關(guān)于拋體運動阻力漸變過程的理論推導(dǎo)及討論

楊 帥，廖 周*，石麗芬

(1.樂山師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，四川 樂山 614000；2.四川文化產(chǎn)業(yè)職業(yè)學(xué)院 大數(shù)據(jù)與互聯(lián)網(wǎng)學(xué)院，四川 成都610000)

0 引言

拋體運動是牛頓力學(xué)中的一個重要內(nèi)容，也是日常生活中的一種常見運動形式。對拋體運動的研究一般在沒有大氣阻力的理想情況或者有空氣阻力條件下進(jìn)行，但對拋體運動從稠密空氣阻力到忽略大氣阻力影響真空狀態(tài)的運動過程的研究研究較為重要。目前對此問題的研究，大多是用泰勒公式、拉格朗日乘子法[1-3]等方法，分析一般阻力方程導(dǎo)出忽略空氣阻力的運動方程及其性質(zhì)的，卻很少用根據(jù)空氣變化的實際物理過程情況進(jìn)行分析(如發(fā)射深空火箭過程，其受到的空氣阻力就是從有漸變到無限小的過程)。本文根據(jù)牛頓力學(xué)得出拋體運動有空氣阻力的一般方程，而無空氣阻力的理想情況可由有空氣阻力的方程簡化而成，也就是無空氣阻力的拋體運動規(guī)律便可由有空氣阻力拋體運動的一般方程直接導(dǎo)出。但將空氣阻力為零直接代入一般方程時，會出現(xiàn)方程式無意義的情況。本文為解決這一情況，從數(shù)理極限思想的角度出發(fā)讓空氣阻力逐步漸變?yōu)榱悖茖?dǎo)出空氣阻力變化過程的拋體運動解析公式，并得到忽略大氣影響理想狀況的拋體運動方程可以由有空氣阻力的拋體運動方程簡化而來。論文最后并用Matlab做了數(shù)值仿真實驗。

1 拋體運動理論推導(dǎo)

圖1 斜拋射運動示意圖

如圖1所示，一拋射體在以初始速度v0拋射出，v0與平面夾角為θ。在沒有空氣阻力情況下，根據(jù)牛頓力學(xué)分析，并進(jìn)行矢量分解，可以得到拋射體在水平(x)和豎直(y)的速度和運動方程為：

(1)

g為重力加速度。在x和y方向的位移方程為：

(2)

消除參數(shù)后得到斜拋射運動軌跡方程為：

(3)

圖2 有空氣阻力時的拋射運動

如圖2中，如斜拋射運動有空氣阻力，且阻力大小跟運動速度有關(guān)，F(xiàn)r=-kv(k為比例系數(shù)，v為拋射體瞬時速度)。根據(jù)牛頓第二定律F=ma，拋射體受到的力為：

(4)

其中Frx=-kvx,Fry=-kvy為空氣阻力在x和y兩個方向的分解量，公式(4)為：

(5)

初始速度v0x=v0cosθ,v0y=v0sinθ，得到拋射體在有空氣阻力情況下，在水平(x)和豎直(y)的速度和運動方程為：

(6)

將dx=vxdt,dy=vydt代入公式(6)得到相應(yīng)位移方程為：

(7)

消去參數(shù)t后可得拋體的軌跡方程為：

(8)

公式(6)-(8)為拋體運動在有空氣阻力情況下的運動方程，如果空氣阻力趨于0(即k=0)時，公式(8)應(yīng)簡化為公式(3)。將k=0代入公式(8)中，得到的結(jié)果與公式(3)差異很大，原因是將k=0代入公式 時，公式中會出現(xiàn)了0/0或者無窮大情況。為了處理此問題大多是利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行處理[1-3]，但此類方法只考慮數(shù)學(xué)方法實現(xiàn)[4-5]，缺乏合理的物理邏輯解釋。本文我們從物理過程出發(fā)進(jìn)行分析，在空氣阻力減弱并逐漸趨于零的過程，實際就是微積分中的極限過程。因此可基于極限思維解決此問題，以下是具體推導(dǎo)過程。

2 物理漸變過程推導(dǎo)

對速度、位移和軌跡即公式(6)-(8)利用洛必達(dá)法則求極限，可以得到無空氣阻力情況下的相應(yīng)公式 (9)-(12)。下面對具體情況進(jìn)行推導(dǎo)：

對速度公式中的vx可以直接將k=0代入，對于vy需要先利用洛必達(dá)法則，對分子分母求導(dǎo)后再求極限：

(9)

(10)

連續(xù)用兩次洛必達(dá)法則，可以得到y(tǒng)方向的位移公式：

(11)

從推導(dǎo)公式(10)(11)可以看出，當(dāng)k→0時，位移公式(7) 就演化為公式(2)，證明了公式(1)-(3)為公式(6)-(8)的特殊情況，跟實際物理過程也吻合。

同理可以推導(dǎo)出忽略空氣阻力的拋體運動的軌跡方程公式：

(12)

3 數(shù)值仿真

對不同的空氣阻力以及不同拋射角度進(jìn)行數(shù)值仿真[7]，仿真輸入為：設(shè)物體為球體，質(zhì)量m=1kg，初始速度為v0=20m/s，重力加速度g=10m/s2，初始角度為θ=45°，空氣阻力系數(shù)分別為k={0.3， 0.1 ，0.05 ，0.01， 0.001， 0}。

圖3是仿真結(jié)果，其趨勢跟數(shù)理推導(dǎo)吻合很好，在空氣阻力k=0.001時曲線已經(jīng)很接近真空狀態(tài)了，兩條曲線很接近，可以看出仿真結(jié)果論證了前面理論推導(dǎo)。

圖3 在不同空氣阻力條件下的斜拋射運動

在相同條件[6-10]，去空氣阻力為k=0.01，角度為θ={20°， 30°， 40° ，45°， 50° ，55°}，進(jìn)行數(shù)值仿真。其結(jié)果如圖4所示，可看出在拋射角度θ=45°時，距離最遠(yuǎn)，驗證前面推導(dǎo)結(jié)果。

圖4 空氣阻力下斜拋射運動不同角度影響

4 結(jié) 論

本文針對物體拋射運動的物理問題，基于實際物理運動的邏輯過程，利用微積分極限思想，詳細(xì)推導(dǎo)分析了物體拋射運動從有空氣阻力到真空狀態(tài)的運動狀況。

考慮拋射點與落地點在同一平面的情況，運用微分學(xué)知識導(dǎo)出存在空氣阻力的一般性質(zhì)再運用極限思想當(dāng)阻力系數(shù)k趨近于零(k→0)時導(dǎo)出無空氣阻力情況下的拋體運動公式與拋體性質(zhì)，還將加速度與夾角α一般化得到了運動學(xué)中的一般公式。

在物理教學(xué)中，將高等數(shù)學(xué)知識與物理問題聯(lián)系起來，用數(shù)學(xué)知識得到一般物理公式再將條件特殊化得到中學(xué)物理課本上的特殊公式，有利于學(xué)生理解公式意義，將會取得事半功倍的教學(xué)效果。