帶有線性記憶的波方程在Rn上的時間依賴吸引子

吳曉霞，馬巧珍

( 西北師范大學數學與統計學院，甘肅 蘭州730070)

1.引言

我們考慮如下帶有線性記憶的波方程

時間依賴吸引子的存在性，其中u(x，t)是未知函數，h(·) ∈L2(Rn).η = ηt(x，s) := u(x，t)-u(x，t-s)，s ∈R+，ε(t)和f(u)分別滿足下面的條件:

(F1) ε是單調遞減的并滿足:

特別地，存在L ＞0使得

(F2) 非線性項f ∈C1(R)，f(0)=0并滿足

其中，當n=1，2時，0 ≤p ＜∞; 當n ≥3時，0 ≤p(n-2)≤2.

如文[1-3]，對ηt(x，s) = u(x，t)-u(x，t-s)兩邊分別關于t和s求導，計算后可將(1.1)化為下面的系統:

相應的初始條件為

其中

記憶核μ(·)滿足以下條件:

其中ρ是正常數.

方程(1.1)可以用來描述具有衰減記憶的粘彈性固體，其中耗散性由固體周圍的介質，混合材料，相場以及波現象所體現，見文[4-6].

μ恒等于零時，方程(1.1)為阻尼波方程，這類問題已經被許多作者研究過.例如，當ε為常數時，文[7-12]在半群的框架下，利用全局吸引子的概念研究了解的長時間行為.而當ε依賴于時間且為正遞減函數時，我們知道即使外力項不依賴于時間，系統(1.1)仍然為非自治的，其吸引子仍在非自治的框架下理解，見文[13-18].作者在文[19-20]中研究了有界域上帶有非線性阻尼和線性記憶的波方程時間依賴吸引子的存在性，文[21-23]考慮了無界域上波方程解的長時間行為.無界域上plate方程時間依賴吸引子的存在性在文[24]中被研究.然而，時間依賴全空間Rn上帶有線性記憶的波方程時間依賴吸引子的存在性目前還沒有任何結果，因此我們在本文研究這一問題解的長時間行為.

2.準備知識

不失一般性，記H =L2(Rn)，內積和范數分別為〈·，·〉和‖·‖.對于s ∈R+，記Hs=Hs(Rn)=并賦予以下內積和范數:

特別地，

對于t ∈R，s ∈R+，有下面的時間依賴空間=Hs+1×Hs×(R+;Hs+1).

當s = 0時，記時間依賴空間為: Ht= H1×H ×(R+;H1)，對應的范數為:=

對?t ∈R，設Xt是一族賦范線性空間，下面介紹Xt的R-球:

兩集合(非空) B，C ?Xt的Hausdorff半距離表示為:

對于任意給定?＞0，集合B ?Xt的?-領域定義為

下面給出基本概念和抽象結果，詳見文[13，18，24].

定義2.1設{Xt}t∈R是一族賦范線性空間.稱雙參數算子族{U(t，τ):Xτ→Xt，t ≥τ，τ ∈R}是一過程，如果它滿足:

i) U(τ，τ)=Id是Xτ上的恒等映射，?τ ∈R;

ii) U(t，s)U(s，τ)=U(t，τ)，?t ≥s ≥τ.

定義2.2設有界集Ct?Xt，我們說集合族C = {Ct}t∈R是一致有界的，如果存在常數R ＞0，使得Ct?Bt(R)，?t ∈R.

定義2.3一致有界集族B = {Bt}t∈R是過程U(t，τ)的時間依賴吸收集，如果對任意的R ＞0，存在常數t0，使得τ ≤t-t0?U(t，τ)Bτ(R)?Bt.

定義2.4一致有界族K={Kt}t∈R是拉回吸引的，若對所有?＞0，族{(Kt)}t∈R是拉回吸收的.

定義2.5過程U(t，τ)的時間依賴吸引子是滿足以下性質的最小的族U={At}t∈R:

i) 任意的At在Xt中是緊的;

ii) U是拉回吸引的，即對任意一致有界族C={Ct}t∈R，成立:

定理2.6[24]設{Xt}t∈R為一族Banach空間且C = {Ct}t∈R為{Xt}t∈R中的一致有界子集族.稱定義在{Xt}t∈R×{Xt}t∈R上的函數，(·，·)為Ct×Ct上的漸近壓縮函數是指:對任意t ∈R與任意序列?Ct，存在一個子序列使得:

其中τ ≤t.我們用C(Ct)表示{Ct}t∈R×{Ct}t∈R上的漸近壓縮函數全體.

定理2.7[24]設U(·，·)為{Xt}t∈R中的一族過程且對任意?＞0，存在τ ＜T(?) ≤t，∈C(CT)，使得對任意固定t ∈R，

則U(·，·)是漸近壓縮過程.

定理2.8[24]若過程U(·，·)是漸近壓縮的，則它是拉回漸近緊的.

定理2.9[24]設U(·，·)是Banach空間族{Xt}t∈R中的過程，則{Xt}t∈R中U(·，·)有一個時間依賴全局吸引子U*={t∈R如果它滿足下面的條件:

i) U(·，·)有拉回吸收族B={Bt}t∈R;

ii) U(·，·)是Bt上的拉回漸近壓縮過程.

引理2.10[3]令F(u) =f(y)dy.根據(1.7)，取0 ＜ν = min{1，λ}，則存在?(ν) ＞0，ci(ν)＞0(i=1，2)，使得

引理2.11[3]設ψ，r1，r2是非負局部可積函數，對δ ＞0，滿足下面的微分不等式:

同時設定

則

3.適定性和時間依賴吸收集

定理3.1[25-26]設(1.2)-(1.5)成立，則對任意初值zτ= (u0，u1，η0) ∈Hτ，在Ht中存在問題(1.1)的唯一解z(t)=(u(t)，ut(t)，ηt(s))，且對任意τ ∈R，t ≥τ，滿足

此外，設zi(τ) ∈Hτ是滿足‖zi(τ)‖Hτ≤R(i = 1，2) 的兩個初值，且zi(t)是(1.1)的解.則存在在C =C(R)＞0，使得

因此，系統(1.6)-(1.7)生成一個強連續過程U(t，τ)，其中U(t，τ) : Hτ→Ht，即U(t，τ)z(τ) ={u(t)，ut(t)，ηt(s)}.

引理3.2假設(1.2)-(1.5)成立，當初值z(τ)∈Hτ，存在C ＞0，使得

證設δ ＞0，取j =0，1定義

選取足夠大的常數Λ ＞0，使得對任意t，Ej(t)≥0.此外，定義

用v =ut+δu與(1.6)在L2(Rn)中做內積，得到

先用jηt與(1.6)2在(R+，H)上做內積，再用ηt與(1.6)2在R+，H1)上做內積后相加得到

根據(1.10)有

由(1.2)且將(3.3)和(3.4)加起來，并利用(3.5)有

根據Young不等式，(1.9)和(3.2)則有

其中C2=2m0/ρC1且

利用(2.2)，有

其中C3=2δc1.

現在設j =0，1，利用引理2.11，得

其中M :R+→R+是依賴于C4，C5，δ的遞增函數.結合(3.12)有

其中ψ(y)=4C2ye-δy(當y →∞，ψ(y)→0).由于E0(τ)≤E1(τ)，從(3.14)-(3.15)得到

因此，根據Young不等式及嵌入H1L4(Rn)，存在正常數C6，使得

從而，對z(τ)∈Hτ，存在C ＞0以及兩個有界遞增函數C1i: R+→R+，i =1，2，以及(3.16)中的函數ψ，根據(3.16)和(3.17)可得

從引理3.2，我們可以得下面的結果:

引理3.3設條件(1.2)-(1.5)成立，對于引理3.2中的C ＞0，B = {Bt(C)} 為問題(1.1)生成過程{U(t，τ)}的時間依賴吸收集，且對R ≥C，有

證結合(3.11)，且δ =0，得到

在[τ，t]上積分，當t →∞時，(3.18)就得到了證明.

對于非線性項f，為了得到無界域上過程的漸近緊性，我們還需要下面的條件:

其中l ＞0.

4.尾部估計

引理4.1設條件(1.2)-(1.5)成立，則對任意的?＞0，存在T1= T1(?)，使得當t ≥T1且k =k(?)＞0，成立

證選擇合適的光滑函數θ，使得對任意的s ∈R+，有0 ≤θ(s) ≤1.具體地，當0 ≤s ≤1時，有θ(s)=0; 當s ≥2 時，有θ(s)=1，且存在一正常數使得max{|θ′(s)|，θ′′(s)|}≤

先給(1.6)2乘以并在Rn上做積分，然后用ηt與(1.6)2在(R+，H) 上做內積，最后用ηt與(1.6)2在(R+，H1)上做內積，記算后相加得

根據(1.10)有

將(4.1)和(4.2)加起來，并利用(4.3)有

根據Young不等式，(1.9)和(3.2)則有

接下來，我們處理上述方程中的每一項，首先我們有

此外有

結合上面的估計得到

設k1(?)＞0，且?0 ＜?＜1，使得k ≥k1(?)，則

同理，設k2(?)＞0，且?0 ＜?＜1，使得k ≥k2(?)，則

此外，存在k3(?)＞0，當k ≥k3(?)，使得

選取k0=max{k1(?)，k2(?)，k3(?)}，當k ≥k0時，有

在[τ，t]上應用Growall引理，并結合引理3.3，得到

對給定?＞0，設K =K(?)，存在T1=T1(?)，當t ≥T，且k ≥K(?)，有

則得到

5.時間依賴全局吸引子的存在性

定理5.1設條件(1.2)-(1.5)成立，問題(1.6)生成的過程U(t，τ) : Hτ→Ht在H1(Rn)×L2(Rn)×(R+;H1(Rn))中存在一個不變的時間依賴全局吸引子U={At}t∈R.

接下來，我們利用漸近壓縮函數方法得到系統(1.6)時間依賴吸引子的存在性.

引理5.2設條件(1.2)-(1.5)成立，h ∈L2(Rn)，問題(1.6)的解(un，unt，(s))對應的初值∈BT.則對任意k ＞0 及T(?)＞0，令Ωk={x ∈Rn:|x|＜k}，成立:

在L∞(T，t;L2(Ωk))中，unt→ut弱*收斂.

在L∞(T，t;(Ωk))中，un→u弱*收斂.

在L2(T，t;(Ωk))中，un(t)→u(t)強收斂.

在L2中，un(T)→u(T)和un(t)→u(t)強收斂.

先驗估計設(ui(t)，uit(t)，(s))為(1.6)的解，對應的初值為(∈{Bτ}τ∈R，且

則ω(t)滿足

定義

用ωt與(5.1)在L2(Rn)上作內積，有

用ζt與在(R+，H)上做內積得到

將(5.3)與(5.4)相加得

根據(1.10)，則有

結合(5，5)-(5.7)有

對(5.8)在[s，t]上作內積，有

其中T ≤s ≤t，L ＜α，根據(1.3)式，得到

用ω與(5.1)式在Rn×[T，t]上作積分，得到

根據(1.10)式有

結合上式得

結合(5.11)(5.12)式，可得

給(5.9)式在[T，t]上作積分，有

根據(5.13)和(5.14)有

設

且

則有

定理5.3設條件(1.2)-(1.5)成立，則過程{U(t，τ)}是漸近壓縮的，即，對任意固定t ∈R，有界序列且任意當n →∞時，τn→-∞，序列在H1(Rn)×L2(Rn)×(R+;H1(Rn))中是準緊的.

證設

且

同樣地當m，n足夠大，我們可以得到

因此我們可以得到

接下來，對任意固定?＞0，令T ＜t使得t-T足夠大，則

因此，根據定義2.6，2.7，對任意固定T，我們只需要證明(5.23)中是壓縮函數.

現在，我們將處理(5.18)中的每一項.

首先，從引理3.2和引理5.2中，得到

定理5.1的證明由引理3.2可知，U(t，τ)存在一致有界的時間依賴吸收集{Bt}t∈R.由引理4.1和引理5.3，可知U(t，τ)是漸近緊的，從而得到了H1(Rn)×L2(Rn)×(R+;H1(Rn))中時間依賴吸引子U={At}t∈R的存在性.