在推導(dǎo)過(guò)程中用到了目標(biāo)靜止和前置角為小量的假設(shè)條件， 實(shí)質(zhì)上是導(dǎo)彈航向誤差的函數(shù)。 通常認(rèn)為該形式的剩余飛行時(shí)間針對(duì)靜止目標(biāo)有效; 而針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)， 該形式的剩余飛行時(shí)間則會(huì)因目標(biāo)運(yùn)動(dòng)存在一定的估計(jì)誤差。 因此， 針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)， tgo1通常不能用來(lái)直接控制具體的剩余飛行時(shí)間。

（2） 瞬時(shí)剩余飛行時(shí)間tgo2

瞬時(shí)剩余飛行時(shí)間的定義為

tgo2=RVc（6）

式中： Vc為導(dǎo)彈和目標(biāo)在視線方向上的接近速度。

tgo2定義為當(dāng)前時(shí)刻導(dǎo)彈距目標(biāo)的距離除以當(dāng)前時(shí)刻導(dǎo)彈和目標(biāo)的接近速度。 其物理定義簡(jiǎn)單， 被廣泛應(yīng)用于對(duì)導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間的計(jì)算中。 然而該形式的剩余飛行時(shí)間未考慮導(dǎo)彈和目標(biāo)的機(jī)動(dòng)帶來(lái)的影響， 只能表征當(dāng)前時(shí)刻下導(dǎo)彈和目標(biāo)的瞬時(shí)剩余飛行時(shí)間。 在使用tgo2來(lái)調(diào)節(jié)導(dǎo)彈的飛行時(shí)間時(shí)， 由于其表達(dá)式分母為導(dǎo)彈和目標(biāo)的接近速度， 對(duì)于具有較大初始誤差的情形， 導(dǎo)彈需要進(jìn)行較大的機(jī)動(dòng)來(lái)調(diào)整飛行軌跡， 進(jìn)而消除飛行時(shí)間誤差， 這可能會(huì)引起導(dǎo)彈和目標(biāo)接近速度符號(hào)的改變， 進(jìn)而造成奇異問題。 因此， 對(duì)于多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)而言， 該形式的剩余飛行時(shí)間通常適用于彈群初始tgo2相差不大的情形。

（3） 基于常值前置角的剩余飛行時(shí)間tgo3

文獻(xiàn)[14]從導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程出發(fā)， 推導(dǎo)了在目標(biāo)機(jī)動(dòng)為0、 導(dǎo)彈前置角為常值下的剩余飛行時(shí)間的形式：

tgo3=R[Vr+2Vmcosθm-Vθtanθm]V2m-V2t（7）

在tgo3推導(dǎo)過(guò)程中， 要求運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度為0且導(dǎo)彈前置角為常值， 其更像是針對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)攔截的一個(gè)特殊場(chǎng)景。 相比于tgo1， tgo3在推導(dǎo)過(guò)程中是直接基于導(dǎo)彈和運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程， 沒有運(yùn)用任何假設(shè)和近似條件; 相比于tgo2， tgo3不會(huì)發(fā)生奇異問題。 在針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的tgo估計(jì)中， 受目標(biāo)機(jī)動(dòng)影響， 雖然仍有一定的估計(jì)誤差， 但相比于tgo1和tgo2， 其估計(jì)精度更高且應(yīng)用場(chǎng)景更廣。 因此， tgo3可以直接用來(lái)對(duì)導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間進(jìn)行設(shè)計(jì)。 這將在下一節(jié)協(xié)同制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中體現(xiàn)。

2 時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 代數(shù)圖論

在多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)的過(guò)程中， 導(dǎo)彈通過(guò)通信與相鄰的導(dǎo)彈交換狀態(tài)信息， 這種通信拓?fù)潢P(guān)系可以由圖論來(lái)表示。 在本文中， 多導(dǎo)彈之間的通信網(wǎng)絡(luò)由無(wú)向圖G=（v， ζ， C）來(lái)描述，? v表示圖G中所有節(jié)點(diǎn)組成的集合; ζ代表圖G中節(jié)點(diǎn)之間的連線; 矩陣C=[cij]∈Rn×n代表權(quán)系數(shù)矩陣， 若導(dǎo)彈i和導(dǎo)彈j之間能夠信息交換， 則有cij=1， 否則cij=0， 特別的cii=0， i∈{1， 2， …， n}。 若G是無(wú)向圖， 即若第i個(gè)導(dǎo)彈可以從第j個(gè)導(dǎo)彈獲得信息， 則第j個(gè)導(dǎo)彈也可以從第i個(gè)導(dǎo)彈獲得信息， 則有cij=cji。 如果無(wú)向圖中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)都可以通過(guò)連線找到一條線路連接， 則稱無(wú)向圖為連通的。 定義圖G（C）對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣為L(zhǎng)=[lij]∈Rn×n， 其中矩陣元素為

lij=∑nm=1， m≠icim，? j=i-cij，? j≠i （8）

當(dāng)多導(dǎo)彈之間的通信拓?fù)涫菬o(wú)向且連通時(shí)， 則有下述假設(shè)和引理成立。

引理1[19]： 對(duì)于拉普拉斯矩陣L， 0是一個(gè)特征值， 并且滿足所有非零特征值都是正數(shù)， 所有項(xiàng)為1的列向量為其一個(gè)特征向量。

引理2[20]： 對(duì)任意的x∈Rn， 如果滿足1Tx=0， 則有xTLx≥λ2（L）xTx成立， 其中， λ2（L）表示矩陣L的最小非零特征值。

引理3[21]： 考慮非線性系統(tǒng)x·=f（x， t）， x∈Rn， 假設(shè)存在一個(gè)連續(xù)正定、 徑向無(wú)界的函數(shù)V（x）， 并且滿足

V·（x）≤-μV（x）-λVα（x）（9）

式中： μ， λ>0以及0<α<1是常數(shù)， 則原點(diǎn)是該非線性系統(tǒng)全局有限時(shí)間穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。 x（t0）=x0， t0是初始時(shí)間， 那么系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)平衡點(diǎn)的時(shí)間T滿足

T≤1μ（1-α）lnμV1-α（x0）+λλ（10）

引理4[22]： 考慮非線性系統(tǒng)x·=f（x， t）， x∈Rn， 假設(shè)存在一個(gè)連續(xù)正定、 徑向無(wú)界的函數(shù)V（x）， ε∈（0， 1）， c>0， 0<δ<∞， 使得

V·≤-cVε+δ（11）

則系統(tǒng)是實(shí)際有限時(shí)間收斂的。

2.2 基于比例加時(shí)間偏置項(xiàng)的分布式協(xié)同制導(dǎo)律

比例導(dǎo)引形式簡(jiǎn)單， 在工程中應(yīng)用廣泛。 在對(duì)比例導(dǎo)引的分析中發(fā)現(xiàn)， 比例導(dǎo)引的導(dǎo)航系數(shù)直接影響著導(dǎo)彈的飛行彈道。 因此， 可以通過(guò)改變比例導(dǎo)引的導(dǎo)航系數(shù)來(lái)改變導(dǎo)彈的攻擊軌跡， 進(jìn)而改變導(dǎo)彈的攻擊時(shí)間。 文獻(xiàn)[3]中針對(duì)靜止目標(biāo)， 設(shè)計(jì)了具有時(shí)變導(dǎo)航比的協(xié)同比例導(dǎo)引， 通過(guò)改變導(dǎo)航比來(lái)實(shí)現(xiàn)攻擊時(shí)間的協(xié)同， 但該方法不能保證tgo的收斂時(shí)間。 文獻(xiàn)[13]針對(duì)靜止和機(jī)動(dòng)目標(biāo)， 通過(guò)在線改變導(dǎo)航系數(shù)， 分別設(shè)計(jì)了集中式和分布式的偏置比例導(dǎo)引， 但缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撟C明。 受文獻(xiàn)[23]的啟發(fā)， 針對(duì)tgo1的表達(dá)形式， 基于有限時(shí)間引理， 設(shè)計(jì)協(xié)同比例制導(dǎo)律如下：

ami=N-iVmiθ·LiN-i=Ni{1-k1isgn（ξi）-k2iξi}ξi=∑nj=1cij（tgoj-tgoi）（12）

證明： 首先將式（12）重新整理為

ami=N-i[1-k1isgn（ξi）-k2iξi]Vmiθ·Li（13）

對(duì)tgo1進(jìn)行求導(dǎo)， 將式（13）代入， 并利用小角度假設(shè)化簡(jiǎn)， 即sinθm=θm， cosθm=1-12θ2m， θ4m≈0， 可得

t·goi=-1+θ2miN2N-1-θmiRi（2N-1）V2miN[1-

k1isgn（ξi）-k2iξi]Vmiθ·Li=-1+

Nθ2mi2N-1[k1isgn（ξi）+k2iξi]（14）

構(gòu)造如下形式的李雅普諾夫函數(shù)：

V1=12∑nj=1cij（tgoj-tgoi）2=12tTgoLtgo（15）

式中： tgo=[tgo1， tgo2， …， tgon]T; L=[lij]∈Rn×n為圖G（C）對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣。

則一致性誤差ξi可重寫為

ξ=-Ltgo（16）

式中： ξ=[ξ1， ξ2， …， ξn]T。

由于導(dǎo)彈之間的通信拓?fù)鋱D是無(wú)向且連通的， 因而cij=cji， 可得

∑ni=1ξi=∑ni=1∑nj=1cij（tgoj-tgoi）=0（17）

對(duì)V1求導(dǎo)， 并將上式帶入可得

V·1=tTgoLt·go=-ξTt·go=

-∑ni=1ξi-1+Nθ2mi2N-1[k1isgn（ξi）+k2iξi]= ∑ni=1ξi-Nθ2miξi2N-1[k1isgn（ξi）+k2iξi]=

-N2N-1∑ni=1[θ2mi（k1iξi+k2iξ2i）]（18）

由于θmi>0， 假設(shè)在tgoi收斂之前θmi≠0， 則存在常數(shù)ε0>0， 使得θmi>ε0。 令k1=min{k11， k12， …， k1n}， k2=min{k21， k22， …， k2n}， 則上式可重寫為

V·1=-N2N-1∑ni=1[θ2mi（k1iξi+k2iξ2i）]≤

-Nε202N-1k1∑ni=1ξi+k2∑ni=1ξ2i（19）

由引理1中拉普拉斯矩陣的性質(zhì)可知L1=0， 因而有1TL1=（L121）T（L121）=0， 故L121=0。 進(jìn)而有1TL12=0T， 故1TL12tgo=0。 由引理2和式（16）可知：

ξTξ=tTgoLLtgo=tTgoL12LL12tgo=

（L12tgo）TLL12tgo≥

[λ2（L）]（L12tgo）TL12tgo≥[λ2（L）]tTgoLtgo≥2[λ2（L）]V1（20）

將式（20）代入式（19）中可得

V·1=-Nε202N-1[k1（ξTξ）12+k2ξTξ]≤

-[2λ2（L）]12k1Nε202N-1V121-2k2[λ2（L）]Nε202N-1V1（21）

由引理3可知， 各導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間tgoi可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到一致。 至此， 證明完成。

注1： 所設(shè)計(jì)的協(xié)同比例制導(dǎo)律實(shí)質(zhì)是在傳統(tǒng)的比例制導(dǎo)律基礎(chǔ)上加上時(shí)間誤差偏置項(xiàng)組成， 其中ξi被稱為導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間的一致性誤差。 當(dāng)ξi>0時(shí)， 表示第i枚導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間小于與其具有通信交流的其他導(dǎo)彈的平均剩余飛行時(shí)間， 即表明該枚導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間較小， 需要增大其剩余飛行時(shí)間， 此時(shí)N-i會(huì)減小， 這表示導(dǎo)彈的飛行軌跡將更彎曲。 同樣地， 當(dāng)ξi<0時(shí)， 表示第i枚導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間較大， 需要減小其剩余飛行時(shí)間， 此時(shí)N-i會(huì)增大， 這表示導(dǎo)彈的飛行軌跡將更平直。 當(dāng)ξi≈0時(shí)， 此時(shí)制導(dǎo)律變?yōu)閭鹘y(tǒng)的比例導(dǎo)引， 從而保證對(duì)目標(biāo)的有效打擊。 實(shí)際上， 在式（12）的制導(dǎo)律形式中， 并不需要導(dǎo)彈非常精確的剩余飛行時(shí)間， 因?yàn)椴]有通過(guò)tgo1去設(shè)計(jì)具體的攻擊時(shí)間， 而是將其作為協(xié)調(diào)變量， 通過(guò)協(xié)調(diào)變量的變化在線調(diào)整制導(dǎo)律參數(shù)， 實(shí)現(xiàn)協(xié)同攻擊。

注2： 上述制導(dǎo)律的推導(dǎo)是建立在導(dǎo)彈通信拓?fù)錇闊o(wú)向且連通的情況下， 然而實(shí)際上， 對(duì)于有向圖的情形， 當(dāng)彈群中的導(dǎo)彈僅能與相鄰的導(dǎo)彈進(jìn)行單向通信時(shí)， 仍然滿足式（17）的條件， 即制導(dǎo)律仍然成立， 這點(diǎn)將在仿真中予以驗(yàn)證。

2.3 基于非線性干擾觀測(cè)器的指定攻擊時(shí)間制導(dǎo)律

在針對(duì)諸如戰(zhàn)機(jī)等機(jī)動(dòng)目標(biāo)的協(xié)同攔截時(shí)， 目標(biāo)可能會(huì)在導(dǎo)彈來(lái)襲前某段時(shí)刻進(jìn)行機(jī)動(dòng)來(lái)躲避攻擊， 若導(dǎo)彈總的末制導(dǎo)攻擊時(shí)間可以提前指定， 則更有利于針對(duì)該類機(jī)動(dòng)目標(biāo)的協(xié)同攔截。

若要對(duì)導(dǎo)彈的攻擊時(shí)間進(jìn)行設(shè)計(jì)， 則需要用到導(dǎo)彈tgo的動(dòng)力學(xué)模型。

基于tgo3進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計(jì)。 首先對(duì)tgo3進(jìn)行求導(dǎo)并整理可得

t·go3=-1+V2θsec2θmV2m-V2t-RVθsec2θmVm（V2m-V2t）am-

Rsin（θm+θt）cosθm（V2m-V2t）at=F+Bam+D（22）

式中： F=-1+V2θsec2θmV2m-V2t; B=-RVθsec2θmVm（V2m-V2t）;

D=

-Rsin（θm+θt）cosθm（V2m-V2t）at。

令期望的攻擊時(shí)間為Td， 則可定義滑模面（即攻擊時(shí)間誤差）：

St=t+tgo3-Td（23）

對(duì)滑模面St求導(dǎo)可得

S·t=1+t·go3=1+F+Bam+D（24）

式中： D包含有目標(biāo)的加速度和前置角等信息， 在實(shí)際作戰(zhàn)過(guò)程中， 包含目標(biāo)運(yùn)動(dòng)信息的狀態(tài)通常不易被精確獲得， 這也就意味著式（22）中的D為未知量， 令x=tgo3+t， 則基于非線性擾動(dòng)觀測(cè)器可設(shè)計(jì)制導(dǎo)律如下：

am=-F+1+D^+k1St+k2sgnγ（St）B

D^=ω+k0x

ω·=-k0ω-k0（1+F+Bam+k0x）（25）

式中： k1和k2為制導(dǎo)律中大于0的待設(shè)計(jì)的常數(shù); k0為擾動(dòng)觀測(cè)器中的待設(shè)計(jì)常數(shù)。

證明： 首先， 定義觀測(cè)器跟蹤誤差D～=D-D^， 假設(shè)系統(tǒng)擾動(dòng)D·有界， 滿足D·≤β， 選擇李雅普諾夫函數(shù)V2：

V2=12S2t+12D～2（26）

對(duì)V2求導(dǎo)可得

V·2=StS·t+D～D～·=St（1+F+Bam+D）+D～D～·=St（-k1St-k2sgnγ（St）+D-D^）+D～D～·=-k1S2t-k2Stγ+1+StD～+D～D～·（27）

且

D～D～·=D～（D·-D^·）=D～（D·-ω·-k0x·） （28）

根據(jù)觀測(cè)器定義可知：

ω·+k0x·=-k0ω-k0（1+F+Bam+k0x）+

k0（1+F+Bam+D）=-k0ω-k0x2+k0D=

-k0（ω+k0x）+k0D=-k0D^+k0D=k0D～ （29）

將式（29）代入式（28）可得

D～D～·=D～（D·-D^·）=D～（D·-ω·-k0x·）=

D～（D·-k0D～）=-k0D～2+D～D·≤-k0D～2+12D～2+12β2≤-k0-12D～2+12β2（30）

進(jìn)一步， 將式（30）代入式（27）可得

V·2=-k1S2t-k2Stγ+1+StD～+D～D～·≤

-k1S2t-k2Stγ+1+12S2t+12D～2-

k0-12D～2+12β2≤-k1-12S2t-

（k0-1）D～2+12β2≤-αV2+σ（31）

式中： α=min2k1-12， 2（k0-1）; σ=12β2。

由式（31）和引理4可得， 系統(tǒng)是實(shí)際有限時(shí)間收斂的， 至此， 制導(dǎo)律式（25）穩(wěn)定性得證。

雖然tgo3的推導(dǎo)仍是基于目標(biāo)機(jī)動(dòng)為0且導(dǎo)彈前置角為常值下得到的， 當(dāng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)， 這無(wú)疑將會(huì)引入估計(jì)誤差， 但在稍后的仿真分析中可以看出， 式（25）仍然可以保證導(dǎo)彈以期望的攻擊時(shí)間攔截目標(biāo)。

3 仿真分析

3.1 協(xié)同比例制導(dǎo)律仿真分析

首先對(duì)所設(shè)計(jì)的基于比例加偏置項(xiàng)的時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律進(jìn)行仿真驗(yàn)證。 以3枚導(dǎo)彈攔截1個(gè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)為例， 仿真初始參數(shù)設(shè)置如表1所示， 3枚導(dǎo)彈之間的通信網(wǎng)絡(luò)如圖2所示， 分別給出導(dǎo)彈通信拓?fù)錇闊o(wú)向和有向的情形。 選擇目標(biāo)以余弦機(jī)動(dòng)at=5gcosπt2的情況進(jìn)行仿真， 并以比例導(dǎo)引作為對(duì)比， 對(duì)所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律進(jìn)行驗(yàn)證。 導(dǎo)彈仿真初始參數(shù)為： Ni=3; k11=2.8; k12=2.5; k13=2.6; k21=k22=k23=1.2。 無(wú)向圖和有向圖的通信矩陣分別為： C無(wú)向=011100100; C有向=001100010。

仿真結(jié)果如圖3所示。 其中脫靶量和制導(dǎo)時(shí)間如表2所示。

導(dǎo)彈31.2821.80圖3給出了所設(shè)計(jì)的協(xié)同比例制導(dǎo)律和傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律之間的仿真對(duì)比。 圖3（a）～（c）為比例導(dǎo)引和在有向和無(wú)向圖下協(xié)同比例導(dǎo)引的彈目運(yùn)動(dòng)軌跡， 可知， 所設(shè)計(jì)的協(xié)同制導(dǎo)律可以保證3枚導(dǎo)彈同時(shí)命中目標(biāo)。 圖3（d）～（f）為導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間的變化曲線， 可知， 協(xié)同比例制導(dǎo)律可以糾正較大的初始飛行時(shí)間誤差， 并保持較高的精度收斂。 圖3（g）～（i）為協(xié)同制導(dǎo)律中導(dǎo)彈過(guò)載的變化曲線， 可知， 相比比例導(dǎo)引， 協(xié)同制導(dǎo)律在初始階段需要較大的加速度來(lái)調(diào)整攻擊時(shí)間誤差。 圖3（j）～（l）為協(xié)同制導(dǎo)律的導(dǎo)航系數(shù)的變化曲線， 可知， 不同的通信拓?fù)湎拢?導(dǎo)彈的導(dǎo)航系數(shù)變化趨勢(shì)不同， 但最后隨著剩余飛行時(shí)間的收斂， 導(dǎo)航系數(shù)也將收斂。

注3： 協(xié)同比例制導(dǎo)律的核心是調(diào)整比例導(dǎo)引的導(dǎo)航系數(shù)， 進(jìn)而調(diào)整各導(dǎo)彈的攻擊彈道， 實(shí)現(xiàn)協(xié)同攻擊。 仿真結(jié)果證明所設(shè)計(jì)的協(xié)同制導(dǎo)律對(duì)于機(jī)動(dòng)目標(biāo)仍能以較高的精度實(shí)現(xiàn)協(xié)同打擊。 雖然在協(xié)同比例制導(dǎo)律中采用的tgo1是基于靜止目標(biāo)假設(shè)推導(dǎo)出來(lái)的， 但在制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)過(guò)程中， 并沒有用tgo1來(lái)控制導(dǎo)彈實(shí)際的飛行時(shí)間， 而是將目標(biāo)在每個(gè)時(shí)刻視為靜止的點(diǎn)， 將每枚導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間視為協(xié)調(diào)變量， 來(lái)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)各自的導(dǎo)航比。 隨著導(dǎo)彈與目標(biāo)相對(duì)距離的減小， tgo1的估計(jì)誤差也越來(lái)越小， 從而實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的協(xié)同打擊。

3.2 指定攻擊時(shí)間制導(dǎo)律仿真分析

對(duì)基于tgo3所設(shè)計(jì)的指定攻擊時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律進(jìn)行仿真分析。 以單枚導(dǎo)彈攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)場(chǎng)景為例， 導(dǎo)彈的仿真初始條件如表3所示。 在傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律下的仿真結(jié)果如圖4所示。

由圖4可以看出， 在傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律下， 導(dǎo)彈攻擊時(shí)間為20.46 s。 為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的指定攻擊時(shí)間制導(dǎo)律， 分別選擇Td=21 s， Td=22 s， Td=23 s三種場(chǎng)景進(jìn)行仿真驗(yàn)證。 仿真初始參數(shù)如下：

Td=21 s時(shí)， [k1， k2]=[1.7×10-6， 1.8×10-5]×R;

Td=22 s時(shí)， [k1， k2]=[2×10-6， 3.6×10-5]×R;

Td=23 s時(shí)， [k1， k2]=[3×10-6， 2.3×10-5]×R;

k0=10， γ=0.9。 仿真結(jié)果如表4所示。

圖5給出了所設(shè)計(jì)的指定攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律的仿真結(jié)果。

由圖5可知， 所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律可以保證導(dǎo)彈以期望的攻擊時(shí)間攻擊目標(biāo)。 圖5（c）為彈目相對(duì)距離的變化， 可以看出， 在不同的攻擊時(shí)間下， 導(dǎo)彈仍能以較高的精度打擊目標(biāo)。 圖5（d）～（f）為不同的Td下， 所設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測(cè)器的估計(jì)結(jié)果， 可以看出， 所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器可以較好地跟蹤系統(tǒng)擾動(dòng)。 圖5（g）～（i）為導(dǎo)彈過(guò)載的變化曲線， 可以看出， 過(guò)載在末制導(dǎo)過(guò)程中會(huì)發(fā)生抖振， 這主要是因?yàn)楸疚乃褂玫膖go3未考慮目標(biāo)的機(jī)動(dòng)， 這無(wú)疑會(huì)引起tgo3的估計(jì)誤差， 進(jìn)而在制導(dǎo)末期造成滑模面的抖振問題。

為進(jìn)一步驗(yàn)證所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的有效性， 考慮3枚導(dǎo)彈攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)的場(chǎng)景。 仿真的初始參數(shù)如表5所示。 仿真結(jié)果如圖6所示， 脫靶量和制導(dǎo)時(shí)間如表6所示。

圖6給出了所設(shè)計(jì)的指定攻擊時(shí)間制導(dǎo)律協(xié)同攻擊某機(jī)動(dòng)目標(biāo)的仿真結(jié)果。 圖6（a）～（d）為導(dǎo)彈在比例導(dǎo)引和本文所設(shè)計(jì)的指定攻擊時(shí)間制導(dǎo)律下的彈道圖和彈目相對(duì)距離變化圖， 可以看出， 所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律可以保證各導(dǎo)彈以期望的攻擊時(shí)間依次打擊目標(biāo)， 這在攻擊一些戰(zhàn)機(jī)等目標(biāo)的場(chǎng)景中具有重要意義。 圖6（e）為指定攻擊時(shí)間制導(dǎo)律的剩余飛行時(shí)間變化曲線。 圖6（f）為3枚導(dǎo)彈的過(guò)載變化曲線。

注4： 與常規(guī)比例導(dǎo)引相比， 所設(shè)計(jì)的指定攻擊時(shí)間制導(dǎo)律彈道更加彎曲， 這是因?yàn)橹付ǖ墓魰r(shí)間較比例導(dǎo)引所需時(shí)間更長(zhǎng)， 需要導(dǎo)彈進(jìn)行額外的機(jī)動(dòng)來(lái)調(diào)整攻擊時(shí)間。 雖然該制導(dǎo)律所采用的tgo3是基于目標(biāo)不機(jī)動(dòng)、 導(dǎo)彈前置角為常值下的條件推導(dǎo)的， 但是相比于tgo1， tgo3的推導(dǎo)是基于導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程得到的， 且沒有用到任何近似條件。 當(dāng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)， 將目標(biāo)機(jī)動(dòng)帶來(lái)的影響視為擾動(dòng)， 以此來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)導(dǎo)彈攻擊時(shí)間的控制。 需要注意的是， 由于tgo3估計(jì)誤差的存在， 在制導(dǎo)末期會(huì)造成滑模面的抖振問題。 下一步工作中， 將致力于解決導(dǎo)彈過(guò)載的抖振問題。

注5： 實(shí)質(zhì)上， 本文所設(shè)計(jì)的兩種不同制導(dǎo)律， 其根本區(qū)別在于協(xié)同比例制導(dǎo)律是通過(guò)建立導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間與導(dǎo)航系數(shù)之間的關(guān)系， 利用導(dǎo)航系數(shù)改變導(dǎo)彈彈道特性的特點(diǎn)， 通過(guò)網(wǎng)絡(luò)通信在線調(diào)整剩余飛行時(shí)間， 進(jìn)而實(shí)現(xiàn)協(xié)同攻擊; 而指定攻擊時(shí)間制導(dǎo)律則主要是利用tgo3的動(dòng)力學(xué)特性， 通過(guò)設(shè)計(jì)導(dǎo)彈加速度， 離線的改變導(dǎo)彈的剩余飛行時(shí)間， 從而實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的同時(shí)或依次攻擊。 雖然兩種制導(dǎo)律的作用機(jī)理和制導(dǎo)體制不同， 但仿真分析證明， 這兩種制導(dǎo)律都能有效針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)， 實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的協(xié)同攻擊。

4 結(jié)? 論

本文針對(duì)多導(dǎo)彈協(xié)同攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的問題， 從剩余飛行時(shí)間控制的角度出發(fā)， 通過(guò)對(duì)三種常用的剩余飛行時(shí)間形式的分析， 總結(jié)并梳理了不同剩余飛行時(shí)間形式的局限性和優(yōu)越點(diǎn)。 分別基于在線調(diào)整導(dǎo)航系數(shù)和離線設(shè)計(jì)剩余飛行時(shí)間的思想設(shè)計(jì)了分布式協(xié)同比例制導(dǎo)律和具有指定攻擊時(shí)間控制的滑模制導(dǎo)律， 并給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撟C明與仿真分析。 通過(guò)與傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引進(jìn)行對(duì)比， 驗(yàn)證了本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律的有效性。 在下一階段， 本文將針對(duì)具有較大初始偏差下， 綜合考慮導(dǎo)彈的視場(chǎng)角約束、 攻擊角約束及過(guò)載約束等條件， 設(shè)計(jì)多約束條件下的協(xié)同制導(dǎo)律。

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Multi-Missile Cooperative Guidance Law for

Intercepting Maneuvering Target

Ma Mengchen，? Song Shenmin*

（Center for Control Theory and Guidance Technology，? Harbin Institute of Technology， Harbin 150001， China）

Abstract： Aiming at the problem of multi-missile cooperative interception of maneuvering targets，? two different cooperative guidance laws are designed based on the time-to-go. For the scenario of multi-missile distributed communication， a distributed cooperative proportional guidance law with time-varying navigation coefficients is designed based on the idea of biased proportional guidance. For the scenario of specified attack time，? based on the form of time-to-go under constant lead angle，? a sliding mode guidance law with a specified attack time is designed by using sliding mode control and nonlinear disturbance observer. Simulation results show that the two guidance laws proposed in this paper can effectively carry out cooperative attack or sequential attack against maneuvering targets.

Key words：? maneuvering target; time-to-go; biased proportional navigation; nonlinear disturbance observer; sliding mode control; multi-missile cooperation; guidance law