恐懼因子對帶有避難所的時滯捕食―食餌模型動力學的影響

吳春妮 楊春梅 黃 嬡 楊文慧 田巧玉

西北民族大學 甘肅 蘭州 730124

引言

捕食-食餌模型是種群動力學模型中一類重要的模型，如文獻[1，2]。帶有時滯的捕食-食餌模型的穩(wěn)定性、漸近性和周期性以及各種分支現象的研究已經成為生物數學中具有重要意義的研究課題之一，文獻[3，4，5]有充分的體現。因此，研究時滯對捕食-食餌模型動力學性質的影響具有極其重要的現實意義[3]。

1 簡介

本文綜合考慮恐懼因子、避難所對時滯捕食-食餌模型動力學的影響，建立如下模型:

x(t)和y(t)表示獵物和捕食者的種群密度函數。r:獵物x的增長率，μ:捕食者y的增長率，a:獵物x的個體間的競爭強度，b:半飽和常數，c:y導致的x的最大人均減少值。m∈(0，1)是一個常數主要衡量避難所的可用性。d是捕食者獨立存在時的死亡率，t是捕食者在生命歷程所花費的時間，h為時滯。

參考文獻[12][13]恐懼因子

參數k為驅動獵物反捕食者行為的恐懼程度。

通過對捕食者的恐懼發(fā)現會對種群增長率(PGR)產生影響，在這里我們對PGR進行如下定義:

證明了該建模方法的合理性，存在恐懼程度k對種群增長率的影響即隨著恐懼程度k的增大，PGR降低，這說明恐懼因子的存在能夠使PGR顯著地降低。

2 穩(wěn)定性分析

A.不含恐懼因子時的穩(wěn)定性

·當k=0時，需要考慮h的存在。首先我們證明了模型(1)平衡點的存在性

·若(a)或(b)成立，則E1*局部漸近穩(wěn)定

1.若μ≥r；

2.若μ＞r，滿足以下條件之一:

所以b*＜b*，

B.含恐懼因子時的穩(wěn)定性

經過分析可得到模型(1)的穩(wěn)定性:

(1)對于?h≥0時，則模型(1)的E*(x*，y*)是漸近穩(wěn)定的；

(2)h∈[0，h10)時，則模型(1)的E*(x*，y*)是漸近穩(wěn)定的，若滿足h＞h10，則E*(x*，y*)是不穩(wěn)定的，當h=h10，ω=ω10時模型(1)在E*(x*，y*)處產生Hopf分支。

3 Hopf分支

通過證明可得到模型(1)在k=k±處E*附近發(fā)生Hopf分支。從而經過計算可得到如下結論:

(a)若0＜m＜m*，模型(1)不存在正平衡。

(b)若m*＜m＜m-，E*1穩(wěn)定；當k＜k*時，E*穩(wěn)定；而若k＞k*，則沒有正平衡。

(c)若m-＜m＜m*，

[1]、E*1是不穩(wěn)定的；[2]、k＜k+時，E*不穩(wěn)定；而若k+＜k＜k*，

E*是穩(wěn)定的；[3]、模型(1)在k=k+處發(fā)生Hopf分支。

(d)若m+＜m＜1，

[1]、E*1是穩(wěn)定的；[2]、當m+＜m＜mc，當k＜k-或k+＜k＜k*時，E*穩(wěn)定；當k-＜k＜k+時，E*不穩(wěn)定；[3]、模型(1)在k=k±處發(fā)生 Hopf分支；[4]、如果 mc＜m＜1，k＜k*，E*保持穩(wěn)定。