示性函數在初等概率論中的應用

歐陽順湘

(哈爾濱工業大學(深圳) >理學院，廣東 >深圳518055)

1 引 言

設A為集合Ω的子集，則A的示性函數1A定義為

在實分析、測度論、高等概率論等課程中，示性函數處處可見，是構造簡單函數,逼近一般可測函數的基石.雖然學生在學習高等數學初期就會了解的著名的Dirichlet函數就是有理數集的示性函數，但遺憾的是，在教學中，特別是在初等概率論教學中，示性函數的作用沒有得到應有的充分重視.有的教材對示性函數僅作簡單應用[5]，有的教材則對示性函數避而不談[2].有些作者已經注意到示性函數在初等概率論中的一些應用[1,4,7,8].本文通過多個方面的例子對示性函數在初等概率教學中的應用作進一步說明，著重于它在幫助學生理解某些重要概念，幫助教師精簡加深部分教學內容方面的作用.

2 例 子

2.1 事件之間的關系與運算

示性函數的一些基本性質如下.

定理1設事件A,B為集合Ω的子集，則

(i) 1?=0，1Ω=1；

(ii)A=B當且僅當1A=1B；

(iii)A?B當且僅當1A≤1B，也等價于1A1B=1A；

(iv)A,B互斥當且僅當1A1B=0；

(v)A,B互為對立事件當且僅當1A+1B=1；

(vi) 1A∩B=1A1B=min{1A,1B}；

(vii) 1A∪B=1A+1B-1A1B=max{1A,1B}；

(viii) 1A-B=1A(1-1B).特別，如果B?A，則1A-B=1A-1B.

易見，借助于示性函數，事件(集合)之間的布爾代數運算被轉換為示性函數之間的算術運算.實際教學中，事件的關系與運算往往由集合的關系與運算引入.作為補充，可以應用示性函數來加深學生對事件的關系與運算的理解.下面列舉的例子可啟發學生領會示性函數之妙.

例1設A,B為集合Ω的子集.

(ii)A,B的對稱差定義為AΔB∶=(A∪B)-(A∩B)，則1AΔB=(1A-1B)2.事實上，

1AΔB=1A∪B-1A∩B=(1A+1B-1A1B)-1A1B=(1A-1B)2.

利用示性函數可以研究事件之間更多的關系與運算.例如，利用對稱差的示性函數表示證明AΔB=(A-B)∪(B-A)，并證明對稱差滿足結合律、交換律等.更多習題，讀者可以參考相關文獻[6].

2.2 隨機變量的表示及其期望

設F是樣本空間Ω上的σ代數，(Ω,F)上隨機變量X定義為Ω上的函數，且對任意x∈，X-1((-∞,x])={ω∈Ω∶X(ω)≤x}∈F. 隨機變量是概率論中的基本概念，實際上也是教學中的難點.一些初等概率論教材為降低難度，對可測性條件不作介紹[5]. 建議教師向學生簡單介紹Ω上的σ代數以及隨機變量的確切定義，這樣概率論中其他重要概念，如事件，作為F上以事件為自變量的函數的概率，以及分布函數等概念才能恰當自然地定義.

為介紹隨機變量而不加重學生負擔，最簡單而重要的例子是示性函數.易得如下結論.

定理2設(Ω,F,P)為一概率空間，A?Ω. 則示性函數1A為隨機變量當且僅當A∈F，即A是事件. 此時，E(1A)=P(A).

引入示性函數表示隨機變量，有利于隨機變量的表示，也有利于期望的計算.例如，多重伯努利試驗中總的成功次數可表示為各個試驗中成功次數之和，因而可以寫為示性函數之和.這樣的表示有利于總成功次數的期望與方差的計算，還有利于更好地理解為何伯努利大數定律、棣莫弗-拉普拉斯定理分別為切比雪夫大數定律、林德伯格-萊維中心極限定理的特殊情形.又如，在教學中，離散型隨機變量期望的線性性往往放在介紹多維隨機變量、聯合分布等概念之后.實際上，可以利用示性函數來證明這個性質，避免聯合分布等概念以提前介紹離散型隨機變量的期望及其線性性這兩個重要概念.

下例來自[5].用示性函數改寫其中的證明，更易理解.

例2設r人在共n層的某樓的底層進入電梯，每一乘客在任一層下電梯的概率相同. 如果某層沒有乘客下電梯，電梯不停. 求乘客都下完電梯時電梯停車的次數X的數學期望.

下例是經典結論.本質上，其證明思想與常見的對事件的概率進行運算的證明方法相同.它展示了示性函數是如何輔助計算的.

2.3 事件的概率的計算

等式E(1A)=P(A)揭示了期望與概率的密切聯系(事實上，可以通過約定期望應滿足的公理將概率論公理化[6])，而示性函數在其中起橋梁作用.由此，概率的性質、計算可利用示性函數的期望來計算.

下例中用示性函數證明三個事件的并的概率的加法公式.該方法可以推廣到有限個甚至可數個事件的并的概率的計算公式.

例4設A,B,C為任意事件，求P(A∪B∪C).

解根據示性函數的性質，有

=1-(1-1A)(1-1B)(1-1C)=1A+1B+1C-1A1B-1B1C-1A1C+1A1B1C

=1A+1B+1C-1A∩B-1B∩C-1A∩C+1A∩B∩C.

從而有

P(A∪B∪C)=E(1A∪B∪C)=E(1A+1B+1C-1A∩B-1B∩C-1A∩C+1A∩B∩C)

=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∪B)-P(B∪C)-P(A∪C)+P(A∪B∪C).

下面的問題來自來自教材[5]中習題1的第22題.

例5設A,B,C為任意事件，求證P(A∩B)+P(A∩C)-P(B∩C)≤P(A).

證P(A∩B)+P(A∩C)-P(B∩C)

對上述兩例中的問題，一般做法是對事件進行較為繁瑣的分割. 使用示性函數計算較為簡潔，另有新意.

2.4 分布函數的表示與計算

離散型隨機變量的分布函數可以用示性函數表示、計算.

例6獨立投擲兩枚均勻骰子所得點數分別為X,Y.求最大點數M=max{X,Y}的分布列.

解顯然，X,Y獨立同分布，它們的分布函數同為

所以，M的分布函數為

FM(z)=P(X≤z,Y≤z)=F(z)2

從FM(z)可得M的分布列為

該問題是初等概率論中的經典例題，易通過枚舉法用古典概率計算(參[2,例2.1.3]).之所以用另外的方法計算，是因為極值分布有一般抽象計算公式[5].該公式是概率論教學中一個較難的知識點.用示性函數應用一般公式進行計算，不很復雜，且計算結果可與用古典概率得到的結果相印證.這樣可以使學生更直觀地理解極值分布的一般計算方法.

2.5 表示分布密度

許多分布密度函數是分段函數，可以很自然地用示性函數表示.形式上的表示可給計算和理解帶來很多好處.如可利用示性函數來研究獨立隨機變量之和的概率密度函數的計算[4].我們舉兩個別有趣味的例子.

例7設Ω為平面上的一個可測區域，μ(Ω)>0，其中μ為平面上的面積度量.服從Ω上的均勻分布的隨機變量的概率密度函數可以表示為1Ω/μ(Ω).對平面上任何可測區域A，其幾何概率為

均勻分布、幾何概率是初等概率論中的重要內容.上述計算可以使學生更清楚地看到幾何概率的本質是均勻分布.

例8設總體X服從區間[0,θ]上的均勻分布，其中θ>0為參數. 設x1,x2,…,xn>0為樣本.求θ的最大似然估計值.

解設x(n)=max{x1,x2,x3,…,xn}. 隨機變量X的概率密度函數為

因此，參數θ的最大似然函數L為

可見L在θ=x(n)處取到最大值.所以，θ的最大似然估計值為x(n).

上例中的問題是最大似然估計理論教學中的基本問題，貌似簡單，卻是難點.一般教材在處理該問題的論述中常使用語言描述而使學生較為困惑.利用示性函數，將思維過程轉換為形式推理，可使學生更容易理解.

2.6 混合矩計算公式，Hoeffding公式及其他

本小節內容都源于如下例子.

例9設X,Y為非負隨機變量，則有如下混合矩計算公式

(1)

為簡潔起見，在上面的計算中，對一般的隨機變量進行統一處理.在初等概率論中，可以分別對離散型、連續型隨機變量進行證明.

在(1)中取Y=1可得用尾概率計算隨機變量期望的公式

(2)

綜合利用(1)和(2)可得計算協方差的Hoeffding公式

(3)

等式(1),(2),(3)是較為熟知的結論[7].下面強調它們的教學價值.

如果非負隨機變量X,Y有隨機序，即對任意x∈，FX(x)≥FY(x)，則從(2)可直接得EX≤EY.許多解析不等式可以從這個觀測得到[3].學生可以從中領略概率方法在分析中的應用.從(3)可以清楚地見到獨立性與不相關之間的聯系與區別：兩個(非負)隨機變量獨立蘊含它們不相關，反之不然.根據熟知的程序，從(2)出發，還可以得到馬爾科夫不等式和切比雪夫不等式.

由此可見，從利用示性函數證明混合矩計算公式開始，初等概率論中許多重要內容和概念，可如寶珠一樣一線串連.

3 結 論

通過上述各方面的例子可見，示性函數可用于初等概率論中各個主要方面. 它可用于研究事件的關系與運算，表示隨機變量及其分布，計算復雜事件的概率、隨機變量的期望和分布函數，證明與期望相關的重要不等式等.示性函數可用于幫助學生理解隨機變量、均勻分布等重要概念，還自然地出現在如與伯努利分布相關的數字特征的計算，大數定律與中心極限定理等重要內容中.因此，在初等概率論的教學及教材編著中，示性函數值得系統引入并加以重視.

致謝作者感謝審稿人的有益建議以及哈爾濱工業大學(深圳)本科生熊天晨同學使作者注意到例5的提問.