具有比例依賴的非自治捕食者-兩互惠食餌系統的動力學行為

2021-01-07 01:23:34艾合麥提麥麥提阿吉

應用數學 2021年1期

關鍵詞：系統

艾合麥提·麥麥提阿吉

(新疆大學數學與系統科學學院，新疆烏魯木齊830046)

1.引言

在現實世界中，兩個種群之間的相互作用有多種類型，其中捕食-食餌關系是最常見的生態相互作用之一.眾所周知，近年來國內外諸多學者對種群捕食者-食餌動力系統進行了廣泛的研究，并且研究工作取得了很大的進展.[1-5]到目前為止，在種群捕食者-食餌動力系統研究方面已經建立了許多重要且有意義的結果.其基本和重要的研究問題主要是包括種群的持久性和滅絕性系統正周期解的存在性，全局穩定性和全局吸引性等等.值得注意的是，大多數捕食者-食餌動力系統研究中在描述捕食者及其食餌的動態相互作用時，總是利用比例依賴函數(功能反應函數)來描述捕食者的捕食率和轉化率.然而，最近有些種群動力學模型方面的研究利用比例依賴函數來描述種群之間的競爭關系和互惠關系(合作關系)并建立動力學模型[6-13].例如，在文[7]中May首先提出了以下具有比例依賴的兩種群合作系統

其中u(t)和v(t)表示兩個合作種群u和υ在時刻t的密度;u(t)(a1+b1υ(t))-1和υ(t)(a2+b2u(t))-1描述種群u和種群υ 之間合作關系.后來這種具有比例依賴的合作系統被稱為May型合作系統[9].文[9-10]在文[7]研究模型的基礎上進一步研究了具有時滯的多種群May型合作系統和具有時滯和擴散的兩種群May型合作系統的動力學行為.另外，最近文[11]研究了以下捕食者-食餌-合作系統

的持久性.其中x(t)和y(t)表示兩個合作食餌種群x和y在時刻t的密度; z(t)表示捕食者種群z在時刻t的密度.在系統(1.2)中作者用來同時描述了捕食者和兩個食餌之間的捕食-食餌-合作關系.在本文中結合以上的研究工作和模型，考慮下面的具有比例依賴的非自治捕食者-兩互惠食餌系統:

其中x(t)，y(t)分別表示兩互惠食餌種群x和y在時刻t的密度;z(t)表示捕食者種群z在時刻t的密度; ai(t)(i = 1，2，3)是種群x，y和z在時刻t的增長率; bi(t)(i = 1，2，3)分別表示種群x，y和z在時刻t內部密度制約項.在系統(1.3)中考慮了一個捕食者和兩個食餌，并且用和來描述了兩個食餌之間的互惠關系，用來描述捕食者和食餌之間的捕食-食餌關系.系統(1.3)迄今未曾被研究過，并且目前已研究過的大部分其他比例依賴的捕食者-食餌-合作系統主要研究了模型的持久性，滅絕性和正周期解的存在性，幾乎沒有研究過系統的全局吸引性.因此，本文章將研究系統(1.3)的有界性，持久性，滅絕性，正周期解的存在性以及全局吸引性等動力學行為.

2.預備知識

由系統(1.3)的實際生物意義，我們假設系統(1.3)滿足下面的初始條件:

(H1) ai(t)，bi(t)(i=1，2，3)，ci(t)，di(t)，ei(t)(i=1，2)和fi(t)(i=1，2)是在區間[0，+∞)上有界，連續的正函數.

為了敘述方便，對任意在區間[0，+∞)上連續的函數f(t)，我們用下面的記號

此外，我們還將用到如下一些定義和引理

定義2.1[3]我們稱系統(1.3)是持久的，如果存在正的常數mi，Mi(i = 1，2，3)和T*使得系統(1.3) 的每個正解(x(t)，y(t)，z(t))對于任何給定初始條件Φ滿足m1≤x(t) ≤M1，m2≤y(t)≤M2，m3≤z(t)≤M3，?t ≥T*，其中T*依賴于Φ.

定義2.2[12]稱系統(1.3)是全局吸引的如果系統(1.3)的任意的兩個解(x(t)，y(t)，z(t))和(u(t)，v(t)，μ(t)) 滿足

引理2.1[12]考慮下面的方程

其中d2＞0，我們有下面的結論:

1) 如果d1＞0，那么

2) 如果d1＜0，那么=0.

引理2.2[13]若存在正常數m和M 使得對任何中任Φ ∈[-τ，0]，都有

則下面一般形式的泛函微分方程

一定存在周期為ω的正周期解，其中x(t) ∈ Rn而F(t，xt)是n維連續實泛函，x(t，0，Φ) =(x1(t，0，Φ)，x2(t，0，Φ)，··· ，xn(t，0，Φ)).

引理2.3[14]設f是定義在[0，∞)上的一個非負函數使得在[0，∞)上可積并且在[0，∞)上一致連續，則

3.系統的有界性，持久性以及正周期解的存在性

定理3.1假設(H1)成立，則系統(1.3)是最終有界的.

證首先，由系統(1.3)的第一個方程對t ≥0我們可以得到，

考慮下面的輔助方程

由引理2.1，可以得到

根據微分方程的比較原理，存在一個常數T0＞0使得x(t) ≤M1，其中t ≥T0.其次，由系統(1.3)的第二個和第三個方程對t ≥0可以得到，

然后，類似于上面的討論，存在一個常數T1＞0使得對t ≥T1有y(t)≤M2和z(t)≤M3，其中

定理3.2假設(H1)成立并且Ai＞0(i = 1，2)，則存在常數m1＞0，m2＞0，使得系統(1.3)的任一個正解(x(t)，y(t)，z(t))滿足下面的條件

證由系統(1.3)的第二個和第三個方程對t ≥0可以得到，

定理3.3假設系統(1.3)滿足定理3.2的全部條件并且滿足A3＞0，則系統(1.3)是持久的，其中

證由定理3.1和定理3.2，存在常數T4＞0，使得對任意給定的常數ε0＞0有

由系統(1.3)的第三個方程得到

由ε0的任意性且類似于定理3.2中的討論，存在常數T5＞0，使得對t ≥T5有z(t) ≥m3，其中

故，根據定義2.1，系統(1.3)是持久的.

由引理2.1 可以得到下面的推論.

推論3.1假設(H1)成立并且A4＜0，則捕食者種群z滅絕，其中

下面假設系統(1.3)為周期系統的條件下得到系統至少存在一個正周期解的充分條件.

(H2) ai(t)，bi(t)(i=1，2，3)，ci(t)，di(t)，ei(t)(i=1，2)和fi(t)(i=1，2)都是ω-周期非負連續函數.

由引理2.2可以得到下面的推論.

推論3.2假設(H2)成立并且Ai＞0(1，2，3)，則系統(1.3)至少有一個正ω-周期解.

4.系統的全局吸引性

首先，為了方便我們介紹一些記號

其中

關于系統(1.3)的全局吸引性，我們有下面的結論.

定理4.1假設系統(1.3)滿足定理3.3的全部條件并且滿足D ＞0，則對系統(1.3)是全局吸引的.

證設(x(t)，y(t)，z(t))和(u(t)，v(t)，μ(t))是系統(1.3)的任意兩個正解.由系統(1.3)的持久性，存在常數T ＞0，mi＞0，Mi＞0(i = 1，2，3)使得m1≤x(t) ≤M1，m2≤y(t) ≤M2，m3≤z(t)≤M3對一切t ≥T成立.定義Liapunov函數

則沿著系統(1.3)計算V(t)的右上導數，得到

在區間[T，t]上積分(4.1)，我們得到

因此，V(t)在區間[T，∞)上有界，從而得到

因此，

由定理4.1和推論3.2，有下面的結論

推論4.1假設條件(H2)成立，且Di＞0(i = 1，2，3)，則系統(1.3)有一個全局吸引的正ω-周期解.