線性參數變化系統魯棒峰值—峰值濾波

梁艷

摘 要：文章探討了隨參數變化的線性參數變化（Linear Parameter-Varying）系統的魯棒峰值—峰值濾波問題，這類系統的狀態空間矩陣是實時可測且在閉集上變化的時變參數的仿射函數。針對給定的LPV系統，建立使濾波誤差系統漸近穩定且具有峰值—峰值性能的約束條件。通過引入附加矩陣以及應用投影引理，消除了參數依賴Lyapunov函數矩陣和系統矩陣之間的乘積項，推導出此系統解耦的魯棒峰值—峰值性能準則。在此基礎上，筆者根據參數線性矩陣不等式技術設計該系統魯棒峰值—峰值濾波器，利用近似基函數和網格方法將濾波器的設計，轉化為有限維的參數線性矩陣不等式凸優化求解問題。最后，用數值仿真驗證所提出方法的可行性。

關鍵詞：線性參數變化系統;魯棒濾波;峰值—峰值性能;參數依賴Lyapunov函數

中圖分類號：TP273 文獻標識碼：A 文章編號：1674-1064（2021）12-00-03

DOI：10.12310/j.issn.1674-1064.2021.12.002

線性參數變化（Linear Parameter-Varying）系統是一類重要的時變系統，能夠描述動態系統中存在的非線性和時變特性。近年來，LPV系統理論隨著增益調度控制技術[1-2]的成熟得到了飛速發展，廣泛應用在工業、通訊、航天等多個領域。對這類LPV系統的研究成為控制領域關注的熱點，而與增益調度控制相對偶的濾波問題是目前研究的棘手問題。濾波是依據可以測量到的輸出信號對系統內部的不可測量的信號進行估計[3-4]，設計滿足一定要求的濾波器具有重要的理論意義。目前，對LPV系統的濾波問題主要集中在魯棒H∞（只要求能量有界）濾波[5]的問題上。而在自然界中，系統經常受到來自外部持續有界擾動作用，比如飛機飛行振動控制系統、海洋結構物承受風力或規則海浪波的正弦干擾力作用等。針對這種情況，即輸入不是能量有界的信號，而是峰值有界的信號，要求輸出信號也不是能量有界的，而是要保證峰值有界。顯然，此時選峰值—峰值性能指標是必要的，研究在更一般意義下的擾動系統的濾波問題，具有重要現實意義。

文章針對線性參數變化系統，研究了魯棒峰值—峰值濾波問題。首先基于參數依賴Lyapunov函數思想，得出濾波誤差系統的峰值—峰值性能判據，應用近似基函數和網格技術，將濾波器的設計轉化為有限維的參數線性矩陣不等式的求解問題。針對峰值有界的外界擾動信號，濾波誤差系統的噪聲抑制水平小于一定值，最后用數值仿真驗證所提出方法的可行性。

1 問題描述

考慮如下的線性參數變化系統（LPV）：

x·（t）=A（ρ（t））x（t）+B（ρ（t））ω（t）

y（t）=C（ρ（t））x（t）+D（ρ（t））ω（t） ? ?（1）

z（t）=G（ρ（t））x（t）

其中，x（t）∈Rn是狀態變量;y（t）∈Rm是測量輸出;z（t）∈Rp是要估計的信號;ω（t）∈Rq是擾動輸入;假定在系統（1）中的矩陣A（·），B（·），C（·），D（·），G（·）為時變參數ρ（t）的函數，參數向量ρ（t）=[ρ1（t），ρ2（t）...ρs（t）]T滿足ρi（t）實時可測，以下用ρ和ρi代表ρ（t）和ρi（t），且ρi（t）∈[ρi，ρi]以及參數變化率τi（t）∈[τi，τi]。

構造如下形式的依賴于參數的濾波器：

x·f （t）=Af （ρ）xf （t）+Bf （ρ）y（t）

zf （t）=Cf （ρ）xf（t） （2）

xf （0）=0

則濾波器誤差系統的狀態方程為：

ξ·（t）=A（ρ）ξ（t）+B（ρ）ω（t）

e（t）=C（ρ）ξ（t） （3）

其中：ξ（t）=[xT（t） xTf（t）]T，e（t）=z（t）-zf（t），且：

，，

（4）

為了求?。?）形式的濾波器，要保證有以下兩個條件成立：

（a）濾波誤差系統（3）漸近穩定;

（b）在零初始條件下，對于所有非零ω∈L∞[0，∞），濾波誤差系統（3）具有給定的峰值—峰值擾動抑制水平γ（即‖Teω‖L1<γ，其中Teω是輸入ω（t）到輸出e（t）映射算子）。定義：

其中：

‖Teω‖L1對應是Teω的最大峰—峰增益。滿足以上兩個條件的濾波器，被稱為魯棒峰值-峰值濾波器。

2 峰值—峰值性能準則

在這一部分中，筆者將建立魯棒峰值—峰值性能準則，以保證濾波誤差系統漸近穩定地具有峰值—峰值性能約束。

定理1：考慮濾波誤差系統（3），給定μ∈R+，對于任意時刻t確定ρ（t），系統漸近穩定且具有峰值—峰值噪聲抑制水平的γ的充分條件是，存在正定對稱矩陣P（ρ）∈Rn×n滿足：

（5）

（6）

證明：針對濾波誤差系統（3）選定參數依賴Lyapunov函數：V（t）=ξT（t）P（ρ）ξ（t）

其中，P（ρ）是實對稱參數正定矩陣，求V（ξt，ρ）的時間導數：

V·（ξt，ρ）=ξT（t）〔AT（ρ）P（ρ）+P（ρ）A（ρ）+P·（ρ）〕ξ（t）+2ξT（t）P（ρ）BT（ρ）ω（t）=ξT（t）〔AT（ρ）P（ρ）+P（ρ）A（ρ）+ΣS （τi? ）〕ξ（t）+2ξT（t）P（ρ）BT（ρ）ω（t） （7）

選取Ψ（t）=[ξT（t） ωT（t）]T，由（7）可得：

V·（ξt，ρ）=ΨT（t）ΔΨ（t）+μwT（t）w（t）

? =ΨT（t）ⅡΨ（t）+μwT（t）w（t）-μV（ξt，ρ）

其中：

Δ=

Ⅱ= AT（ρ）P（ρ）+P（ρ）A（ρ）+μP（ρ）+ΣS? （τi? ） P（ρ）B（ρ） （8）

不等式（8）等價于不等式（5），則保證Ⅱ<0，這樣就可得到：

V·（ξt，ρ）<μwT（t）w（t）-μV（t）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

對于所有Ψ（t）≠0和ω（t）=0，不等式（9）意味V·（t）<0，因此濾波誤差系統（3）是漸近穩定的。

定義?={ξ：V（ξt，ρ）≤1}，對于濾波誤差系統（3）的狀態ξ（t），當滿足‖ω（t）‖L∞≤1和零初始條件（即V（ξt，ρ）|t=0=0）時，下面在以下兩種條件下分別討論（9）式：

（a）對于V·（ξt，ρ）≥0，根據式（14）容易得出V（ξt，ρ）<ωT（t）ω（t）;

（b）對于V·（ξt，ρ）<0，由于V（ξt，ρ）|t=0=0，得出t>0，V（ξt+，ρ）<V（ξt，ρ）。如果在第一個條件下V（ξt，ρ）小于1，那么在第二個條件下，V（ξt，ρ）不會達到1。根據以上討論，得出?是不變集。定義：

f（t）=‖C（ρ）ξ（t）‖22-μξT（t）P（ρ）ξ（t）-（γ-μ）ωT（t）ω（t）

= ξ （t） CT（ρ）C（ρ）-μP（ρ） 0 ξ （t）

= ω（t） 0 -（γ-μ）I ω（t）

根（6）由Schur補引理f（t）<0，進一步得：

‖C（ρ）ξ（t）‖22<γ[μξT（t）P（ρ）ξ（t）+（γ-μ）ωT（t）ω（t）]（10）

由于V（ξt，ρ）≤1意味著ξT（t）P（ρ）ξ（t）<1，對于所有的‖ω（t）‖L∞≤1，根據式（10）得出‖C（ρ）ξ（t）‖22≤γ2ωT（t）ω（t），進一步得到sup‖e（t）‖L∞<γ。定理得證。

注1：當變量μ確定常數時，條件（6）是參數線性矩陣不等式。而式（5）實際為參數ρ（t）的非線性矩陣不等式。另外，根據不等式（5）需要保證：

AT（ρ）P（ρ）+P（ρ）A（ρ）+μP（ρ）+ΣS? （τi? ） <0

則為了保證不等式（5）的正定解存在，α必須位于下面的區間內，即：

0<α<-2max Re（λ（A（ρ））-max Re（τi? ）

因此，峰-峰增益的上確界γ的最小值依賴于μ的選擇，為了獲得更緊的γ界，需要執行μ的一個線性搜索。

式（5）中含有Lyapunov函數矩陣與系統矩陣之間的耦合，為了解決這個問題，通過引進附加矩陣來達到解耦的目的，從而得到下面的定理2。

3 魯棒峰值—峰值濾波器的設計

下面根據解耦之后的峰值—峰值性能準則，提出了一種有效的魯棒濾波器的設計方法。

定理2：考慮LPV系統（1）具有（2）形式的濾波器，給定標量μ，γ∈R+，對于所有的參數變化軌跡，如果存在連續可微的對稱正定矩陣P（ρ）∈Rn×n和一般的矩陣：R∈Rn×n，F∈Rn×n，U∈Rn×n以及AF（ρ）∈Rn×n，BF（ρ）∈Rn×m，CF（ρ）∈Rp×n使得不等式（11）和（12）成立。

-R-RT -F-UT Σ13 Σ14 Σ15 RT UT

* -U-UT Σ23 Σ24 Σ25 FT UT

* * Σ33 Σ34 0 0 0

* * * Σ44 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? <0（11）

* * * * -μI 0 0

* * * * * -P11（ρ） -P12（ρ）

* * * * * * -P22（ρ）

-μP11（ρ） -μP12（ρ） 0 GT（ρ）

* -μP22（ρ） 0 -CTf （ρ）

* * -（γ-μ）I 0

* * * -γI

其中：

Σ13= -P11（ρ）+RTA（ρ）+Bf （ρ）C（ρ） ? Σ23=PT12（ρ）+FTA（ρ）+Bf （ρ）C（ρ）

Σ33= -P11（ρ）+μP11（ρ）+Σsi=1（τi? ） Σ14=P12（ρ）+Af （ρ）

Σ34= -P12（ρ）+μP12（ρ）+Σsi=1（τi? ） Σ24=P22（ρ）+Af （ρ）

Σ44= -P22（ρ）+μP22（ρ）+Σsi=1（τi? ） Σ15=RTB（ρ）+Bf （ρ）D（ρ）

Σ25=FTB（ρ）+Bf （ρ）D（ρ）

若上述的參數線性矩陣不等式（11）和（12）有可行解，則濾波器的參數矩陣可由下式給出：

Af （ρ） Bf （ρ） U -T 0 Af （ρ） Bf （ρ）

Cf （ρ） 0 ? ?* I ? ? Cf （ρ） 0

證明：若存在濾波器矩陣Af （ρ），Bf （ρ），Cf （ρ）以及P（ρ）>0滿足不等式（6）和（11），為不失一般性，首先對定理2中的V和P（ρ）寫成如下的分塊形式：

P（ρ）= P11（ρ） P12（ρ） ，V=V1 V2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（14）

PT12（ρ） P22（ρ） ? ? ? ?V=V3 V4

假設V3和V4可逆，定義矩陣：

J= I ? ?0? ? ? ? （15）

* V -14V3

P（ρ）=J TP（ρ）J= P11（ρ） P12（ρ）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（16）

P（ρ）=J TP（ρ）J= PT12（ρ） P12（ρ）

那么J可逆，用diag{J J I J}和diag{J I I}對（11）和（6）式進行全等變換，這樣得到的參數矩陣不等式為：

-JT（V+VT）J JT（P（ρ）+VTA（ρ））J JTVTB（ρ） JTVTJ

* JT{-P（ρ）+μP（ρ）+Σsi=1 （τi? ）}J 0 ? 0

*? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? * -μI ? ?0

*? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? * ? ? ? ?* -JTP（ρ）J

-α JTP（ρ）J 0 JTCT（ρ）

*? ? ? ? ? ? ? ?-（γ-μ）I 0 <0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（18）

*? ? ? ? ? ? ? ? ?*? ? ? ? ? ? ? -γI

將（4）、（14）和（15）、（16）帶入上面兩式得到：

JTVJ= V1 V2V4-1V3

V3TV4-TV3 ? V3TV4-TV3

JTVTA（ρ）J= ? ? ?V1TA（ρ）+V3TBf （ρ）C（ρ） ? ?V3TAf （ρ）V4-1V3

V3TV4-TV2TA（ρ）+V3TBf （ρ）C（ρ） V3TAf （ρ）V4-1V3

JTVTB（ρ）= ? ? ? V1TB（ρ）+V3TBf （ρ）D（ρ）

V3TV4-TV2TB（ρ）+V3TBf （ρ）D（ρ）

JTCT（ρ）=? ? ? ? ? ? GT（ρ）

-V3TV4-TCfT（ρ）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （19）

定義：Af （ρ） Bf （ρ） = V3T 0 Af （ρ） Bf （ρ） V4-1V3 0

Cf （ρ） 0 0 I Cf （ρ） 0 0 I

R=V1，F=V2V4-1V3，U=V3TV4-TV3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （20）

再將式（19）和（20）帶入（17）和（18），便可得到式（11）和（12）。

濾波器（13）從y（t）到zf（t）的傳遞函數表示為Tzfy=Cf （ρ）（s I-Af （ρ））-1Bf （ρ）

將式（20）中的濾波器參數矩陣代入上式，得到：

Tzfy=Cf （ρ）V3-1V4[s I-V3-TAf （ρ）V3-1V4]-1V3-TBf （ρ）

Tzfy=Cf （ρ）[s I-V3-1V4V3-TAf （ρ）]-1V3-1V4V3-TBf （ρ）

所以Cf （ρ）=Cf （ρ），Af （ρ）=U-TAf （ρ），Bf （ρ）=U-TBf （ρ）。

由此得到，滿足要求的濾波器（2）的參數矩陣可由（13）式得到。

4 數值算例

考慮形如（1）的LPV系統，已知如下參數矩陣：

A（ρ）=? ? 0 2+0.2ρ1（t）? ，B（ρ）=? ? ?0.2ρ1（t）? ? ?，D（ρ）=0.2+0.1ρ1（t）

-3 -4+0.1ρ1（t） 0.1+0.1ρ1（t）

C（ρ）=[0.8+0.2ρ1（t） 0.2-0.1ρ1（t）]，G（ρ）=[-0.2+0.1ρ1（t）

0.3+0.1ρ1（t）]

其中：ρ1（t）=sin（t）和ρ2（t）=|cos（t）|為時變參數，滿足ρ1（t）∈[-1，1]，ρ2（t）∈[-1，1]。根據文獻中的近似基函數和網格技術，將定理2中（11）和（12）中的無限維線性矩陣不等式，轉化為有限維線性矩陣不等式組，選取基函數：

F1（ρ）=1，F2（ρ）=ρ1（t），F3（ρ）=ρ2（t）

于是有：Y（ρ）=Y1+ρ1（t）Y2+ρ2（t）Y3

應用Matlab線性矩陣不等式工具箱，可得L1噪聲抑制水平的γ=0.6328，μ=0.3245，以及可求得峰值—峰值濾波器參數：

Af （ρ）= -0.8563 2.3085 + 1.0503 -0.0734 ρ 1（t）+ 0.7526 -0.2612 ρ 2（t）

Af （ρ）= -2.8083 -3.9954 + 0.1606 ? ?0.0677 ρ 1（t）+? ? 0.2345 -0.0761

Bf（ρ）= 0.6988 + -1.2181 ρ1（t）+ -0.5960 ρ2（t）

Bf（ρ）= -0.3224 ? -0.2966 ρ1（t）+ -0.1585

Cf（ρ）=[0.1987 -0.2904]+[-0.0992 -0.0977]ρ1（t）+[-0.0022 0.0002]ρ2（t）

若取外部的擾動為w（t）=e-2t，濾波誤差系統的狀態如圖1所示，所設計的峰值—峰值濾波器滿足預定的要求。

5 結語

文章研究了線性參數變化系統的魯棒峰值—峰值濾波問題。根據參數Lyapunov穩定性理論、投影引理以及通過引入附加矩陣，消除了系統矩陣和參數依賴Lyapunov函數矩陣之間的耦合，推導出此系統解耦的魯棒峰值—峰值性能準則，進而提出了魯棒峰值—峰值濾波器存在的充分條件。通過近似基函數和網格技術，將濾波器設計中無限維的問題轉化成有限維的凸優化問題。最后，用數值仿真驗證所提出方法的可行性。

參考文獻

[1] Apkarian P.，Gahinet P.A convex characterization of gain-scheduled controllers[J].IEEE Trans Automatic Control，1995，40（5）：853-864.

[2] Apkarian P，Adams R J.Advanced gain-scheduling techniques for uncertain systems[J].IEEE Trans Control System Technology，1998，6（1）：21-32.

[3] Jinhui Zhang，Yuanqing Xia，Peng Shi.Parameter-dependent robust filtering for uncertain discrete-time systems[J].Automatica，2009，45（2）：560-565.

[4] Kwan Ho Lee，Biao Huang.Robust H2 optimal filtering for continuous-time stochastic systems with polytopic parameter uncertainty[J].Automatica，2008，44（10）：2686-2690.

[5] Masayuki Sato.Filter design for LPV systems using quadratically parameter-dependent Lyapunov functions[J].Automatica，2006，42（11）：2017-2023.