Levin變換應用于歐拉常數數列及連分式數列改進算法的加速收斂

姚清照， 賀黎明

(華東理工大學 >理學院，上海200237)

1 引 言

歐拉常數γ是在數學及物理領域十分重要的常數，應用也很廣泛[1]，如計算黎曼ζ函數[2]、Somos二次遞歸常數[3]，以及Ising鏈模型中的關聯長度[4]等等.對歐拉常數的計算十分重要，然而要得到高精度的近似值，僅僅對歐拉常數的原始定義

進行直接計算是比較困難的，這就需要有更高效的理論方法.有許多針對原定義數列Dn表達式進行修正實現加速收斂的工作[5-7].Lu等人[7]使用了連分式修正(modification)的方法提高收斂速度，并給出明確的余項表達式.本文在此修正數列的基礎上，首次采用通用Levin變換的方法進行二次加速收斂修正歐拉常數數列，數值計算表明由此可以得到更為高效、精確的計算結果.

2 Lu等人的連分式修正[7]

用來定義歐拉常數的數列Dn收斂緩慢，收斂速度和n-1相當.Lu等人在Dn基礎上提出一種運用連分式修正原定義后更快收斂到歐拉常數的數列

(1)

其中p,q是正整數.可以證明，如果取p=1時有

3 非線性數列變換[8]

非線性數列變換T是一種將已知部分和數列集合{[sm]}，變換成一個有望更快收斂到原數列極限s的新數列集合{[s′m]}的運算規則

T∶{[sm]}→{[s′m]}，

其中sm表示原數列的1到m項之和，m是非負整數.在實際計算中，只考慮對有限個元素構成的序列

{sl,sl+1,…,sNm}

進行變換.

Weniger對常用的加速收斂非線性數列變換方法做了很好的歸納和總結.在眾多算法中，尤以Levin變換具有收斂速度快，計算效率高的突出優點.Levin變換假設數列部分和集合{[sm]}與它們的極限s滿足關系式

(2)

其中ωm是余項估計，β為偏移常數.將上式移項化簡并用k階線性的差分算符Δk消去關于m的k-1階多項式，經過整理就可以得到通用Levin變換

(3)

再用Sidi[9]的方法能得到簡潔且適用于計算的通用Levin變換3項遞推公式：

(4)

本文采用Weniger的建議只考慮取β=1.

余項估計值對于Levin變換是至關重要的.基于不同的余項模型的Levin變換稱之為u變換、v變換等.對于有明確余項表達式的部分和序列，可采用(2)式的模型表達式，由此得到的變換式稱通用Levin變換.此余項表達式的近似程度越好，Levin變換的收斂速度越快，這是Levin變換的顯著優點.反之，Levin變換就不能很好地收斂，這同時也是它的顯著弱點.

4 計算結果及討論

Dn的余項大致為n-1，所以歐拉常數的直接計算是非常困難的.Lu等人[7]給出了改進的歐拉常數的系列表達式.(1)式中p越大，連分式的形式越復雜，其余項越小，收斂越快.如取p=3，可有

其余項為n-8，顯然比Dn收斂快得多.

表1 連分式修正前后數列收斂的數值結果比較

表2 通用Levin變換對連分式修正前后數列加速收斂的數值結果比較

為了更細致地研究這個問題，利用計算機代數系統Maple把這里的所有結果重復進行了計算，結果列于表3右側.使用Maple的所有計算結果都采用有理分式的形式，所以就完全克服了舍入誤差的影響.與Fortran采用有限字長的浮點計算結果形成鮮明對比的是，由Maple得到的Levin變換結果的精度呈現出不斷增加的趨勢.

表3 通用Levin變換對加速收斂的Fortran和Maple計算結果比較

5 結 論

歐拉常數是一個具有重要應用價值的數學常數，有針對歐拉常數的專門算法研究，但是近幾十年一直沒有很好的進展.本文在已有的歐拉常數修正算法基礎上再利用更具廣泛性的非線性變換算法進行二次加速，極大的提高了計算效率.此外針對舍入誤差對非線性變換的負面影響，可以利用Maple的有理式計算功能予以克服.通過與Fortran的浮點運算結果比較，克服了舍入誤差的Levin變換可以使歐拉常數的計算精度不斷增長的趨勢保持不變.

致謝本文工作的主要結果是建立在Lu等人的對歐拉常數數列Dn連分式修正基礎之上，有關非線性變換的算法主要參閱了Weniger的綜述文章.在這里向這些作者一并表示感謝.