二維抽樣定理的Matlab仿真驗證

摘要：給出一個二維帶限函數，依據抽樣定理設計合適的抽樣間隔，在頻域進行濾波，再通過傅里葉逆變換復原原函數，驗證了二維抽樣定理的正確性，也可靈活改變參數，驗證欠采樣和頻譜混疊等現象，有助于深入理解抽樣定理。

關鍵詞：帶限函數，抽樣間隔，抽樣定理

1引言

在工程實際中，為了對信號有效傳輸和處理，往往要將連續信號進行采樣離散化，以便計算機分析處理。“抽樣”即對時間連續的信號按一定時間間隔抽取一個瞬時值，實現連續信號的離散化，僅從數學上描述顯得有些抽象。因此，本文利用Matlab作為分析工具，通過其作圖功能對原始信號，抽樣后信號、信號頻譜，復原信號等分別繪制，以便更直觀的理解抽樣定理的內涵及信號恢復的實現過程。

2抽樣定理

Nyquist-Shannon抽樣定理建立了模擬和數字信號之間的密切關聯。該定理指出，對于能量有限的帶限信號，要在數據接收端實現信號的無失真恢復，采樣頻率 必須不小于信號帶寬 的兩倍，即 。這里要求原始信號必須是帶限信號，這樣對其進行抽樣后，在頻域上對應的抽樣信號頻譜為原帶限信號頻譜的周期延拓，通過低通濾波就可以保留其中一個周期信號，也就保留了信號的頻域特征。通過該定理的使用，可以將模擬信號轉換為數字信號，對其進行恰當的處理后，再把處理后的數字信號轉換為原來的模擬信號。

3仿真驗證

為了驗證抽樣定理，我們考慮二維帶限函數 ，在矩形格點上進行抽樣，則抽樣函數定義為：

其中comb為梳狀函數，由δ函數陣給出，X，Y是δ在x方向和y方向上的間隔。

由（1）式可得 的頻譜表示為：

其中u，v為頻域坐標，分別對應于空域x，y坐標。符號 為卷積，F表示傅里葉變換。

假設函數 是帶限函數，如圖1所示，其頻譜 只在頻率空間 的有限區域R上不為零。該函數被抽樣后，抽樣函數的頻譜不為零的區域根據（2）式，可由在頻率平面的每一個 點的周圍劃出R區域得到。如果X和Y足夠小，則1/X和1/Y的間隔就會足夠大，以保證相鄰區域不重疊。 的頻譜如圖2所示。

由抽樣定理，令 和 分別表示完全圍住區域R的最小矩形沿u和v方向上的寬度，則當 ， 時，可保證頻譜區域分開而不混疊，原函數可恢復。

以下仿真中，我們將選擇一個帶限函數 進行適當采樣間隔的抽樣，在頻域觀察抽樣函數的頻譜 ，并選擇濾波器對頻譜完成濾波和傅里葉逆變換，從而復原出原信號 ，以驗證抽樣定理。

仿真利用matlab編寫m文件實現，使用peaks函數生成一個二維帶限函數作為這里的 ，其數學表達式形式記為： ? ，該函數的空域顯示如圖3，其頻譜3D效果如圖4，為了更好的觀察原連續函數的帶寬，對圖4的3D頻譜可以畫出沿u，v方向的兩條中心剖線，圖5給出沿u方向的中心剖線。

沿u方向中心剖線

根據 的兩條中心剖線可以看出，所選帶限函數的沿u，v方向帶寬都小于64個像素，由于圖像大小為256*256，根據抽樣定理和圖5知，重構原函數的條件是抽樣間隔至少滿足Y=256/64=4個像素，因此這里可選擇X=Y=4。仿真得到原函數被抽樣后的3D效果的頻譜分布如圖6所示。

因此，由圖6可知，如果在頻域中用寬度為 和 的位于原點的矩形函數作為濾波函數 ，則可直接得到原函數的頻譜，逆傅里葉變換后即得到基本沒有失真的原帶限函數。故選擇頻域中寬度為64*64的位于原點的矩形函數作為濾波函數。 經過濾波后再逆變換，得到如圖7所示的復原函數。可見，以上仿真以抽樣定理為依據，通過選擇合適的抽樣間隔和濾波函數，實現了原函數的復原，驗證了二維抽樣定理。

4結論

本文對“抽樣“和“抽樣間隔”進行了理論描述，對抽樣信號的頻譜進行了基本的推導和分析。利用Matlab編寫m文件，選擇一個二維帶限函數，分析其帶寬，選擇了合適的二維梳狀抽樣函數間隔，對原函數進行二維點陣抽樣，得到函數的頻譜，之后對頻域的頻譜進行濾波后，使用傅里葉逆變換得到原函數的正確復原函數。仿真過程模擬了對函數進行抽樣和濾波的過程，驗證了抽樣定理應用于二維帶限函數的正確性，有助于更好的理解抽樣定理的內涵及外延。同時程序中可以靈活改變原函數和抽樣間隔等參數，很容易進一步分析欠采樣和混頻現象。

參考文獻

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作者簡介

吳云飛（1980—），女，重慶人，碩士，講師，研究方向為計算機應用技術、電氣工程及其自動化。