關(guān)于一道研究生入學(xué)考試線性代數(shù)題的探討

柳順義， 張 萌， 劉 佳

(長安大學(xué) >理學(xué)院，西安710064)

1 引 言

關(guān)于一些數(shù)學(xué)題目的探討是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要組成部分，參看文獻(xiàn)[1-4]. 本文對2020年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)(一)的第21題做了探究，此題表述如下：

設(shè)A為2階矩陣，P=(α,Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量.

(i) 證明P為可逆矩陣；

(ii) 若A2α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判斷A是否相似于對角矩陣.

(ii) 由已知，有

AP=A(α,Aα)=(Aα,A2α)=(Aα,-Aα+6α)

(1)

由(i)知P為可逆矩陣，對式(1)兩邊左乘P-1，可得

(2)

學(xué)生對該題的解答情況一般，主要問題出現(xiàn)在第(ii)問. 參考上面的解題過程，本題一般計(jì)算A的特征值的方法是在計(jì)算出P-1AP后利用相似矩陣有相同的特征值再來確定A的特征值. 有些學(xué)生并沒有正確計(jì)算出P-1AP，而在計(jì)算A的特征值時(shí)，直接由已知條件A2α+Aα-6α=0形式地寫出表達(dá)式λ2+λ-6，然后直接得出2,-3為A的特征值的結(jié)論. 如果只看結(jié)果，2,-3的確為A的特征值，但這是一個(gè)恰好吻合的個(gè)例，還是一般的結(jié)論，是值得進(jìn)一步探討的問題. 也就是說，在α是非零向量且不是A的特征向量的條件之下，能否由A2α+Aα-6α=0直接得到λ2+λ-6為A的特征多項(xiàng)式的結(jié)論？

針對上述疑問，本文考慮了如下更一般的問題：

問題1設(shè)A是一個(gè)n階方陣，f(x)是一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式，α是非零向量且不是A的特征向量. 若f(A)α=0，A的特征多項(xiàng)式是否恰為f(x)？

2 對問題1的回答

在本節(jié)對問題1給出回答，分n=2和n≥3兩種情形來進(jìn)行討論.

2.1 n=2的情形

引理1[5]設(shè)A是一個(gè)n階方陣，f(x),g(x)是兩個(gè)關(guān)于x的多項(xiàng)式，則

f(A)g(A)=g(A)f(A).

定理1設(shè)A是2階復(fù)方陣，f(x)是復(fù)數(shù)域上的一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1的二次多項(xiàng)式，α是二維非零復(fù)向量且不是A的特征向量. 若f(A)α=0，則矩陣A的特征多項(xiàng)式fA(λ)=|λE-A|恰為f(λ)，這里E表示單位矩陣.

證由代數(shù)基本定理[6]，f(x)在復(fù)數(shù)域上有兩個(gè)根，記為λ1，λ2，所以f(x)=(x-λ1)(x-λ2). 由f(A)α=0，則

(A-λ1E)(A-λ2E)α=0.

(3)

注意到α≠0，所以齊次線性方程組(A-λ1E)(A-λ2E)x=0有非零解，從而系數(shù)行列式

|(A-λ1E)(A-λ2E)|=0，

進(jìn)而有|A-λ1E|=0或者|A-λ2E|=0.

若|A-λ1E|=0，則λ1為矩陣A的一個(gè)特征值. 此時(shí)|A-λ2E|一定等于0. 否則，若|A-λ2E|≠0，即矩陣A-λ2E可逆，由式(3)及引理1，可得

(A-λ2E)(A-λ1E)α=0，

對上式兩邊左乘(A-λ2E)-1，可得(A-λ1E)α=0，此即Aα=λ1α，這與α不是A的特征向量相矛盾. 故|A-λ2E|=0，這表明λ2也為矩陣A的一個(gè)特征值.

同理可證，當(dāng)|A-λ2E|=0時(shí)一定也有|A-λ1E|=0. 由此可見，λ1，λ2為2階方陣A的兩個(gè)特征值. 從而A的特征多項(xiàng)式為

fA(λ)=|λE-A|=(λ-λ1)(λ-λ2)=f(λ).

由定理1，看到當(dāng)n=2時(shí)對問題1的回答是肯定的.

2.2 n≥3的情形

容易看到，問題1等價(jià)于多項(xiàng)式f(x)的n個(gè)根是否恰好為方陣A的n個(gè)特征值. 由定理1，當(dāng)n=2時(shí)，二次多項(xiàng)式f(x)的兩個(gè)根恰好為2階方陣A的兩個(gè)特征值. 但當(dāng)n≥3時(shí)，只能保證f(x)至少有兩個(gè)根為A的特征值.

命題1設(shè)A是n階復(fù)方陣，f(x)是復(fù)數(shù)域上的一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式，α是n維非零復(fù)向量且不是A的特征向量. 若f(A)α=0，則f(x)至少有兩個(gè)根為A的特征值(重根按重?cái)?shù)計(jì)算).

證由代數(shù)基本定理，f(x)在復(fù)數(shù)域上有n個(gè)根，記為λ1，λ2,…,λn，所以

f(x)=(x-λ1)(x-λ2)…(x-λn).

由f(A)α=0，則

(A-λ1E)(A-λ2E)…(A-λnE)α=0.

(4)

注意到α≠0，所以齊次線性方程組(A-λ1E)(A-λ2E)…(A-λnE)x=0有非零解，從而

|(A-λ1E)(A-λ2E)…(A-λnE)|=0，

進(jìn)而存在某個(gè)i(1≤i≤n)，使得|A-λiE|=0. 由引理1，可不妨假設(shè)|A-λ1E|=0，即λ1為矩陣A的一個(gè)特征值.

下面證明當(dāng)|A-λ1E|=0時(shí)至少還存在某個(gè)j(2≤j≤n)，使得|A-λjE|=0. 用反證法. 若對?k，k=2,3,…,n，都有|A-λkE|≠0，即矩陣A-λkE(2≤k≤n)可逆，則由式(4)及引理1，可得

(A-λ2E)…(A-λnE)(A-λ1E)α=0，

對上式兩邊左乘(A-λnE)-1…(A-λ2E)-1，利用矩陣乘法結(jié)合律可得(A-λ1E)α=0，此即Aα=λ1α，這與α不是A的特征向量相矛盾.

由此可見，λ1和λj為矩陣A的兩個(gè)特征值.

由命題1，證明了f(x)至少有兩個(gè)根為A的特征值，至于f(x)的其他根是不是A的特征值將不能確定. 實(shí)際上，當(dāng)n≥3時(shí)，在一般情況下對問題1的回答是否定的. 特別地，對于每個(gè)自然數(shù)n≥3，可以給出問題1不一定成立的例子.

分析 首先，顯然α=(1,0,0,…,0)T是非零向量；其次

Aα=(1,2,2,…,2)T≠kα(?k)，

因此α不是A的特征向量；再次，容易驗(yàn)證(A-(2n-1)E)(A+E)=O，所以

f(A)α=(A-(2n-1)E)(A+E)An-2α=0.

由此可見，該例滿足問題1的所有條件. 下面考查問題1的結(jié)論是否成立，即f(λ)是否為A的特征多項(xiàng)式.

經(jīng)簡單計(jì)算，矩陣A的特征多項(xiàng)式為

顯然fA(λ)與f(λ)=(λ-2n+1)(λ+1)λn-2并不相等. 此例表明當(dāng)n≥3時(shí)對問題1的回答是否定的.

注 對問題1的回答是否定的，并不是說問題1在任何時(shí)候都不成立. 例如，將例1中的f(x)替換成多項(xiàng)式g(x)=(x-2n+1)(x+1)n-1，其他仍取例1中的矩陣A和向量α，可以驗(yàn)證此時(shí)問題1的所有條件都滿足，并且A的特征多項(xiàng)式fA(λ)恰好等于g(λ).

3 結(jié) 論

本文從2020年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)(一)的一道線性代數(shù)題的普遍解法入手，考慮了一個(gè)更為一般的關(guān)于矩陣特征多項(xiàng)式的問題(見問題1). 經(jīng)分析討論，得到結(jié)論，當(dāng)n=2時(shí)對問題1的回答是肯定的；當(dāng)n≥3時(shí)，對問題1的回答是否定的，并給出了反例.

致謝作者感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.