基于CEV過程帶交易費的脆弱期權定價的數值算法

王 越， 周圣武

(中國礦業大學 >數學學院，江蘇 >徐州221000)

1 引 言

脆弱期權是指在場外市場(OTC)交易的帶有信用風險的期權. 由于場外市場沒有特定的監管機構，從而導致期權多頭方遭受違約風險的可能性顯著增大，因此對脆弱期權進行合理的價值評估既具有現實意義也具有理論意義.

Johnson和Stulz[1]首次提出脆弱期權概念，他們在Merton[2]公司債券定價模型的基礎上，引入了違約風險. 在后續的研究中，學者們多采用結構化模型[3-4]和簡約化模型[5-6]處理脆弱期權的定價問題，得到了一系列理論成果. 王磊等[7]采用PDE方法對隨機波動率下的脆弱期權定價問題進行建模，得到了脆弱期權的價值所滿足的偏微分方程模型. 袁國軍等[8]利用無套利原理和半離散差分方法，給出了CEV過程下脆弱期權定價模型的數值解法. 楊佳會[9]采用Hull-White隨機波動率模型研究了帶有交易費用的脆弱期權定價問題，并給出了數值算法.

CEV模型是指常方差彈性方程模型，最早由Cox和Ross提出用來刻畫波動率的“微笑”特征[10].基于CEV模型的美式期權[11]、亞式期權[12]、多資產期權[13]、回望期權[14]、交換期權[15]和兩值期權[16]等金融衍生產品定價問題的研究已經取得了一些有意義的結果. 杜淼蓉[17]采用有限元算法給出了CEV過程下帶交易費的期權定價數值解法. 郭宗懷等[18]針對CEV模型下支付紅利的美式看跌期權的定價問題，推導了CEV模型遵循的變分方程，得到了相應的顯式差分格式，并驗證了其算法的有效性. 曹桂蘭等[19]應用跳過程的伊藤公式和Feller引理得到了風險中性測度下基于CEV跳擴散過程的歐式看漲期權的定價公式.

本文研究基于CEV模型且支付交易費用的脆弱期權定價問題，通過構造無風險投資組合建立CEV模型下支付交易費用的脆弱期權定價模型，然后應用有限差分方法將定價模型離散化，給出數值算法，最后通過數值試驗分析對手方資產價值、距離到期日的時間、執行價格、交易費率、彈性因子、波動率彈性、公司負債和相關系數對脆弱看跌期權價值的影響.

2 基于CEV過程帶有交易費用的脆弱期權定價模型

2.1 模型假設

假設脆弱期權的標的資產價格St服從CEV過程，對手方資產價值Vt服從幾何Brown運動，即St與Vt分別滿足隨機微分方程

(1)

(2)

本文還用到以下基本假設：

(i) 無風險利率r為常數；

(ii) 在期權有效期內標的資產無紅利支付和稅收；

(iii) 市場不存在無風險套利機會且允許賣空；

(iv) 當違約事件發生時，期權空頭方資產的回收率為(1-w)VT/D，其中w表示由于空頭破產所帶來的花費占其資產的百分比，公司負債D為常數；

(v) 存在交易費用，買賣標的資產需要支付一定數量的交易費k|vt|S，其中vt是資產交易份額，當vt<0時表示賣出，當vt>0時表示買入，k>0是每單位資產應支付的交易費，即交易費率.

2.2 模型建立

定理1基于CEV模型帶有交易費用的脆弱期權價值Ft=F(St，Vt，t)滿足微分方程

(3)

證考慮投資組合Π：

Πt=Ft-Δ1St-Δ2Vt，

(4)

其中Δ1是標的資產數量，Δ2是對手方資產數量. 在[t，t+δt]時間段內，投資組合Π價值的變化量為

δΠt=δFt-Δ1δSt-Δ2δVt-k|vt|St，

其中vt表示資產交易份額，無論資產是買入還是賣出，都按照固定比例k支付交易費用.

由式(1)與(2)可得

(5)

(6)

由δΠt=δFt-Δ1δSt-Δ2δVt-k|vt|St，可得

(7)

這里

由式(7)可得投資組合Π價值變化的數學期望

(8)

根據無套利原理，有E(δΠt)=rΠtδt， 得到CEV模型下帶有交易費用的脆弱期權價值滿足

(9)

整理可得

(10)

證畢.

推論1執行價格為K，到期日為T，基于CEV模型帶有交易費用的歐式脆弱看漲期權的價值滿足

(11)

推論2執行價格為K，到期日為T，基于CEV模型帶有交易費用的歐式脆弱看跌期權的價值滿足

(12)

3 基于CEV過程帶有交易費用的脆弱看跌期權定價的差分格式

在基于CEV模型帶有交易費用的歐式脆弱看跌期權的定價模型式(12)中，做變量變換

則式(12)中的偏微分方程變換成如下形式

(13)

其中

脆弱看跌期權在T時刻的價值為

計算區域為

H={(x1，x2，τ)|xmin≤xi≤xmax， 0≤τ≤T，i=1，2}，

其中

x1min=ln(Smin/K)，x1max=ln(Smax/K)，

x2min=ln(Vmin/K)，x2max=ln(Vmax/K)，

xmin=min{x1min，x2min}，xmax=max{x1max，x2max}，

Smin=min{St|0

Vmin=min{Vt|0

下面使用差分格式將方程(13)離散化，首先將區域Ω=[xmin，xmax]×[xmin，xmax]×[0，T]進行剖分：將時間區間[0，T]劃分成M個長度為l=T/M的小區間

[0，l]，[l，2l]，…，[(M-1)l，T]，

以h=(xmax-xmin)/N為步長將[xmin，xmax]劃分成N個小區間

[xmin，xmin+h]，[xmin+h，xmin+2h]，…，[xmin+(N-1)h，xmax].

空間格點可表示為(x1i1，x2i2，τm)，其中

xjij=xmin+(ij-1)h，τm=(m-1)l，j=1，2，1≤ij≤N+1，1≤m≤M+1.

將上述差分格式代入式(13)，可得

(14)

這里

邊界條件為

具體算法如下：

4 數值試驗

考慮一只歐式脆弱看跌期權，假設各參數取值如下：

V0=100000，K=100，D=10000，T=1，r=0.04，ρ=0.5，σS=σV=0.2，w=0.4，k=0.02，α=0.6.

應用上節數值算法進行數值試驗，分析交易對手方資產價值V、距離到期日的時間τ、執行價格K、交易費率k、波動率彈性σS、彈性因子α、公司負債D和相關系數ρ對期權價值的影響.

圖1給出了標的資產價格、交易對手方公司資產價值與脆弱看跌期權價值的共同變化關系. 從圖中可以看出，期權價值隨著標的資產價格的增大而減小，隨著交易對手方公司資產價值的增大而增大. 從金融意義上看，當對手方公司資產價值增加時，其違約的可能性減小，因此脆弱期權的價值增大，這一數值結果符合實際交易市場的規律.

圖2給出了標的資產價格、距離到期日的時間與脆弱看跌期權價值的共同變化關系. 從圖中可以看出，期權價值隨著標的資產價格的增大而減小，隨著距離到期日時間的增大而增大.

圖3給出了標的資產價格、執行價格與脆弱看跌期權價值的共同變化關系. 從圖中可以看出，期權價值隨著標的資產價格的增大而減小，隨著執行價格的增大而增大.

圖4給出了當交易費率k分別為0，0.02，0.04時，標的資產價格和脆弱看跌期權價值之間的關系. 結果表明，交易費用的存在增加了投資成本，當交易費率增大時，期權價值將減小.

圖3 標的資產價格和執行價格對脆弱看跌期權 圖4 交易費率對脆弱看跌期權價值的影響價值的影響

圖5 彈性因子對脆弱看跌期權價值的影響圖6 波動率彈性對脆弱看跌期權價值的影響

圖5給出了彈性因子α對脆弱看跌期權價值的影響. 結果表明，CEV過程下有交易費用的脆弱看跌期權的價值比標準期權(當α=1時)價值低.

圖6給出了當波動率彈性σs分別為0.2，0.4，0.6時，標的資產價格和脆弱看跌期權價值之間的關系.結果表明，當彈性因子確定時，波動率彈性越大，標的資產的波動率就越大，期權價值就越大.

圖7 公司負債對脆弱看跌期權價值的影響圖8 相關系數對脆弱看跌期權價值的影響

圖7給出了當公司負債D分別為1.0×105，2.0×105，3.0×105時，標的資產價格和脆弱看跌期權價值之間的關系. 結果表明，隨著公司負債的增大，實際金融市場發生違約的可能性增大，因此期權價值隨之減小.

圖8給出了當相關系數ρ分別為-0.5，0，0.5時，標的資產價格和脆弱看跌期權價值之間的關系.結果表明，當固定標的資產價格時，期權價值隨著相關系數的增大而增大.

5 結 論

本文通過構造無風險投資組合研究了基于CEV過程帶有交易費的脆弱期權定價問題. 應用有限差分方法給出定價模型的數值算法，并以看跌期權為例進行數值模擬. 試驗結果表明：期權價值與交易對手方資產價值、距離到期日的時間、執行價格、波動率彈性、相關系數成正相關關系，與交易費率、公司負債成負相關關系. 特別地，當彈性因子α=1時，得到標準模型下帶有交易費的脆弱期權定價模型.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.