指數-伽馬模型下在險價值和條件在險價值貝葉斯估計的中偏差原理

嚴鈞，章熙堯

( 揚州大學數學科學學院，江蘇 揚州225002)

1.引言

在險價值(VaR，Value-at-Risk)和條件在險價值(CVaR，conditional Value-at-Risk)是兩種常用的風險度量.Jorion[1]較完整地描述了VaR的定義，通過進一步研究推廣而廣泛的用于風險度量領域[2-5].由于VaR具有一些缺點，例如不滿足次可加性且忽略了分位點的信息，僅考慮了預期最大損失.所以人們引入了風險度量CVaR[6]，它不僅滿足平移不變性，次可加性，正齊性以及單調性，而且具有VaR特有的性質[7-8].設X為定義在概率空間(Ω，F，P)上的隨機變量，累積分布函數為F.X的水平α的VaR定義為

其中，F-1(s)=inf{t;F(t)≥s}為分布函數F的廣義反函數.X的水平為α的CVaR定義為

等價地[9]

特別地，如果X服從密度為θe-θx，x ＞0的指數分布，則

在金融市場中，參數θ反映了隨機變量X的風險特征，考慮到風險的非齊次性[10]，不妨假定θ為隨機變量，滿足某種先驗分布，此時對風險X的度量和評估落入貝葉斯框架[11].章溢等[12]考慮了指數-伽馬模型下VaR的貝葉斯估計的漸近性質.具體地，設θ服從密度為π(θ)=(βλ/Γ(λ))θλ-1e-βθ，θ ＞0，設在θ給定的條件下，X1，X2...，Xn獨立同分布，它們共同的密度為f(x|θ)=θe-θx，x ＞0.章溢等[12]構造了如下的估計量

風險度量估計量的漸近行為的研究是風險管理的熱點問題.GAO[13]研究了經驗CVaR的大偏差原理和中偏差原理，XING[14]研究了投資組合損失的尾部失真風險度量和各個資產損失的在險價值之和的漸近比率，CAI[15]研究了幾種風險度量的漸近等價性.受這些研究結果的啟發，本文研究兩個貝葉斯估計量(X1，X2，...，Xn) 和(X1，X2，...，Xn) 的中偏差原理.

2.指數-伽馬模型下VaR和CVaR貝葉斯估計的中偏差原理

定理2.11)-VaRα(X)，n ≥1} 滿足速度函數為速率函數為V(x)的中偏差原理

即對于任意的A ?R

即對于任意的B ?R

證1) 根據大偏差理論[16]，我們需要計算

事實上，

由Taylor展開

所以

由于

所以

進一步

同理

因此

2) 證明與1)類似，故省略具體的證明過程.

3.數值模擬

下面我們給出主要結果的隨機模擬，具體地，在定理2.1中，取A=B =(-∞，?]∪[?，+∞)，?＞0，則有

即對于充分大的n，有

取

1) α=0.95，?=0.1，λ=4，β =2;

2) θ 取1000個服從Γ(4，2)隨機數的中位數;

3) a(n)=n0.99.

為了方便，記

模擬結果如下:

表3.1 P(n)，Q(n)，P*(n)，Q*(n)的模擬結果

圖3.1 P(n)和Q(n)的模擬結果(左圖)與P*(n)和Q*(n)的模擬結果(右圖)

圖3.1左邊為P(n)和Q(n)的模擬結果，顯然P(n)趨向于0，當n充分大時，P(n)和Q(n)吻合情況很好；右邊為P*(n)和Q*(n)的模擬結果，P*(n)同樣趨向于0，當n充分大時，P*(n)和Q*(n)吻合情況也很好.