非線性橢圓障礙問題很弱解的全局可積性

佟玉霞，楊雅琦，周艷霞

(華北理工大學(xué)理學(xué)院，河北 唐山063210)

1.引言

設(shè)Ω ?Rn(n ≥2)是一個(gè)有界正則區(qū)域，1 ＜p ＜n，這里正則域指的是具有有限測度并使得下文Hodge分解(引理2.1)成立的區(qū)域.例如，Lipschitz域和A型區(qū)域是正則的.

令ψ為Ω中任意取值于R ∪{-∞，+∞}的函數(shù)，θ ∈W1，r(Ω).令

其中函數(shù)ψ為障礙函數(shù)，θ為邊值函數(shù).

本文考慮非線性橢圓方程

并且B(x，ξ)滿足

現(xiàn)在介紹引理2.1中擾動(dòng)向量場的Hodge分解|?(v-u)|p-2?(v-u)∈Lr/(r-p+1)(Ω):

定義1.1稱為(1.1)的-障礙問題的很弱解，max{1，p-1}＜r ＜p，如果

上面定義中“很弱”的含義是指解u的可積指數(shù)r可以小于自然指數(shù)p，這不同于通常的經(jīng)典弱解Ω)的假設(shè).

首先回顧很弱解的相關(guān)進(jìn)展.Iwaniec在文[1]中首次提出了很弱解的概念，對(duì)p-調(diào)和張量和弱擬正則映射，其弱導(dǎo)數(shù)的可積性低于自然指數(shù).此外，Iwaniec-Sbordone[2]和Iwaniec等[3]分別考慮了變分積分的弱極小和r充分接近p時(shí)的弱p-調(diào)和型方程的正則性; 通過對(duì)擾動(dòng)向量場的Hodge分解的方法，得到了變分積分的弱極小和弱p-調(diào)和方程的很弱解實(shí)際上是經(jīng)典意義下的弱解.另一方面，與Iwaniec使用的方法不同的是，Lewis[4]通過調(diào)和分析技術(shù)獲得了某些橢圓型方程很弱解的高階可積性.后來，Lewis的調(diào)和分析技術(shù)又?jǐn)U展到p-拉普拉斯算子[5-6]的拋物型方程組，以及各種非標(biāo)準(zhǔn)增長的橢圓和拋物型方程組[7-10].這從本質(zhì)上說是使用了弱導(dǎo)數(shù)的逆Hlder不等式從而提高可積性來實(shí)現(xiàn)的[11].Greco等在文[12]中研究了非齊次p-調(diào)和方程

獲得了算子H的估計(jì).鄭神州和方愛農(nóng)[13]研究了非線性橢圓方程組

的很弱解，并且在擾動(dòng)向量場的Hodge 分解的基礎(chǔ)上，得到了其很弱解的微商具有自我提高的可積性.有關(guān)很弱解的更多結(jié)果，參見[1，4，12，14].

本文研究的可積性問題在非線性橢圓偏微分方程的正則性理論和相應(yīng)的障礙問題中占有重要地位.在文[15]中，GAO等研究解決在某些合適的強(qiáng)制性條件和控制增長條件下，一類各項(xiàng)異性橢圓方程

令t ＞0，Ω ?Rn，弱Lt-空間或Marcinkiewicz空間[16]指的是包含所有滿足

的可測函數(shù)f構(gòu)成的空間，其中正常數(shù)k = k(f)，s ＞0，|E|是E的n維測度.記為弱Lt-空間或(Ω).注意到，對(duì)于某些t ＞1，|Ω| ＜∞，如果f ∈(Ω)，則對(duì)于任意的1 ≤τ ＜t，有f ∈Lτ(Ω).

本文主要結(jié)果如下.

定理1.1設(shè)θ*= max{θ，ψ}，θ*∈W1，q(Ω)，q ＞r.假設(shè)算子A(x，?u)和B(x，?u)滿足結(jié)構(gòu)性條件(1.2)和(1.3).那么存在一個(gè)常數(shù)ε0= ε0(n，p，Λ1，Λ2，λ) ＞0，使得對(duì)于(1.1)的(Ω)-障礙問題的任意很弱解u ∈θ+(Ω)，max{1，p-1}＜r ＜p ＜n，有

本文證明受高紅亞和鄭神州等人的論文[13，16，19-20]的啟發(fā)，因?yàn)槎x式(1.5)中很弱解不能做為容許函數(shù)，因此通過Hodge分解構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)娜菰S函數(shù).也就是說，本文的關(guān)鍵是通過Hodge分解選擇一個(gè)合適的容許函數(shù)[2，13]，然后根據(jù)Stampacchia引理[19]實(shí)現(xiàn)最終目標(biāo).需要說明的是，文[21]也考慮了一類A-調(diào)和方程的障礙問題的很弱解的全局可積性，但是其采用的方法主要是通過建立關(guān)于很弱解的梯度的弱逆Hlder不等式從而提高可積性來實(shí)現(xiàn)的.本文與其采用的方法是不同的.

2.預(yù)備知識(shí)

本節(jié)將介紹一些有用的引理.這些引理將在證明主要結(jié)論時(shí)起重要作用.用C(n，p，Λ1，···)表示僅依賴于規(guī)定數(shù)量的常數(shù)，各行中的常數(shù)C可能有不同.

首先，給出向量場的Hodge分解，見文[13]中的引理2.2.

引理2.1設(shè)v ∈(Ω，Rm)，max{1，p-1}＜r ＜p.則一定存在和散度自由的矩陣場h ∈(Ω，Rn×m)，使得

并且有估計(jì)式

其中C =C(n，p，Ω).

下面一個(gè)有效的工具就是著名的Stampacchia引理，參見文[22]中的引理4.1.

引理2.2令α，β為正常數(shù)，遞減函數(shù)φ:[s0，+∞)→[0，+∞)，滿足

其中常數(shù)C ＞0，r ＞s ≥s0.于是

(i) 若β ＞1，則φ(s0+d)=0，這里

(ii) 若β =1，則當(dāng)s ≥s0時(shí)，有

(iii) 若β ＜1，則當(dāng)s ≥s0＞0時(shí)，有

3.定理1.1的證明

證令θ*=max{θ，ψ}.對(duì)于任意的L ＞0，令

其中1{|u-θ*|＞L}是集合E的特征函數(shù)，即當(dāng)x ∈E時(shí)，1E=1.否則1E=0.

令

1) 顯然v ∈W1，r(Ω);

因此(ψ-θ)+屬于因此θ*∈θ+于是在?Ω上θ*= max{θ，ψ} = θ = u，于是在?Ω上M =0，從而v ∈θ+(Ω);

3) 第一種情況，當(dāng)u-θ*＜-L時(shí)，v = u-(u-θ*+L) = θ*-L ＞u ≥ψ; 第二種情況，有v =u ≥ψ; 第三種情況，v =u-(u-θ*-L)=θ*+L ≥θ*≥ψ.

因此，有

現(xiàn)在引入擾動(dòng)向量場|?(v-u)|p-2?(v-u) ∈Lr/(r-p+1)(E)的Hodge分解，如引理2.1所示.于是，

且

上式左側(cè)利用(1.2)，得到

這表明

使 用(1.2)，(1.3)，(3.7)，(3.6)，Hlder不等式，Young不等式 和Sobolev-Poincar′e不等式，I1，I2，I3可估計(jì)如下:

這里ε ＞0足夠小.

這里限制0 ＜p-r ＜ε0，其中ε0為待定常數(shù).

并且

將J1和J2的估計(jì)值放在一起，得到

因此，結(jié)合(3.8)，(3.9)，(3.10)和(3.11)，可得

其中0 ＜p-r ＜ε0，取正常數(shù)ε，ε0足夠小，使得于是(3.12)右邊的第一項(xiàng)可以被左邊吸收，于是得到

由于θ*∈W1，q(Ω)，q ＞r，使用Hlder不等式可得

和

于是

和

于是有

將K1，K2，K3，K4和K5的估計(jì)值代入(3.13)，得到

其中C =C(n，p，q，λ，Λ1，Λ2，δ，|Ω|).

通過整理(3.19)，(3.20)，(3.21) 和E ={|u-θ*|＞L}，得到

其中C*=C*(n，p，q，λ，Λ1，Λ2，δ，|Ω|).于是有

情形(i) 如果1 ≤q ＜n，有β ＜1.在這種情況下，如果s ≥1，由引理2.2可以得到

其中

如果0 ＜s ＜1，有

綜上，得到

情形(ii) 如果q =n，有β =1.任意的1 ≤τ ＜∞，由(3.23)知

綜上，根據(jù)Stampacchia引理得到u ∈θ*+Lτ(Ω).

情形(iii) 如果q ＞n，有β ＞1.引理2.2意味著對(duì)某些

有φ(d)=0.因此|{|u-θ*|＞d}|=0，這里u-θ*≤d在Ω中幾乎處處成立.于是

證明完畢.