矩形薄板受橫向均布載荷作用彈性小撓度解*

王 霂，王洪波

（海軍士官學(xué)校 六系，安徽 蚌埠 233012）

矩形薄板在橫向均布載荷作用下的彈性小撓度動(dòng)力響應(yīng)是工程中經(jīng)常遇到的問題。無論是高空建筑中外立面承受風(fēng)載問題[1-7]，還是艦艇受海浪沖擊問題[8-10]，都可以抽象為這一問題。經(jīng)過一百多年的發(fā)展，學(xué)界對(duì)矩形薄板在橫向均布載荷作用下的彈性小撓度動(dòng)力響應(yīng)已非常充分。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，總結(jié)梳理了推導(dǎo)矩形薄板在橫向均布載荷作用下彈性小撓度動(dòng)力響應(yīng)的三種方法，并對(duì)三種方法進(jìn)行了對(duì)比。

1 問題的力學(xué)抽象

對(duì)于不同邊界條件的矩形薄板，都可以用四邊簡支矩形薄板的解疊加邊界的彎矩來得到理論解。因此，本文主要考慮四邊簡支矩形薄板受橫向均布載荷作用下的彈性小撓度動(dòng)力響應(yīng)。對(duì)工程實(shí)際的力學(xué)抽象如圖1所示，考慮一塊四邊簡支，初始靜止，幾何尺度為a×b×h，彈性常數(shù)為E、v的矩形薄板，受到垂直于其特征面的橫向均布載荷沖擊，這一均布載荷可以是時(shí)變的，即可表示為Pd（t）的形式。問題的研究對(duì)象是該矩形薄板在此橫向沖擊作用下的撓度隨空間、時(shí)間變化的函數(shù)。

2 求解動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的理論分析

2.1 強(qiáng)迫振動(dòng)法

強(qiáng)迫振動(dòng)法是求解該問題動(dòng)力學(xué)響應(yīng)應(yīng)用最為普遍的方法。Navier最早提出了該方法[11]，其基本思想是將板的位移響應(yīng)設(shè)為雙正弦級(jí)數(shù)形式，在預(yù)先滿足板的邊界條件的基礎(chǔ)上，通過調(diào)整各項(xiàng)系數(shù)，使預(yù)設(shè)的位移響應(yīng)函數(shù)靠近真實(shí)響應(yīng)。

圖1 問題的力學(xué)抽象

彈性小撓度薄板的控制方程為：

簡支邊界條件下，Navier解為：

將橫向載荷按Navier解的形式展開，得到：

其中，每項(xiàng)系數(shù)可以表示為：

考慮到Navier解各項(xiàng)之間的正交性，可以得到：

該方程的解為：

其中，前兩項(xiàng)是通解，最后一項(xiàng)為特解。

由初位移和初速度為零的初始條件，有：

對(duì)于m、n不全為奇數(shù)的情況，方程化為齊次，由（2.1.8），該方程只有零解。

對(duì)于m、n全為奇數(shù)的情況，可先求出特解，再根據(jù)特解求出通解系數(shù)從而定解。值得指出的是，如果均布載荷隨時(shí)間的變化函數(shù)性態(tài)不好，這一特解不一定有顯式表達(dá)。對(duì)于常見的倒三角型線性衰減時(shí)變載荷，不難求出：

其中，p0為初始載荷，td為載荷衰減到零的時(shí)刻。

代入初始條件（2.1.8）式，可以解出前兩項(xiàng)系數(shù)為：

由（2.1.2）、（2.1.7）、（2.1.9）、（2.1.10）即可以得到板內(nèi)任意一點(diǎn)在沖擊過程中任意時(shí)刻的撓度。

對(duì)沖擊結(jié)束后的振動(dòng)，為（2.1.6）的齊次方程，即：

由連續(xù)性條件，可以得到其初始條件為：

與沖擊過程相同，解是否能顯式表達(dá)高度依賴于均布載荷的時(shí)變函數(shù)，對(duì)前述的倒三角衰減問題，其解為：

由（2.1.2）、（2.1.11）、（2.1.13），可以得到?jīng)_擊結(jié)束后板內(nèi)任一點(diǎn)任意時(shí)刻的撓度信息。

2.2 能量法

能量法的基本思想非常簡單，忽略動(dòng)力學(xué)過程中的各種力學(xué)參數(shù)的復(fù)雜變化，只考慮動(dòng)力學(xué)過程中能量的轉(zhuǎn)化。

簡支薄板受到橫向沖擊時(shí)，沖擊所做外力功全部轉(zhuǎn)化為板的動(dòng)能和應(yīng)變能：

其中，W為應(yīng)變能密度函數(shù)，可以由撓度給出，其關(guān)系為：

仍然考慮 Navier形式的解，將（2.1.2）代入（2.2.2），將結(jié)果再代入（2.2.1）式，并計(jì)算空間上的積分，得到：

（2.2.3）兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并考慮各項(xiàng)分別相等，得到：

（2.2.4）和（2.1.6）是完全相同的。

同樣，如果考慮沖擊結(jié)束后，板的動(dòng)能和應(yīng)變能相互轉(zhuǎn)化，通過類似的計(jì)算可以得到：

（2.2.5）實(shí)際上是（2.1.6）的齊次方程。

能量法與強(qiáng)迫振動(dòng)得到的定解方程和初始條件完全相同，最終的解也應(yīng)該完全相同。

2.3 瞬態(tài)振動(dòng)解疊加法

瞬態(tài)振動(dòng)解疊加法的求解思路是將沖擊視為一系列瞬態(tài)載荷的疊加，通過卷積計(jì)算激勵(lì)響應(yīng)。

對(duì)初始條件為 w（0）和 w′（0）的薄板，其彈性小撓度無阻尼自由振動(dòng)的解為：

將（2.3.2）按 Navier解形式展開，并代入（2.3.1），得到：

定義響應(yīng)函數(shù)，使其滿足：

則可得到響應(yīng)函數(shù)：

將沖擊看作一系列瞬態(tài)載荷的疊加，可以通過卷積計(jì)算激勵(lì)響應(yīng)：

由前述的倒三角型線性衰減的均布載荷，可以得到：

這一結(jié)果和前兩種方法得到的是一致的。

3 對(duì)三種計(jì)算方法的討論

三種計(jì)算方法都可以準(zhǔn)確得到矩形薄板受橫向均布時(shí)變載荷作用下的彈性小撓度動(dòng)力響應(yīng)。

強(qiáng)迫振動(dòng)法從薄板的小撓度控制方程出發(fā)，逐步求解微分方程，求解思路相當(dāng)直接，便于理解和掌握，因此在實(shí)際工作中應(yīng)用十分廣泛。

能量法則不去計(jì)算板內(nèi)各復(fù)雜的力學(xué)變量，僅從能量的角度出發(fā)，更加便捷地得到了和強(qiáng)迫振動(dòng)法相同的微分方程。和強(qiáng)迫振動(dòng)法相比，能量法的思路更加巧妙，數(shù)學(xué)計(jì)算要求偏低一些，但對(duì)力學(xué)的理解要求更高。

但是，無論是強(qiáng)迫振動(dòng)法還是能量法，其微分方程的求解高度依賴于時(shí)變載荷的積分特性，很難給出微分方程特解的顯式解析表達(dá)式，進(jìn)而在后續(xù)求解過程中帶來較大難度。

瞬態(tài)振動(dòng)解疊加法通過卷積計(jì)算激勵(lì)響應(yīng)，巧妙地避開了時(shí)變載荷積分特性不好帶來的數(shù)學(xué)上的麻煩。即使載荷時(shí)變函數(shù)較為復(fù)雜，也可以表示成形如（2.3.6）的卷積形式，數(shù)值上進(jìn)行積分計(jì)算也較為簡便。因此，雖然理解該方法難度更高，但在實(shí)際工程應(yīng)用中該方法具有比較明顯的優(yōu)勢。