離岸型半封閉圓形港灣振蕩解析

段金輝，程建生，楊久林，楚玉川

（陸軍工程大學 野戰工程學院，江蘇 南京 210007）

0 引 言

近年來，為促進油氣開采業、漁業和旅游的發展，保障國防安全，研究人員提出了一系列島礁開發的方案，其中依托島礁建港是島礁開發的主要方案。與在大陸沿岸建港相比，島礁四面環海，地質地貌具有特殊性，氣象水文條件較為復雜，海區內會遭受季風和潮汐的周期性影響、熱帶氣旋的大氣過程[1]和地震海嘯的潛在威脅[2]，同時風波、涌浪在近島礁區域的能量會向低頻遷移形成次重力波[3]，當這些外界動力因素作用于島礁港內水體并與其自振周期一致時，會使港灣內部的水體產生水平方向和垂直方向的周期性振蕩，引發水波共振現象，使得港內的泊穩條件惡化。因此，深入研究島礁港灣的振蕩機制和特征，指導島礁港口的選址和規劃設計，改善港灣內的泊穩條件，是島礁開發過程中需開展的一個重要研究課題[4]。

LAMB[5]給出了圓形封閉港灣共振問題超越方程形式的理論解；LEE[6]在直岸線形式的圓形港灣中引入小口門假定，對10°和60°開口的圓形港灣進行了理論分析，但沒有對離岸型圓形港灣口門外側邊界不同是否會引起港灣內部振動規律發生變化進行分析；中村孝幸等[7]對一個獨立的圓型港灣進行了試驗和數值研究，與CHU等[8]和CHENG等[9]提出的圓弧結構水波繞射理論模型有一定的相似性，給出了一個圓弧形結構的水波繞射的解析解，研究了圓弧結構的水波繞射現象。由于港灣外側邊界差異會引起口門附近波浪的傳播特征不同，與直岸線形式相比，港灣外側少了反射波，多了圓形外壁的繞射波。為深入分析港灣內水體的振蕩機理和認識規律，本文從解析的角度對離岸型半封閉圓形港灣振蕩理論進行研究。

1 數學模型

圖1為離岸型半封閉圓形港灣示意，半徑為a的半封閉圓形港灣固定在水深為h的水中，港灣壁面假定為剛性、薄壁、不可滲透。定義xOy平面位于靜水面，z軸垂直于水平面并通過圓形港灣圓心O；定義港灣開角為α并被x軸反向平分，波浪入射方向與x軸正向沿逆時針方向的夾角為β；假定流體無旋、無黏、不可壓縮；基于勢流理論定義速度勢φ(x,y,z,t)，φ在域內滿足Laplace方程、線性諧波自由表面條件和水底不可透條件，于是有

式(1)中：φ(x,y)為復值速度勢及波面函數；f(z)=cosh(k(z+h))/cosh(kh)；；t為時間；g為重力加速度；ω為角頻率，滿足色散關系ω2=gktanh(kh)，k為波數。

圖1 離岸型半封閉圓形港灣示意

當港灣水深為常數時，上述水波繞射問題轉化為平面二維的Helmholtz方程的邊值問題，有

式(2)中：?2為水平面拉普拉斯算子；引入無量綱自由水面函數ζ(x,y)，記為

式(3)中：η0為入射波幅；η(x,y)為復值波面函數，滿足η=-iωφ/g。將式(3)代入式(2)，可得極坐標系下港灣水波的繞射問題的控制方程為

式(4)中：r和θ分別為極坐標對應位置坐標。

將整個流場區域按港灣半徑a劃分為外部區域Ω1和圓形內部區域Ω2，對于外部區域，將無量綱波面函數分解為入射波與港灣外邊界和口門散射波疊加，即

ζ0以β角入射波表示為

考慮無窮遠散射條件，且滿足式(4)的形式解給定為

對式(6)進行平面分波展開，與式(7)一起代入式(5)，得到

在港灣內部區域，由于原點存在奇性，其形式解記為

在港灣內外壁面邊界和內外區域公共邊界（圖1中的虛擬圓弧線），按速度連續和壓力連續給定匹配條件為

當0≤θ≤2π時，由式(11)得到

在[0,2π]上任意θ滿足式(11)，可得化簡結果為

為利用式(10)和式(11)中的第一個方程，在r=a,[0, 2π]上定義函數G(θ)，有

利用三角函數的正交性條件，可得到

將式(13)和式(14)代入式(16)和式(17)，可得到

利用Wronskian恒等式

式(20)和式(21)可簡化為

令整數n和q均截斷于適當整數N，分別求解式(23)和式(24)組成的線性方程組，可得到未知系數Cn和Dn，分別回代到式(13)和式(14)中，可求得系數An和Bn，整個波場的無量綱波面可按式(8)和式(9)求得，而當波浪正向入射β=0°時，易得到Bn和Dn均恒為0的結論，上述定解問題可大為簡化，只需通過式(23)和式(13)求得未知系數An和Cn，即可實現問題求解。

將上述理論模型推廣到多開口情形，假定圓形港池有M個口門，對應圓心角α1,α2,...,αM，壁面對應圓心角γ1,γ2,...,γM。由此，式(10)和式(11)可轉化為

為利用奇函數對稱區間上積分值為0的特性，定義口門分布對稱于x軸，故由匹配條件變化引起方程變化的式(23)和式(24)可表示為

2 模型驗證

采用2種方式檢驗上述理論推導和計算程序的正確性。當口門開角α=0°時，退化為直立圓柱繞射問題。當口門開角取極限趨近于0°時，在圓形港池的特征波數應趨近于封閉圓形港池的特征波數，由超越方程確定，即

對單口門和多口門情形取極限情形，并規定波浪正向入射角β=0°，圓形港灣半徑a=1.0 m，無量綱波數ka的取值范圍為0～6.0，測試點設置為后壁面中點，單口門和多口門（雙口門）測試案例參數見表1。

表1 單口門和多口門測試案例參數

圖2為上述4種情形下圓形港灣后壁面中點歸一化波幅隨無量綱波數ka的變化曲線，其中：為歸一化無量綱波幅；ka為無量綱波數。為方便比較，給出封閉圓形港灣的前5階無量綱特征波數，以豎向的點線表示。圖2a和圖2c分別對應于單口門和雙口門1°開角情形，可看到其特征峰值對應波數與封閉情形吻合；圖2b和圖2d分別對應單口門和雙口門5°開角情形，可看到該情形下波幅峰值對應特征波數與封閉圓形港池精確解相比出現微小偏差，特征波數均向坐標軸負向出現微量偏移。從物理現象的角度解釋即為，當口門存在且變大時，與封閉區域的振蕩相比，駐波振蕩波節線向口門外側偏移，因而振蕩的特征波長變大，反映在計算結果中即為無量綱特征波數變小。對比圖2a～圖2d可知：當港灣總開口較小時，口門數量差異對港灣特征頻率的影響較小，但對港灣內部波浪分布形態有一定的影響。

圖2 圓形港灣后壁面中點歸一化波幅隨無量綱波數ka的變化曲線

表2為無量綱特征波數ka對比。由圖2和表2可知，開口圓形港灣在比封閉圓形港灣的第一模態特征頻率更低的頻率上沒有波幅峰值出現，故而在圓形港灣小開口情形下，港灣內的振動表現為封閉圓形港灣共振特征，此時港灣不存在Helmholtz振蕩模態。無量綱特征波數逼近封閉圓形港灣特征波數精確解，口門開角較小時差異較小，單口門和雙口門的計算結果均驗證了這一結論。

表2 無量綱特征波數ka對比

中村孝幸等[7]對圓形港灣波浪變形進行了數值與試驗研究，其模型試驗定義港池外徑D=0.5 m，水深h=0.5 m ，港灣壁面厚度d=0.05 m 。為對比驗證本文所述理論模型的有效性，設置相同的計算參數，給出港灣口門開角α為10°、30°和60°時，點P的無量綱波幅變化與文獻[7]的研究結果對比（見圖3），點P位于θ=135°港灣內壁面處，L表示波長。由圖3可知，理論模型關于點P的計算結果在3種情形下與文獻[7]的研究結果總體比較吻合，但與試驗值相比存在一定的差異，特別是在港灣張角α=30°的情形下，但此時文獻[7]的數值計算結果與本文計算結果仍保持一致，說明理論模型能準確計算圓形開口港灣的水波振蕩情況。圖4為60°張角圓形港灣前4階振蕩等值線分布圖，與文獻[7]中的數值計算結果進行了對比（左圖為本文計算結果，右圖為文獻[7]中的數值計算結果）。對比發現，本文所述理論模型計算結果與文獻[7]中的數值計算結果吻合較好，說明本文所述方法是可靠的。

圖3 不同口門張角港灣點P無量綱波幅隨波長的變化對比

圖4 60°張角港灣波幅分布等值線對比（左圖為本文計算結果，右圖為文獻[7]中的數值計算結果）

3 結 語

本文引入圓弧結構水波繞射理論，針對離岸型半封閉圓形港灣內水體的振蕩現象提出了一種解析計算方法，建立了離岸型半封閉圓形港灣振蕩的理論計算模型。將島礁港灣理想化為具有任意大小開口的圓形港灣并假定港灣內外水深均勻，以Helmholtz方程為模型控制方程，采用特征函數分區匹配、展開方法，推導了任意角度入射波作用下，港灣口門張角大小可變的半封閉圓形港灣振蕩理論模型，給出了港灣內外區域上波函數的級數解表達式，并將單一開口的理論模型拓展到了多個口門情形。通過采用封閉圓形港灣理論解和模型試驗結果對理論模型的有效性進行驗證，證明了本文提出的理論計算模型是正確的、可靠的，且與單一的數值模擬相比，不需要進行網格劃分，無需考慮網格大小對計算精度的影響。