一類奇異攝動對流擴散方程組的自適應網格方法的收斂性分析

包小兵，方虹淋，劉利斌

(1.池州學院大數據與人工智能學院，安徽 池州247000; 2.重慶工程學院通識學院，重慶400900; 3.南寧師范大學數學與統計學院，廣西 南寧530023)

1.引言

本文考慮如下弱耦合的奇異攝動對流擴散方程組：

其中0 ＜ε ?1是攝動參數，u(x)=(u1(x)，u2(x))T，函數aii(x)，bij(x)和fj(x)，i，j =1，2，為足夠光滑的函數.假設存在常數α，α*，η，使得

基于假設條件(1.2)-(1.3)，問題(1.1)存在唯一解，且當ε →0時，在x = 0點存在寬度為O(ε|ln ε|)的邊界層.[1]

眾所周知，奇異攝動問題來源于工程和應用數學的許多分支，例如流體力學、熱傳導、半導體和化學反應等.[2]一般而言，這類問題所對應的微分方程的高階導數項包含小的攝動參數，從而導致很難求出其精確解，尤其是非線性的問題.因此，研究這類問題的有效的數值方法顯得非常重要.

一直以來，單個奇異攝動對流擴散方程的數值方法備受許多學者的關注.[3]近年來，奇異攝動對流擴散方程組的層適應網格方法逐漸引起了學者們的興趣.CEN在文[1]中考慮了問題(1.1)的Shishkin網格方法，并證明了數值方法是幾乎一階一致收斂的.Roos和Reibiger[4]考慮了具有單個攝動參數ε 的奇異攝動對流擴散方程組，證明線性有限元方法在Shishkin網格上是幾乎二階收斂的.作者在文[5]中討論了奇異攝動對流擴散方程組(1.1)的有限差分格式，并在Shishkin網格上證明了數值方法是幾乎一階收斂的.針對奇異攝動對流擴散方程組，LIN?[6]在任意網格上構造了一個迎風有限差分格式，并分別在Shishkin網格和Bakhvalov網格上證明了數值方法的收斂階是O(N-1ln N)和O(N-1) ，其中N表示網格區間的個數.O’Riordan和Stynes[7]討論了一類強耦合的奇異攝動對流擴散方程組有限差分方法，并在Shishkin網格上給出了數值方法的收斂性.Kumar等[8]討論了一類奇異攝動對流擴散方程組的Shishkin網格方法，并給出了相應的收斂性分析.

在奇異攝動問題的層適應網格方法受到廣泛關注的同時，奇異攝動對流擴散方程的自適應網格算法越來越受到許多學者的青睞[9-14].而關于奇異攝動對流擴散方程組的自適應網格算法，可參見德國學者Lin?在2009年發表的文[15].接著，LIU和CHEN在文[16-17]中分別討論了一類弱耦合和強耦合的奇異攝動對流擴散方程組的自適應網格算法，利用多項式插值技術，給出了離散格式的最大范數的后驗誤差估計，并以此構造了一個類似于弧長的網格控制函數及相應的網格生成算法.MAO和LIU[18]針對一般的強耦合的奇異攝動對流擴散方程組，構造了迎風有限差分格式的后驗誤差估計和相應的網格生成算法.值得一提的是文[15-18]所提出的奇異攝動對流擴散方程組的自適應網格算法都是基于后驗誤差估計和網格等分布原理.如文[10]所述，這種算法屬于全離散的自適應網格算法.在文[10，13，19-20]中，基于精確的弧長控制函數和網格等分布原理，作者研究了單個奇異攝動對流擴散方程的半離散的自適應網格算法，并給出了算法的先驗誤差估計和收斂性分析.因此，本文將在此基礎上，系統分析奇異攝動對流擴散方程組(1.1)的自適應網格算法的收斂性.首先，基于標準的迎風差分格式，給出相應的局部截斷誤差.然后，利用包含方程精確解的網格控制函數、網格等分布原理和精確解的穩定性估計，證明了半離散格式的自適應網格算法是一階收斂的.最后的數值試驗進一步驗證了本文的理論結果.

注1.1本文中的C表示與攝動參數ε以及網格參數N無關的正常數，且在不同地方取值不同.對于單個函數v(x)，x ∈= [0，1]，定義最大范數對于向量函數v(x)=(v1(x)，v2(x))T，定義‖v(x)‖=max{‖v1(x)‖，‖v2(x)‖}，‖v(xi)‖=max{|v1(xi)|，|v2(xi)|}，i=0，1··· ，N.另外，為了方便，對于任意函數g(x)，記gi=g(xi).

2.預備知識

在這部分，為了證明問題(1.1)的數值解的誤差估計，我們首先列出極大值原理和問題(1.1)的解的穩定性.

引理2.1(極大值原理)[1]假設v(x) 是一個光滑的函數，如果對于任意的x ∈Ω，滿足不等式v(0)≥0，v(1)≥0以及L1v ≥0，L2v ≥0，則有v(x)≥0成立.

基于引理2.1中的極大值原理，可進一步得到問題(1.1)的解滿足如下穩定性結果:

引理2.2(穩定性)[1]基于假設條件(1.2)-(1.3)，方程組(1.1)的精確解u(x)存在如下穩定性估計:

進一步，由文[1]的引理3和引理4，可得如下引理:

引理2.3方程組(1.1)的精確解u(x)的k(k =1，2)階導數滿足如下估計:

3.離散問題和非均勻網格

為了構造問題(1.1)的離散格式，將區間[0，1]分成N個小區間，即可構造如下的非均勻網格:

其中網格步長hj=xj-xj-1，則在任意非均勻網格N下，問題(1.1)的迎風有限差分格式為:

其中Uj=(U1，j，U2，j)T為u(xj)=(u1(xj)，u2(xj))T的近似值，且差分算子定義如下:

對任意的非均勻網格ΩN，如果存在非負函數M(·，x)，使得

則稱此非均勻網格ΩN是等分布的，且M(·，x)稱為控制函數.進一步，(3.2)可寫為:

一般情況下，對于單個奇異攝動微分方程，最常用的控制函數為弧長函數M(u(x)，x) =其中u(x)是單奇異攝動問題的精確解.最近，LIU和CHEN[16]以及MAO和LIU[18]構造了奇異攝動對流擴散方程組的自適應網格算法，他們構造了如下的控制函數:

本文也將選取~M(u(x)，x) 作為控制函數來構造自適應網格，即由(3.2)可得，

對于任意的ξ ∈(0，1)，構造映射x=x(ξ)∈(0，1)，則有:

因此，網格步長為:

引理3.1對于滿足等分布原理(3.4)的任意一個網格有

證對于任意的x ∈(0，1)，由引理2.3可以得到弧長

即可得到(3.9)式.

進一步，由(3.6)，(3.11)和(3.12)可得

類似地，還可得到:

即完成(3.10)的證明.

4.收斂性分析

顯然，離散格式(3.1)在點xj的局部截斷誤差分別為:

其中u和Uj分別表示方程組(1.1)和離散格式(3.1)的解.

為了給出截斷誤差的具體表達式，我們首先給出下列引理:

引理4.1[18]對于任意的函數ψ(x)∈?3(，有:

引理4.2設差分格式(3.1)在點xi的局部截斷誤差為τi，j，則有:

其中C為與參數ε無關的正常數，0 ＜λ ＜1.

證首先，當i=1時，由泰勒展開可得

對(1.1)的第一個方程求導，并由(4.6)式和引理3.1可得

進一步，由(3.7)和(3.11)，可得

再由引理2.3可得

則顯然有，

與文[10]的引理5.1類似，存在常數C1和C2，使得:

進一步由(4.8)可得

其中0 ＜λ ＜1是與ε，N無關的，并且

顯然，g(y)是區間[0，y*]上的增函數，其中由0 ＜λ ＜1，易知g(y*)≤C，進一步有

類似地，當i=2時，可以得到:

下面為了討論數值解的誤差估計，首先給出網格函數的性質.

引理4.3定義網格函數Sj=(S1，j，S2，j)T滿足

則對于j =1，2，...，N -1，存在一個常數C，使得

證該引理的證明類似于文[19]引理4.4的證明.當i=1時，定義

結合式(3.1)和(4.13)可得到

由于hj+1/?j≤2，則有

當i=2時，同理可證得

下面的引理給出了網格函數Sj的上下界.

引理4.4[19]網格函數滿足

定理4.1令u(x)是方程(1.1)的解，Uj(x)是離散格式(3.1)的解，則

證令ej=(e1，j，e2，j)T=|u(xj)-Uj|為數值解Uj在x=xj(j =0，1，··· ，N)點的絕對誤差，則由截斷誤差τi，j與ei，j的關系可得

進一步，由引理4.2-4.4，有

由于e0=eN=0，再由引理3.1和比較原理(見文[10]的引理5.3)可得

由引理4.3中Sj的定義，有

設攝動參數取值為ε=10-a，其中a是一個正數，選擇λ=1/m0，這里m0=max{4，a}，則

故可以得到‖ej‖≤CN-1，即可完成該定理的證明.

5.數值實驗與結果分析

考慮到(3.3)中的網格控制函數包含方程(1.1)的精確解，在實際計算過程中，我們常常構造近似的網格控制函數來代替(3.3).在這一小節，為了驗證本文關于自適應網格算法的理論結果，我們將采用文[16，17]中的網格迭代算法來生成相應的自適應網格(在這里，網格終止條件C0=1.3)，并考慮如下奇異攝動對流擴散方程組

由于該問題的精確解沒有給出，我們采用如下公式來計算數值解的絕對誤差

當ε=10-2k，k =0，1，··· ，5，N =2j，j =6，7，··· ，12時，表1中列出了自適應網格算法計算得到的數值結果，其中每一個ε所對應的第三行表示網格生成算法的迭代次數.顯然，對于每一個ε，隨著N的逐漸增大，本文自適應網格算法的收斂階逐步達到一階.對于足夠小的ε，網格生成算法的迭代次數也不大，且不隨N的增大而增加.當ε=10-5，N =2j，j =6，7，··· ，12時，表2分別列出了迎風有限差分格式(3.1)在均勻網格、Shishkin網格和自適應網格上的誤差和收斂階，其中Shishkin網格的構造見文[1].從表2的數值結果可以看出，本文的自適應網格方法的收斂階明顯比均勻網格和Shishkin網格的收斂階要高一些，進一步驗證了理論結果.

另外，為了進一步的讓讀者了解自適應網格生成算法的迭代過程，當ε=10-7，N =64時，從下往上看，圖1畫出了每迭代一次，網格的移動過程.同時，圖2給出了問題(5.1)的數值解的變化曲線圖.顯然，由圖1-2可以看出，問題(5.1)的解在x=0點存在邊界層.

表1 本文自適應網格方法計算得到的數值結果

表2 不同網格下的數值結果比較(ε=10－5)

圖1 網格迭代過程(ε=10－7，N =64)

圖2 數值解的曲線圖(ε=10－7，N =64)

6.結論

本文主要從先驗誤差估計的角度，分析了一類奇異攝動對流擴散方程組的自適應網格算法的收斂性.首先，利用迎風有限差分格式，在任意的非均勻網格上對方程組進行了離散，并給出了相應的局部截斷誤差.然后，使用精確解的穩定性估計、網格等分布原理和極大值原理等技術，證明了本文提出的自適應網格算法是一階一致收斂的.值得一提的是本文的分析方法可以進一步推廣到其他奇異攝動微分方程組的自適應網格算法的收斂性分析.