次線性期望空間下行END陣列的完全收斂性

2021-01-07 01:23:36占周婷吳群英

應用數學 2021年1期

占周婷，吳群英

( 桂林理工大學理學院，廣西桂林541004)

1.引言及引理

隨著社會和科學的發展，極限理論被廣泛的應用到統計、經濟和金融等領域中.經典極限理論是在模型確定的條件下成立，然而模型確定性假設在現實生活中許多應用領域是不成立的，因為不確定性現象無法用確定性模型解釋.在經典極限理論中，概率和期望是具有可加性的，而現實生活中很多不確定現象不符合線性可加的條件.因此為解決經典極限理論在應用方面受到的限制，彭實戈院士[1]引入了次線性期望空間理論，并給出了次線性期望理論的完整公理體系.次線性期望是經典線性期望的延伸，近幾年一系列新的研究結果被大量應用于統計、金融、經濟和風險度量等方面.如PENG[2]證明了次線性期望下的中心極限定理；ZHANG[3-5]研究了次線性期望下END序列的Kolmogorov強大數定律、矩不等式、重對數律以及獨立和ND情況下的Rosenthal’s不等式; WU和JIANG[6]研究得到次線性期望下的強大數律與Chover’s型重對數律; HU[7]研究得到次線性期望空間下一般矩條件的強大數律;WANG和WU[8]研究了次線性期望下行END陣列的完全收斂性.

完全收斂性最初是由統計學者HSU和ROBBINS[9]在1947年提出，至此吸引了廣大學者的興趣.現如今，經典概率空間中關于完全收斂性的研究成果已經碩果累累.如KATE[10]和BAUM[11]得到了獨立同分布隨機變量部分和完全收斂的充分必要條件; 白志東和蘇淳[12]加強并改進了KATE和BAUM獨立同分布隨機變量部分和完全收斂性的研究結果; WU[13-14]分別給出了ND序列和ND陣列隨機變量完全收斂性的證明; 孟兵和吳群英[15]證明了ND陣列加權乘積和的完全收斂性; YI等[16]研究了NOD序列加權和的完全收斂性; SUNG[17]運用指數不等式得到了一個針對于獨立隨機變量陣列的新的完全收斂的結果; HU[18]等得到了行END陣列的完全收斂性.在次線性期望下雖然有LI和WU[19]證明了廣義獨立陣列的完全收斂和完全積分收斂性.但作為一種誕生不久的理論，次線性期望空間中關于極限理論的研究還需大量投入與輸出.本文在現有的理論基礎上，進一步將文[18]中定理3.1從概率空間中行END陣列的完全收斂性推廣到次線性期望下行END陣列的完全收斂性，并且進一步擴展了條件范圍得到相應的結果.

我們使用彭實戈院士[1-2]提出的次線性期望空間的框架，假設(Ω，F)是給定的可測空間，H是定義在(Ω，F)上由實函數構成的線性空間，使得如果X1，X2，··· ，Xn∈H，則對于任意的φ ∈Cl，Lip(Rn)有φ(X1，X2，··· ，Xn) ∈H，其中Cl，Lip(Rn)表示在線性空間的局部Lipschitz函數，即對任意φ ∈Cl，Lip(Rn)，存在常數c ＞0，m ∈N取決于φ，都有

也稱H是由隨機變量所構成的空間，并記X ∈H.

定義1.1[4]在空間H上的如果對任意的X，Y ∈H滿足以下四個條件：

定義1.2[4]令G ?F，如果函數V :G →[0，1]滿足以下兩個條件:

1) V(?)=0，V(Ω)=1;

2) 對任意A ?B，A，B ∈G，則有V(A)≤V(B).

則稱V 為容度.如果對所有的A，B ∈G，有V(A ∪B)≤V(A)+V(B)，則稱V 具有次可加性; 如果對任意An∈F，有則稱V 具有可數次可加性.

在次線性期望空間中對上容度V和下容度V的定義如下:

其中，Ac為A的的補集.因此根據定義很容易可以看出V具有次可加性，且

如果I(A)∈H，有

如果f ≤I(A)≤g，f，g ∈H，則有

對于?X ∈H，p ＞0，x ＞0，因為

成立.

定義1.3[4]定義Choquet積分為

其中V 可由上容度V和下容度V替換.

定義1.4[3](END) 在次線性期望空間(Ω，H，)下隨機變量序列{Xn;n ≥1}被稱為END隨機變量序列，如果存在常數K ≥1，使得對任意的屬于Cb，Lip(R)的非降(或非增)的非負函數φi，都有

成立.

設{kn;n ≥1}是正整數序列，如果對任意固定的n ≥1，{Xni;1 ≤i ≤kn}是END序列，則稱{Xni;1 ≤i ≤kn，n ≥1}為行END陣列.

顯然，根據END隨機變量序列的定義很容易可以得到，如果{Xn;n ≥1}是END隨機變量序列，f1(x)，f2(x)，··· ∈Cl，Lip(R)是非降(或非增)的函數，則{fn(Xn);n ≥1}也是END隨機變量序列.

本文約定，C總代表一個正常數，在不同的地方可取不同的值; an?bn表示存在常數C使得對充分大的n都有an≤Cbn; I(·)表示示性函數.

為證本文的結論，我們需要下面的引理.

引理1.1[3]設{Xn;n ≥1}是次線性期望空間下的END隨機變量序列，且0，令則

且對任意的p ≥2，存在常數Cp≥1，使得

其中K是END隨機變量序列定義中的控制常數.

引理1.2設{Xn;n ≥1}是次線性期望空間下的END隨機變量序列，且Xk≤0，令且存在y ＞0使得|Xk|≤y，則對任意的x ＞0，n ≥1和0 ＜p ≤2，都有

其中K的定義同(1.4).

證由END序列的定義可知，對任意的t ＞0，{etXk;k ≥1}也是END序列，則有

對t ＞0和0 ＜p ≤2，定義函數k(x) = (etx-1-tx)/xp，?x ＞0，則容易證得k(x)在x ＞0上單調遞增.因此當t ＞0和0 ＜p ≤2 時，函數k(x)=(etx-1-tx)/xp，?x ＞0是增函數，以及|Xk|≤y可得

又由ex＞x+1，?x ＞0可得

因此由(1.2)和(1.6)式可得

所以就完成了引理1.2的證明.

2.主要結果及其證明

在次線性期望空間中，由于次線性期望和容度不再具有可加性，所以對次線性期望空間的完全收斂性的研究與經典概率空間的相比有所不同，且更具挑戰性.

假設{Xni;1 ≤i ≤kn，n ≥1} 是次線性期望空間下的行END隨機變量陣列，{kn}是正整數序列，{an;n ≥1}是非減的正常數序列.由END序列的定義可知，為了確保截尾后的隨機變量陣列也是行END陣列，需采用定義在Cl，Lip(R)上的非減函數或非增函數來進行截尾.令fb(x)=-bI(x ＜-b)+xI(|x|≤b)+bI(x ＞b)，?b ＞0.

對ε ＞0 和λ ＞0，令