Ince-Gaussian矢量光場束腰位置對緊聚焦特性影響的研究

何金楓，王吉明*，劉友文，路元剛

(1.南京航空航天大學 理學院 應用物理系，南京 211106;2.南京航空航天大學 航天學院 航天光電信息系, 南京 211106)

引 言

矢量光場是一種近年來受到廣泛關注的新型激光場，其偏振態在橫向傳輸截面上呈局域化非均勻分布。矢量光場的空間光強與偏振具備空域的可調控性，可充分利用各種靈活的調控方式進行調控，豐富了激光的輸出特征，在激光技術領域有著重要應用前景。矢量光場經緊聚焦后的聚焦場具有獨特的矢量化特征，其聚焦特性在多個領域獲得了深入的研究[1-4]，如光學微納捕獲與操控[5-7]、光學微加工[8-9]、光學信息存儲[10-11]以及光學顯微成像技術[12]等領域。

作為近軸波動方程(paraxial wave equation，PWE)在橢圓坐標系下準確正交解的第3類完整解系，Ince-Gaussian(IG)模式是Hermite-Gaussian(HG)和Laguerre-Gaussian(LG)模式之間的連續過渡模式[13]。IG激光模式在2004年由BANDRES等人提出并在實驗上獲得驗證[14-16]。IG模式由于可以轉換成LG模式和HG模式，是一種更具有普遍性的激光模式，有望在微粒操控[17-18]、生物醫學[19]、光學通信[20-21]、量子信息處理等方面獲得有更廣闊的應用。近年來，基于IG模式的標量光場已經進行了較為系統的研究[13]。IG模式的產生主要有兩類方式:一類是被動(腔外)產生方式，包括使用液晶器件和數字微鏡器件(digital micromirror device,DMD)等方式；另一類是主動(腔內)產生方式，主要是通過打破諧振腔的對稱性和控制光的增益和損耗來直接產生。具有復雜空間模結構復雜渦旋和奇點IG模式的生成為量子信息處理提供了有效操控對象。IG模式也在生物細胞激光器領域被發現，證實其是自然存在的一種基本輻射模式[19]。但需要指出的是，作為結構光場重要特性之一的偏振特性，在IG模式模式光場中的研究尚未充分，正開始受到關注。IG模式激光不僅包含奇模和偶模，而且不同橢圓參數的IG模式光強分布也不相同，由IG模式獲得的新型矢量光場在緊聚焦條件下會表現出豐富的光學結構。如最近報道的Ince-Gaussian矢量激光場，在復雜偏振態中發現了嵌入式的擴展奇點網絡結構，其偏振矢量結構被證實具有空間穩定性[22]，可推動基于偏振調制的米氏粒子光學捕獲[23]。因此，本文中通過Richards-Wolf矢量衍射理論，對IG矢量光場在不同入射條件下的緊聚焦特性進行研究，分析了入射光場束腰位置對聚焦特性的影響，證明了緊聚焦條件下透鏡位于一定范圍內時橫向結構依然保持穩定性，同時縱向偏振分量會對聚焦場的光強結構產生重要影響。

1 IG矢量光場的數學描述

在橫截面z定義橢圓坐標：x=f(z)coshξcosη，y=f(z)sinhξsinη，其中f(z)是與z有關的半焦距，ξ∈[0,∞),η∈[0,2π)分別是徑向、角向變量，并且ξ的等值線為共焦的橢圓，η的等值線為共焦的雙曲線。近軸波動方程在橢圓坐標系下可以得到兩組獨立波動方程解，分別為[14, 16]:

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一般地，柱對稱矢量光場可以看成是兩個正交偏振分量的疊加[24]。同樣，兩個具有偶模和奇模IG模式的正交偏振分量的疊加，可以構建具有IG模式的矢量光場，即IGV(Ince-Gaussian vectorial)光場。廣義的IGV光場可以用瓊斯矢量表示為:

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2 IGV光場緊聚焦理論

IGV光束的緊聚焦特性可以通過Richards-Wolf矢量衍射方法來進行數值分析[25-26]。圖1為IGV光束的緊聚焦示意圖。一個高數值孔徑(numerical aperture，NA)的透鏡聚焦入射的IGV光束，該透鏡滿足正弦條件,半徑r=fsinθ(f為焦距)。透鏡光瞳面Pi(xi,yi)處的IGV光束經過聚焦之后，在焦點(xf,yf,zf)附近的光場為:

Fig.1 A schematic diagram of tightly focusing IGV beams

exp{-ik[rsinθcos(φ-φ) +zfcosθ]}dxidyi

(4)

3 IGV光場的緊聚焦特性分析

設入射IGV矢量光場的束腰位置距離透鏡為zi。當入射IGV光場束腰位于聚焦透鏡中心處即zi=0時，IGV矢量光場在聚焦過程中將保持結構的穩定性，這在WANG和ZHAN等人的前期工作中已被證實。但對于IGV光場的束腰位置與聚焦場特性之間的關系，尚未進行相關的研究。根據(1)式和(2)式，本文中研究在px=py及δ=0條件下，通過(4)式Richards-Wolf矢量衍射積分理論，對IGV矢量光場在非束腰位置(zi≠0)情況下的緊聚焦特性進行分析。需要說明的是，x,y分量初始相位差δ≠0時，入射IGV光場會失去局域線偏振特性，出現橢圓或圓偏振的局域化分布特征，聚焦后焦平面上也會失去局域化線偏振特征，但在聚焦過程中的光場結構穩定性與束腰位置變之間的規律與δ=0時是一致的，因此本文中僅通過δ=0的情況來予以分析說明。

圖2a～圖2c中給出了束腰位置zi=0時入射IGV光場、x偏振分量Exi和y偏振分量Eyi光強結構(Ixiyi,Ixi和Iyi)，及IGV光場的偏振分布。圖2d～圖2f以及圖3～圖6中給出的是在焦平面具有局域偏振方向的橫向光強分布(Ixfyf,Izf和If)。比較圖2～圖6中不同束腰位置時對應的焦場光強分布Ixfyf，可以發現：當入射光場束腰位置zi<0.5zR時，緊聚焦過程中矢量光場的橫向光場始終保持了穩定性，橫向場的光強分布(Ixfyf)和偏振結構基本與入射光場一致，橫向光場分布區域變化不大，但軸向光場(Izf)的聚焦質量會逐漸變差，逐漸出現光暈,如圖4所示。當入射光場束腰位置zi>0.5zR時，其聚焦場的橫向結構矢量特性出現變化，開始出現明顯的局域性橢圓偏振，但大體上還是呈現線偏振分布。在入射束腰位置變化到zi=zR時，與入射場相比，聚焦場中的橫向場(Ixfyf)的偏振結構和光強分布都發生了明顯的畸變。

Fig.2 The incident IGV field EIGV (e441,o423) and the corresponding tightly focusing field when the beam waist position zi=0 (dNA=0.95,δ=0)

Fig.3 The corresponding tightly focusing field of the incident IGV light field EIGV (e441,o423) when the beam waist position zi=0.3zR (dNA=0.95,δ=0)

Fig.4 The corresponding tightly focusing field of the incident IGV light field EIGV (e441,o423) when the beam waist position zi=0.5zR (dNA=0.95,δ=0)

Fig.5 The corresponding tightly focusing field of the incident IGV light field EIGV (e441,o423) when the beam waist position zi=0.7zR (dNA=0.95,δ=0)

Fig.6 The corresponding tightly focusing field of the incident IGV light field EIGV (e441, o423) when the beam waist position zi=zR (dNA=0.95,δ=0)

以zi=zR為例，通過聚焦前后光場的相位分布特征的變化，來分析聚焦場橫向結構產生局域橢圓偏振的原因。圖7和圖8中分別給出了入射光場束腰位置zi為0和zR時，聚焦場中橫向光場和軸向偏振分量的相位分布圖。zi=0時，聚焦橫向光場的偏振分布為線偏振的原因，是由于聚焦場x,y分量在疊加位置的相位差為0或±π，這一點可以從圖7中聚焦場x偏振分量、y偏振分量Exf和Eyf的相位分布圖得出。而zi=zR時，由圖8中Exf，Eyf可以看到,在焦場x,y兩分量疊加位置處會出現相位差為π/4等這類情況，所以在這些位置會出現橢圓偏振。圖6中，淺灰色橢圓表示左旋方向，深灰色橢圓表示右旋方向。其中，可以看到,聚焦場橫截面的局域橢圓偏振態的旋向關于對稱軸是相反的。這是因為焦場x分量的相位分布關于坐標軸對稱，而y分量相位分布關于坐標軸相反，所以導致垂直疊加后的橢圓偏振旋向相反。

Fig.7 The phase distribution of the polarization components of the focusing field corresponding to EIGV (e441,o423) at the incident waist position zi=0

Fig.8 The phase distribution of the polarization components of the focusing field corresponding to EIGV (e441, o423) at the incident waist position zi=zR

在緊聚焦的條件下，縱向場Izf非常重要，會影響整個聚焦場的分布。從圖2～圖6中的聚焦場光強分布可以發現，縱向場(Izf)隨著入射位置zi的增大，其光強圖案的變化也越大，特別是在zi>0.5zR時它的光強結構變化得愈發明顯。由圖8可以看出，在zi=zR時，縱向場的相位分布不再是每個相鄰的區域是相反且呈現±π/2的階躍式分布(zi=0時)，而是在[-π,π]之間每個區域呈現類環帶分布?？v向場結構會對焦點附近的總場圖案產生影響。由圖2～圖6中的焦平面總的強度分布If可以看到，由于縱向場光強圖案隨著zi增大而發生的變化越來越突出，焦場總的光強圖案If的變化也越來越明顯，特別是在zi>0.5zR時這種現象尤其明顯。在zi=zR時，聚焦縱向場分量幾乎控制了整個總焦場的光強圖案，如圖6所示，整個焦場的總光強圖案發生了明顯的畸變。

以上以階數p=4為例進行了IGV光場束腰位置對緊聚焦特性影響的研究。對于其它各階數和級數的IGV光場，不同參量只會影響光場的復雜程度，但束腰位置改變對聚焦特性的影響規律都是一樣的。

4 結 論

綜上所述，本文中根據矢量光場的衍射積分理論，研究了一種新型的IG矢量光場的聚焦特性，對入射矢量場的束腰位置變化時，IGV光束經過高數值孔徑透鏡的緊聚焦特性進行了研究。研究結果顯示，在緊聚焦條件下，當px=py時，束腰位置在一定范圍內的入射光場(zi<0.5zR)，其IGV橫向聚焦場的矢量模式依然保持穩定性。但若束腰位置超過了一定范圍(zi>0.5zR)，聚焦橫向光場的結構不再保持穩定性。同時，軸向聚焦光場聚焦特性也會隨之變化。這項研究工作的結果，將有助于深入理解復雜結構光場的聚焦特性，推進新型矢量光場在微納尺度的應用基礎研究，在多粒子捕獲與操控、多自由度信息存儲等研究領域提供有用的研究參考價值。