矩形薄板受橫向均布載荷作用彈性小撓度解*

王 霂，王洪波

（海軍士官學校 六系，安徽 蚌埠 233012）

矩形薄板在橫向均布載荷作用下的彈性小撓度動力響應是工程中經常遇到的問題。無論是高空建筑中外立面承受風載問題[1-7]，還是艦艇受海浪沖擊問題[8-10]，都可以抽象為這一問題。經過一百多年的發展，學界對矩形薄板在橫向均布載荷作用下的彈性小撓度動力響應已非常充分。本文在前人研究的基礎上，總結梳理了推導矩形薄板在橫向均布載荷作用下彈性小撓度動力響應的三種方法，并對三種方法進行了對比。

1 問題的力學抽象

對于不同邊界條件的矩形薄板，都可以用四邊簡支矩形薄板的解疊加邊界的彎矩來得到理論解。因此，本文主要考慮四邊簡支矩形薄板受橫向均布載荷作用下的彈性小撓度動力響應。對工程實際的力學抽象如圖1所示，考慮一塊四邊簡支，初始靜止，幾何尺度為a×b×h，彈性常數為E、v的矩形薄板，受到垂直于其特征面的橫向均布載荷沖擊，這一均布載荷可以是時變的，即可表示為Pd（t）的形式。問題的研究對象是該矩形薄板在此橫向沖擊作用下的撓度隨空間、時間變化的函數。

2 求解動力學響應的理論分析

2.1 強迫振動法

強迫振動法是求解該問題動力學響應應用最為普遍的方法。Navier最早提出了該方法[11]，其基本思想是將板的位移響應設為雙正弦級數形式，在預先滿足板的邊界條件的基礎上，通過調整各項系數，使預設的位移響應函數靠近真實響應。

圖1 問題的力學抽象

彈性小撓度薄板的控制方程為：

簡支邊界條件下，Navier解為：

將橫向載荷按Navier解的形式展開，得到：

其中，每項系數可以表示為：

考慮到Navier解各項之間的正交性，可以得到：

該方程的解為：

其中，前兩項是通解，最后一項為特解。

由初位移和初速度為零的初始條件，有：

對于m、n不全為奇數的情況，方程化為齊次，由（2.1.8），該方程只有零解。

對于m、n全為奇數的情況，可先求出特解，再根據特解求出通解系數從而定解。值得指出的是，如果均布載荷隨時間的變化函數性態不好，這一特解不一定有顯式表達。對于常見的倒三角型線性衰減時變載荷，不難求出：

其中，p0為初始載荷，td為載荷衰減到零的時刻。

代入初始條件（2.1.8）式，可以解出前兩項系數為：

由（2.1.2）、（2.1.7）、（2.1.9）、（2.1.10）即可以得到板內任意一點在沖擊過程中任意時刻的撓度。

對沖擊結束后的振動，為（2.1.6）的齊次方程，即：

由連續性條件，可以得到其初始條件為：

與沖擊過程相同，解是否能顯式表達高度依賴于均布載荷的時變函數，對前述的倒三角衰減問題，其解為：

由（2.1.2）、（2.1.11）、（2.1.13），可以得到沖擊結束后板內任一點任意時刻的撓度信息。

2.2 能量法

能量法的基本思想非常簡單，忽略動力學過程中的各種力學參數的復雜變化，只考慮動力學過程中能量的轉化。

簡支薄板受到橫向沖擊時，沖擊所做外力功全部轉化為板的動能和應變能：

其中，W為應變能密度函數，可以由撓度給出，其關系為：

仍然考慮 Navier形式的解，將（2.1.2）代入（2.2.2），將結果再代入（2.2.1）式，并計算空間上的積分，得到：

（2.2.3）兩邊對時間求導，并考慮各項分別相等，得到：

（2.2.4）和（2.1.6）是完全相同的。

同樣，如果考慮沖擊結束后，板的動能和應變能相互轉化，通過類似的計算可以得到：

（2.2.5）實際上是（2.1.6）的齊次方程。

能量法與強迫振動得到的定解方程和初始條件完全相同，最終的解也應該完全相同。

2.3 瞬態振動解疊加法

瞬態振動解疊加法的求解思路是將沖擊視為一系列瞬態載荷的疊加，通過卷積計算激勵響應。

對初始條件為 w（0）和 w′（0）的薄板，其彈性小撓度無阻尼自由振動的解為：

將（2.3.2）按 Navier解形式展開，并代入（2.3.1），得到：

定義響應函數，使其滿足：

則可得到響應函數：

將沖擊看作一系列瞬態載荷的疊加，可以通過卷積計算激勵響應：

由前述的倒三角型線性衰減的均布載荷，可以得到：

這一結果和前兩種方法得到的是一致的。

3 對三種計算方法的討論

三種計算方法都可以準確得到矩形薄板受橫向均布時變載荷作用下的彈性小撓度動力響應。

強迫振動法從薄板的小撓度控制方程出發，逐步求解微分方程，求解思路相當直接，便于理解和掌握，因此在實際工作中應用十分廣泛。

能量法則不去計算板內各復雜的力學變量，僅從能量的角度出發，更加便捷地得到了和強迫振動法相同的微分方程。和強迫振動法相比，能量法的思路更加巧妙，數學計算要求偏低一些，但對力學的理解要求更高。

但是，無論是強迫振動法還是能量法，其微分方程的求解高度依賴于時變載荷的積分特性，很難給出微分方程特解的顯式解析表達式，進而在后續求解過程中帶來較大難度。

瞬態振動解疊加法通過卷積計算激勵響應，巧妙地避開了時變載荷積分特性不好帶來的數學上的麻煩。即使載荷時變函數較為復雜，也可以表示成形如（2.3.6）的卷積形式，數值上進行積分計算也較為簡便。因此，雖然理解該方法難度更高，但在實際工程應用中該方法具有比較明顯的優勢。