考慮交易費用的均值-VaR 多階段投資組合優化模型

2021-01-09 02:44:18王曉琴高岳林

工程數學學報 2020年6期

關鍵詞：模型

王曉琴, 高岳林,

(1- 寧夏理工學院理學與化學工程學院，石嘴山 753000;2- 北方民族大學數學與信息科學學院，銀川 750021;3- 寧夏智能信息與大數據處理重點實驗室，銀川 750021)

1 引言

現代證券投資組合理論開始于Markowitz 1952 年提出的“均值-方差”模型，為理性投資者在不確定條件下進行資產組合的理論和方法開創了先河，在考慮投資收益的同時考慮風險，闡述了如何利用投資組合，創造更多的可供選擇的投資品種，以達到分散風險獲取最大可能的投資收益.但該理論是以靜態的觀點研究和論述投資組合的理論和方法，不符合實際的具有動態特征的投資組合問題.由于在不同時期，資產的收益率不同以及投資者對風險和收益的偏好會發生改變等因素，投資者會考慮多階段的投資組合策略，在每個階段的開始對資產進行重新分配.Chan 等[1]利用可視化的情景樹構建了資產分配的最優動態平衡投資策略.20 世紀90 年代，風險價值(VaR)被Jorion[2]提出，其本質就是概率分布中的分位數，因簡單實用被廣泛采納.閆偉等[3]研究了帶約束的多階段均值-方差投資組合問題.高岳林和苗世清[4]提出了基于收益和風險控制下的投資組合優化模型.賀月月等[5]研究了基于條件風險價值下的多階段投資組合優化模型.Roorda[6]提出了在二叉樹中的一種序列尾部風險價值的算法.周忠寶等[7]提出了考慮交易成本的多階段投資組合評價方法.Filomena 和Lejeune[8]研究了同時具有固定和比例交易成本以及徐永春[9]研究的非線性交易費用的多階段投資組合優化.Liu 等[10]研究了考慮基數約束和張鵬等[11]研究的考慮最小交易量限制的多階段投資組合選擇模型.考慮到度量的約束性，Krokhmal 等[12]研究了多階段均值-方差投資組合.吳慶洪等[13]對粒子群優化算法及其應用進行了研究.之后，郭文忠等[14]對離散粒子群優化算法又做了進一步的研究.

本文以風險價值(VaR)為約束控制風險，構建了考慮交易成本的均值-VaR 多階段投資組合優化模型，并運用帶有罰函數處理機制的粒子群算法對新建立的多階段投資組合優化模型進行求解，并進行實證分析.本文內容安排如下：第2 節給出模擬路徑；第3 節給出VaR 的定義；第4 節建立考慮交易成本的均值-VaR 多階段投資組合優化模型；第5 節給出實證分析；第6 節給出本文的結論.

2 模擬路徑

為了模擬某一特定市場的隨機性情況，本文采用情景樹描述整個多階段投資周期的不同路徑，見圖1 所示.某一特定情況由市場指數的變化定義，市場指數的變化有兩種情況：市場指數下降(用0 表示)和市場指數上升(用1 表示)[1].

圖1 模擬路徑的情景樹

3 VaR 的定義

目前關于市場風險的度量方法已經有很多種，比如方差、下半方差、絕對偏差、風險價值等等，但以VaR 方法[2]使用最為廣泛，VaR 所測度的是在一定概率的保證下，在一定的投資期內，投資組合在未來潛在的最大可能的損失值.它可以動態的測量不同情況下的不同風險并將它用一個確切的數值表示出來，因此適用性比較廣泛.假設用f(x,y)表示投資組合x 的損失函數，y 表示影響損失的一些不確定性因素，如證券市場的波動性或資產的收益率.在此我們假設p(y)為y 的密度函數，f(x,y)不超過ε 的概率為

與x 對應的損失累積分布函數用φ(x,ε)，VaR 在置信水平α 下的損失值用εα(x)表示，有

ε 所在區間的左端點也包含在εα(x)內，所以φ(x,εα(x)) = α，那么f(x,y) ≥εα(x)的概率為1 ?α.因此φ(x,εα(x))是損失f(x,y)大于等于εα(x)的條件期望.

假定資產的收益率服從正態分布.由VaR 的定義得損失f(x,y)在α(0<α<1)置信水下的VaR 值為

其中R(x)為投資組合的期望收益，σ(x)為R(x)的標準差，φ 為標準正態分布N(0,1)的分布函數，φ?(α)為標準正態分布N(0,1)的α-下側分位數.

4 考慮交易成本的均值-VaR 多階段投資組合模型

假設證券市場上有n 種風險資產和1 種無風險資產，投資者從0 時刻起到T 時刻末，進行為期T (t = 1,2,··· ,T)個階段的投資，并且在每個階段的初始時刻進行資產的重新分配.為此，我們有：

(a) 模型參數

2) πs：表示第s 條路徑發生的概率，即∑sπs=1；

3) W0：表示投資開始時的資產總量；

4) Wst：表示路徑s 下第t 階段結束時所擁有的資產總量；

5) T：投資階段的總數；

(b) 決策變量

在實際的證券交易中，不管是買入還是賣出證券，總存在著交易成本的問題，且交易成本影響著投資的最終收益.因此在模型中忽略交易費用會導致無效的資產組合.

根據投資組合理論，投資者偏好收益而厭惡風險.因此，一般情況下，投資者在最大化終端財富的同時，也希望投資組合的風險能達到最小，因此本文所建立的模型如下

其中i = 1,2,··· ,n+1，當i = 1 時表示現金；s = 1,2,··· ,S 為多階段投資組合的路徑數；t = 1,2,··· ,T 為投資組合的階段數；mit和Mit是資產i 在階段t 的最小和最大投資比例；是一個二元變量，= 1 表示在路徑s 下，資產i 在階段t 進行投資，= 0 表示不投資；γ 表述指投資者對投資風險的偏好程度，γ 值越小，表示投資者對投資風險越敏感.第一個約束條件表示在給定的置信水平α 下，將路徑s 中每個階段的風險價值VaR 都控制在閾值ω 范圍內.第二、三個約束條件表示投資開始時所擁有的資產量.第四個約束條件表示每個階段開始時的總資產.第五個約束條件表示路徑s 下第t 階段的資產量與t ?1 階段的資產量之間的關系.第六、七個約束條件表示現金和其他種類資產在平衡后的凈資產量.第八個約束條件表示每一種資產在同一階段通過同一結點的不同路徑上的投資數量相同.

本文僅考慮γ = 1 的情況，且利用外點半罰函數方法把模型P0 中的不等式約束放到目標函數中構造罰函數，產生一系列含有等式約束和界約束的如下優化問題P1 進行求解，從而得到對原問題P0 的求解

其中i = 1,2,··· ,n+1，當i = 1 時表示現金；s = 1,2,··· ,S 為多階段投資組合的路徑數；t = 1,2,··· ,T 為投資組合的階段數.設置懲罰因子δ 的初值為10，通過迭代δ = δ+i ?10 得到{δt}為正的數列且δt→+∞，把模型P0 轉化為模型P1.其中模型P0 和P1 不是凸優化問題.

5 求解多階段投資組合的粒子群算法

粒子群算法(Particle Swarm Optimization, 簡稱為PSO)，是由Kennedy 等提出的一種新的進化算法.PSO 算法屬于進化算法的一種，和其他的智能優化算法類似，隨機產生一群粒子，通過不斷的更新粒子的速度和位置來找到最優解，通過適應度函數來評價模型的目標函數.該算法因容易實現、求解精度高等的優點引起了許多學者的高度關注.

5.1 需要求解的問題

文中所建立的是一個在給定的風險水平下最大化終端財富的單目標模型，在算法求解過程中，約束條件中的max 是非光滑函數，實際計算時首先需要把原來的可行區域松弛為一個凸區域，使得凸區域包含原來的可行區域，再將非光滑函數在擴展的凸區域內進行線性化處理.把不等式約束采用罰函數法放到目標函數中，等式約束在不同路徑的每個階段都進行求解.在多階段投資組合的求解算法中，各個階段之間的財富傳輸方式就是在第一階段初所擁有的資金分配到幾種不同的資產上，把每條路徑中第一階段末所得財富作為第二階段的初始財富，在第二階段進行重新分配.依次下去，直到第T 階段.

5.2 粒子群算法步驟[14]

步驟1 初始化每條路徑，隨機生成初始粒子的位置和速度.設置最大迭代次數Tmax(Tmax=120).對第一個約束條件和第二個約束條件進行判斷，如果滿足則繼續步驟2，不滿足則重新初始化，因為粒子群算法中初始化粒子的位置對全局最優解的搜索有一定的影響，我們通過這個判斷使得初始化的粒子盡可能的靠近可行解所在的區域；

步驟2 根據構造的罰函數，依次評價粒子的適應度值；

步驟3 根據下面的方法確定當前代的個體最優解Pi(t)及當前代的群體最優解Pg(t)，本文的目標函數為最大化問題，則第i 個粒子的個體極值由下式確定

群體的最好位置由下式確定

步驟4 對第i 個粒子的位置和速度按照以下公式進行更新

其中慣性權重ω 根據如下公式取值ωmax和ωmin分別為ω 的最大值和最小值，一般取值0.9 和0.4，t 為當前迭代次數，tmax為最大迭代次數；

步驟5 若滿足算法所設定的終止條件，就停止迭代并輸出所需求解的最優解；否則進行下一步的迭代.

6 實證分析

表1 和表2 中的數據來自文獻[5]，文中的路徑用0-1 二進制代碼表示，1 表示未來市場發展趨勢表現為上升，0 表示未來市場發展趨勢表現為下降，如101 表示在第一階段市場發展表現為上升趨勢，在第二階段市場發展表現為下降趨勢，而在第三階段市場發展表現為上升趨勢.

表1 從標準普爾100 指數中選取的9 只成分股

表2 每條路徑發生的概率

將表1 中的9 只股票和銀行存款作為投資的對象，將整個投資周期劃分為三個階段，根據市場指數的上升和下降共產生了8 條投資路徑.粒子群算法中的參數分別設置為：種群規模為NP = 100，最大迭代次數Tmax= 120，投資者所能承受的最大風險水平ω = 0.3，置信水平為α = 0.95.投資比例的下界為0，上界為0.4.按照以上參數計算得出各路徑各階段的最優投資策略，如表3 至表11 所示.

從表11 可以看出，隨著置信水平的不斷增大，VaR 和期望收益的值也在不斷的增加，即高風險高收益，符合實際的金融市場.

一般情況下取風險水平ω = 0.5，如文獻[5,8]，為確保投資得到的風險價值ω ≤0.5，又由于外點半罰函數法得到的解可能不滿足風險價值ω ≤0.5，所以取ω′= 0.3 時進行仿真實驗，雖然解不滿足?= φ?(α)?< 0.3，當罰函數無窮大以后?=φ?(α)?的數值結果接近0.3，但滿足φ?(α)?≤0.5.