考慮流固耦合的厚壁輸水管水錘和振動特性分析

郭 強，周建旭，黃 亞，張 健

考慮流固耦合的厚壁輸水管水錘和振動特性分析

郭 強，周建旭※，黃 亞，張 健

（河海大學水利水電工程學院，南京 210024）

厚壁管對瞬變流具有很高的抗風險能力，在輸水系統中得到了廣泛的應用。為了研究厚壁管中流固耦合現象，該研究考慮軸向應力的緩沖效應，基于薄壁管流固耦合分析模型（薄壁模型），建立并提出了適用于厚壁管流固耦合一維模型（厚壁模型）。采用有限體積法對模型求解，壓力振蕩數值結果與已有的試驗結果峰值相對誤差低于4.5%，說明厚壁模型是可靠的。在此基礎上，從壓力振蕩、波速及管道振動角度比較了2模型差異：薄壁模型和厚壁模型模擬波速與試驗結果相對誤差分別為4.6%和1.3%；相對薄壁模型結果，厚壁管模型顯示壓力振蕩周期和幅值均增大，流體模態頻率和結構模態頻率分別為6.44和17.72 Hz。此外，當輸水管道厚徑比<0.05，厚壁模型仍具有一定可靠性。該模型擴展和改進了常用薄壁模型，使其同時適用于厚壁管及薄壁管流固耦合分析。

壓力；模型；水錘；流固耦合

0 引 言

管道運輸流體已廣泛應用于海洋工程、石油化工工程、能源與動力工業、航天器動力系統和日常生活中。管道內由于管內或管外受到多次激勵而產生壓力脈動，誘發管壁徑向收縮或膨脹，材料泊松比導致管道明顯軸向振動。同時，這些管路結構振動及流體壓力脈動相互影響，這種現象叫做流固耦合（Fluid-Structure Interaction）。不同輸水系統邊界條件導致不同的FSI響應，故FSI響應分析必須根據不同邊界條件進行逐案處理[1-4]。

管道與流體的耦合方式主要有摩擦耦合、泊松耦合和結合部耦合，其中摩擦耦合和泊松耦合貫穿整個管道，而結合部耦合只發生在靠近彎管、支管、閥門、邊界、以及可變截面的管道中[5-7]，結合部耦合導致系統FSI響應更強[8-11]。此外，摩擦耦合的響應最弱，其作用水平在長期內逐漸降低[12]。同時，作為最重要的耦合形式，結合部耦合誘發更強的壓力振蕩，結合部耦合程度主要取決于系統的魯棒性[13-14]。值得注意的是，泊松耦合對結合部耦合具有促進作用[15-16]。

上述文獻流體管路的計算方法主要包括時域計算方法和頻域計算方法，其中瞬態響應問題多采用時域計算方法求解，而對于自由或強迫振動響應則通常采用頻域計算方法[17]。目前管道FSI響應計算常用的方法為特征線方法（Method of Characteristics，MOC）。但MOC是一種時域數值求解方法，適用于簡單管路的時域響應計算，特別是流體壓力波的瞬態響應分析[18]，因此在流體管路系統的時域分析中有非常多的應用，并得到不斷完善，但特征線法需要在時間和空間中離散求解，較為復雜，且很難考慮管道的彈性支撐條件，多段管路計算時還存在插值誤差和不同特征線的相交等問題。

有限體積法是一種介于有限差分法和有限單元法之間的一類數值求解方法。有限體積法基于守恒型積分方程，通過有限子區域積分構造離散方程。有限體積法求解問題具有2種方式，一種是控制體體積法，另一種是控制體平衡法。兩者都描述了控制體物理量的守恒，所以有限體積法是一種無條件穩定的數值方法，且有限體積法不要求變量可微分，有限體積法的適應性廣。

到目前為止，關于有限體積元法的理論成果已經相當豐富，很多國內外的早期研究成果被收錄于文獻[19]之中。為了避免有限體積法中離散格式中非物理振蕩，Li等[19]提出了有限體積法中的迎風格式。這一格式是穩定的，且滿足離散極值原理，然而該格式的數值精度卻不是最佳的。在此基礎上，Sardella[20]修正了有限體積法迎風格式，提高了計算精度。Liang等[21-22]分別提出了一種最優加權迎風有限體積法和二階精度的有限體積法，進一步提高了計算精度。

當有限體積法應用于瞬變計算中，有限體積法的關鍵是在系統控制體積內積分，時間步長與控制體長度相互獨立，故易于計算程序的編寫。已有許多學者將有限體積法應用于瞬變流的研究中。Zhou等[23]利用有限體積法求解了含氣水錘，說明了考慮氣液兩項流，有限體積法比特征線法更合適，且精度也能得到保證；耿艷芬等[24]基于有限體積法，建立了管道瞬變流的離散格式，采用特征分解技術計算界面通量，并通過重構和通量限制建立二階精度的TVD格式保證了質量和動量的守恒性；趙修龍等[25]推導了C-N格式的有限體積法，并經過由特征線法數值結果的對比，說明了C-N格式的有限體積法穩定性好，且具有較高精度。這些有限體積應用成果為本文研究提供了基礎。

為提高管道抗風險能力和延長有效運行時間，通常會使用厚徑比較大的管道。但目前專家學者所關注均為薄壁管道輸水系統，而幾乎沒有文獻對厚壁管輸水系統水力瞬變進行研究。厚壁管道軸向應力沿徑向變化不可忽略，但已有薄壁管計算模型不考慮軸向應力沿徑向變化。針對瞬變流的流固耦合問題，已有模型分析厚壁管可能獲得更大的系統魯棒性，同時獲得不準確的模態響應。為了更準確的捕捉厚壁管在瞬變過程中的水力特性和管道振動特性，本文假設管道可以在其縱向自由振動、徑向加速度可忽略不計、且厚壁管沿徑向具有不同的軸向應力。基于已有薄壁管分析模型（薄壁管流固耦合模型或薄壁模型），建立并提出了適用于厚壁管流固耦合一維模型，模型包括采用流體運動方程、流體連續方程、管壁運動方程和管壁本構方程，也可稱為厚壁管流固耦合4方程模型或厚壁模型。模型采用有限體積法求解。

1 數學模型

輸水系統軸向耦合響應與輸水管線所處側向平面及扭轉耦合是可以解耦的[15]，故可單獨對管道輸水系統軸向流固耦合進行分析。厚壁管示意圖如圖1所示。

注：P|r=R為管壁內表面壓力，Pa；σz為管壁軸向應力，Pa；σr為管壁徑向應力，Pa；σθ為管壁環向應力，Pa；R和e分別為管道內徑和壁厚，m；Δz為控制體長度

1.1 流體控制方程

1.1.1 流體運動方程

忽略流體環向流速，且不考慮流體科氏力[18]，則不可壓縮流體運動方程：

式中為流體截面平均流速，m/s；為流體截面平均壓力，Pa；表示管道輸水系統徑向坐標。

1.1.2 流體方程

對于不可壓流體，其軸對稱流動的連續方程為

式中u為管壁徑向振速，m/s，沿管壁徑向具有不同的結果。由水錘波速?/?A=/ρ，為流體體積模量，Pa；將?/?A=/ρ代入方程（3）。為將方程（3）表示的二維流動問題簡化為一維，對方程（3）兩邊乘以2，從管芯到管壁求積分，然后除以流體截面面積。引入流體截面參量的平均值，化簡得到：

考慮流固耦合，管道內表面環向應變為ε|=w/，w為管壁內表面徑向位移，m。則u/=?ε|/?，其中u為管壁內表面徑向振速，m/s。

式中為管材彈性模量，Pa；為管材泊松比。管壁環向應力與徑向應力的拉梅解形式[17-18]

且軸向平均應力與軸向應力定義為[18]

式中被稱為應力削減系數，的定義表達式為

將方程（10）代入方程（4），得到考慮流固耦合下厚壁管輸水的不可壓縮流體連續方程：

1.2 管壁控制方程

1.2.1 管壁運動方程

考慮厚壁管材料是彈性，且管壁不受外力情況，管道運動方程為[26-27]

方程（13）簡化為

式中u為管道軸向振速，m/s。

1.2.2 管壁本構方程

針對給定的輸水管道，管道軸向應變與應力關系表達式為：

根據方程（3），截面徑向與環向平均應力之和為

2 數值求解

考慮輸水管道為厚壁管，則結構徑向變形不可忽略，考慮結構徑向變形，管道狀態及流體狀態是二維的，取截面平均值進行分析和推導，基于薄壁管流固耦合分析模型（薄壁模型），建立了適用于厚壁管流固耦合分析的一維模型。模型包括的流體運動方程、流體連續方程、管壁運動方程和管壁本構方程，分別如方程（2）、方程（12）、方程（14）和方程（17）所示，這些方程統稱為厚壁模型。

有限體積法求解時是對每個控制容積進行積分求解有限體積，且積分方程中每一項的物理意義明確[28]，因此，本文采用有限體積法計算分析管道FSI響應。有限體積法利用控制容積積分來實現方程的離散[29]，在控制容積內從時間到Δ對連續方程積分[30]，根據C-N隱式差分方法[31]，方程（2）、方程（12）、方程（14）和方程（17）矩陣形式為：

對有限體積法而言，控制體簡化為線。在控制體內對時間和空間的積分為：

當時間步長和控制體長度足夠小，則取近似值：

則方程（20）離散為

得到控制體相鄰時步的迭代方程為

由方程（22）可得到，所有控制體組成了輸水系統，其相鄰時步狀態的迭代方程為

Δ為有限體積法計算時步步長，Δ為控制體積長度，表示第時步，表示第個控制體，第個控制體在第時步系統狀態矩陣，是第個控制體在第+1時步的系統狀態矩陣。在本文計算中，= 1表示流體入口，=表示流體出口。在計算第+1時步狀態時，是已知矩陣。

3 分析與討論

3.1 驗證

為了驗證厚壁管道數學模型的正確性，本文采用厚壁模型預測了一段自由管在實心鋼棒撞擊下的撞擊端和遠端瞬態壓力，并與英國鄧迪大學土木工程系Vardy等[32]獲得的試驗數據作對比。預測的物理模型和Vardy等的試驗裝置均為一根長4.5 m鋼管，管道系統兩端封閉，并設置堵頭。為了更接近管道自由狀態，故管道懸掛布置。管道系統引起瞬變的荷載是由長為5.006 m的實心鋼棒軸向撞擊管道的閉合端而產生，如圖2所示。瞬變產生的邊界方程為

式中為鋼棒沖擊阻尼，N/(m/s)；為沖擊端堵頭質量，kg；為實心鋼棒對管道的撞擊速度，m/s。撞擊發生之前，管道為初始狀態，此時的初始管內初始壓力為2 MPa；初始流速為0；管道內無壓力梯度，故管壁應力與振速均為0。當撞擊發生后，采用方程（23）迭代得到Δ時的系統瞬變狀態。值得注意的是為了結果的精確性，Δ=10-4s、控制體長度為Δ=0.1 m。

注：為實心鋼棒對管道的撞擊速度，m·s-1。

Note:is Impact velocity of solid steel bar on pipe, m·s-1.

圖2 文獻[32]試驗裝置

Fig.2 Sketch of experimental setup in reference [32]

管道內壓為大氣壓的情況下，展示了沖擊管道產生的管道撞擊遠端和撞擊端壓力脈動數值結果和試驗結果，如圖3所示。

圖3 試驗系統動態壓力

根據圖3中數值結果與試驗結果對比，明顯可觀察到數值結果中疊加有高頻的壓力振蕩，說明了數值結果能夠得到更精確的壓力振蕩過程。這種現象可解釋為試驗采樣頻率為80 Hz[15]時，忽略了輸水管道的高頻特性，而數值計算的時間步長為10-4s，能夠很好地捕捉壓力振蕩的高頻信號。然而，由圖3可知，在沖擊遠端第一波壓力數值結果與試驗結果峰值分別為3.22和3.33 MPa，兩者相對誤差為?3.3%；在沖擊端第一波壓力峰值數值結果與試驗結果分別為3.34和3.19 MPa，兩者相對誤差為4.5%。相對誤差均在?5%～5%以內，且試驗結果與數值結果具有相同的趨勢，說明本模型適用于描述水錘作用下厚壁管流固耦合分析，且有限體積法求解厚壁管流固耦合問題是合理的。同時，數值結果僅考慮軸向振動，試驗結果則包括了多方向的耦合形式。但兩者結果誤差在容許范圍內，說明了在瞬變過程中，管道振動主要為軸向振動，則軸向耦合為主要耦合。

3.2 工程實例

3.2.1 耦合水錘分析

實際工程中，厚壁管輸水系統是常見的，但一般具有多支承的特點。為進一步說明厚壁模型的應用價值，分析了多支承管輸水系統。本管道輸水系統是由河海大學水力發電中心所實施，采用型號為HQ1000的壓力傳感器記錄了閥門前端瞬態壓力。其中管道為厚壁管，管道長=20 m，每跨跨長為4 m，管道內徑=0.06 m，管壁總厚度=0.006 m，初始壓力為1 m水頭，初始流速為1 m/s。初始時刻，管內無壓力梯度，故管道軸向應力和軸向振速均為0。輸水系統示意圖如圖4所示。系統的瞬變激勵為快速關閥，關閥過程閥門開度變化為(1-/)1.5，為總關閥時間，s。為保證關閥規律的準確性，本系統采用機器控制閥門開度。

注：L為管道長度，m。

輸水系統中瞬變激勵為快速關閥，厚壁管為彈性結構，且在水錘荷載作用下膨脹或收縮，產生新的壓力振蕩，2種壓力振蕩相互疊加，得到考慮流固耦合的壓力振蕩[33]。根據文獻[15]，支承考慮為彈性支承，忽略支承慣性，支承的邊界條件為

式中為支承軸向彈性系數，N/m；為支承阻尼，N/(m/s)；Δσ為支承相鄰兩控制體積中軸向應力改變量，Pa。

邊界考慮結構徑向與軸向約束，流固耦合響應對系統模態頻率具有較大影響，頻率均小于1 000 Hz[34]。綜合考慮數值分析得到實際壓力振蕩信號的完整性和計算耗時，計算時間步長Δ、控制體長度Δ分別為0.001 s、0.1 m。

為了顯示厚壁模型與薄壁模型的區別，分別采用厚壁模型、薄壁模型和經典水錘模型模擬簡單的多支承輸水系統，考慮流固耦合，得到的力振蕩如圖5所示。相對僅考慮流體因素的兩方程模型，考慮流固耦合，壓力振蕩與多因素相關，結果也更加復雜，結果表現為多個壓力振蕩的疊加，且曲線上存在多處局部峰值，這種現象可解釋為，當不考慮流固耦合，等效為管道是剛性的，管道變形引起的高頻壓力振蕩被忽略。相對薄壁管模型假設軸向應力沿徑向為一常數，厚壁模型考慮了軸向應力沿徑向變化，截面應力平均值小于在流體結構交界面的軸向應力。故相對于傳統的薄壁模型，厚壁模型得到的耦合響應較弱，壓力波速較小，表明系統柔性較小。

圖5 不同模型下的數值模擬壓力

與經典二方程模型的數值分析結果比較分析，無論薄壁模型還是厚壁模型，管道的軸向耦合形式包括泊松耦合和結合部耦合。此時，系統中存在沿軸向傳播的應力波和壓力波。本算例中，厚壁模型計算得壓力波波速和應力波波速分別為1 348和4 113 m/s，應力波速約為壓力波速的3倍。則考慮流固耦合時，壓力脈動峰值可分為3部分進行分析：在第一部分中，考慮泊松耦合和結合部耦合，水壓劇烈上升引起管壁徑向膨脹和管道出口端軸向移動，釋放了壓力振蕩能量，產生第一個壓降，同時，管壁徑向膨脹和管道出口端軸向移動導致管道變形以應力波形式傳播；在第二部分中，管壁為收縮狀態，對不可壓縮流體進行了壓縮，對流體的影響類似于輸水泵的作用，因此壓力峰值比經典模型模擬結果大；在第三部分中，軸向應力波反彈，管壁再次擴張，在壓力波動上產生最后一個壓降。上述現象反復出現，形成圖5所示的壓力振蕩。圖5顯示，當考慮流固耦合，水錘能量被管道吸收，管道顯示更大的柔性。此時，管道波速減小，壓力振蕩大周期增大（=4/c，c為水錘波速）。且厚壁模型與薄壁模型得到不同的耦合響應，對波速也具有不同的影響。

3.2.2 壓力波傳播速度

根據文獻[35]，可知輸水系統的波速（包括應力波和壓力波）定義為

則考慮流固耦合的波速方程可定義為

將方程（27）代入方程（18），可得

為了得到非零解，則

求解方程（29），得到應力波速與壓力波速相容性方程：

方程（30）簡化為

求解方程（31），得到2個正根即為壓力波速的平方值c2和應力波速的平方值c2。

為了驗證波速的數值結果，進行了試驗，試驗裝置如圖4所示。在3.2.1所述試驗基礎上，僅改變管道的厚徑比。同時，壓力傳感器HQ1000由頻率50 kHz的壓力傳感器替代，采樣頻率為1 000 Hz。采集了不同厚徑比管道閥門附近的動態壓力，并由此得到不同的波速，試驗結果如圖6所示。

圖6 輸水系統波速隨厚徑比的變化趨勢

壓力波在水中的傳播速度與輸水系統魯棒性相關[29-30]，而系統魯棒性與管道厚徑比密切相關，通過不同厚徑比情況下壓力波速和應力波速的分析討論表明：系統魯棒性越大，壓力波速就越大，同時獲得更小的應力波速，反之亦然，結果如圖6所示。由圖6可知，厚壁模型和薄壁模型模擬結果與試驗結果相對差值最大分別為1.3%和4.6%。說明模擬流固耦合響應時，厚壁模型得到更可靠的結果。

當/=∞，輸水系統魯棒性足夠大，系統流固耦合可忽略，求解方程（30）得到c=1 414 m/s。當/=0.5，c= 1 400 m/s，相比于不考慮流固耦合，波速的偏差為0.98%，則當/0.5時，大的系統魯棒性導致弱的流固耦合響應。上述現象說明：當/>0.5時，兩方程模擬系統是合適的，同時，薄壁模型與厚壁模型模擬結果具有較大的差別；當/0.05，薄壁模型與厚壁模型模擬結果差別可忽略，即當/0.05時，薄壁模型是合適的。上述分析結論也進一步證明本文所建立厚壁模型的正確性。

3.2.3 管道振動分析

不考慮流固耦合響應，系統模態分為流體模態和結構模態。考慮流固耦合響應，所有的振動模式都是系統模式。管道變形分析能夠明顯觀察到結構模態和流體模態，通過數據處理，可識別管道變形模式與結構或流體均密切相關。在多支承輸水系統中，只有壓力波和應力波沿系統軸向傳播。考慮到流固耦合，圖7虛線所示的結果清楚地表明，厚壁模型預測得到的頻率6.44和17.72 Hz均歸因于水柱和鋼管的固有頻率，其中頻率6.44 Hz對應管壁變形的呼吸模式（管壁呼吸模態頻率等于水柱固有頻率）。圖7實線所示薄壁模型預測得到的頻率6.68和17.34 Hz亦歸因于水柱和鋼管的固有頻率。圖7中，每個頻率峰值表示流體或結構的基波和奇次諧波。

相對于薄壁模型，厚壁模型考慮了軸向應力削減效應（方程（9）所示），導致管壁軸向位移沿徑向變化，管壁不同徑向位置相互拉伸或壓縮。此時，管道軸向的勢能增加，這些管道勢能來自由水錘能量，即厚壁管模擬結果顯示結構消耗更多的水錘能量。此時，管道振動更強烈，壓降和“泵”效應更加明顯，即更強烈的流固耦合響應，如圖5所示。這些現象都進一步增大結構軸向變形水平，故厚壁模型獲得更大模態峰值，如圖7所示。當厚壁模型得到更大的振動水平，系統顯示更小魯棒性，最終導致流體模態頻率減小。這種現象在更高頻的模態中顯得更加明顯，如圖7所示。

圖7 管壁在頻域內的變形水平

4 結 論

發生于厚壁管輸水系統中的水錘現象長期以來一直是一種難以理解的現象。為了研究水擊作用下厚壁管的耦合響應，基于流體控制方程和結構本構方程，基于薄壁模型，建立了適用于厚壁管流固耦合分析的一維模型。將有限體積法應用于該模型的求解，結果表明數值結果與試驗結果吻合較好。這種模型考慮了管壁弱化了管道軸向應力水平，當管壁足夠薄時，這種影響可以忽略不計。在這種情況下，厚壁模型退化為公認的薄壁模型。

為揭示2種模型的差異，對模型預測結果進行了對比，進一步得到以下結論：

1）考慮流固耦合，管道的變形對流體起著泵效應或松弛效應，導致流體壓力脈動曲線出現較多局部突變。但厚壁模型結果顯示壓力振蕩和管道軸向振動具有更高的水平，即厚壁管獲得更強烈的耦合響應。同時，對比試驗波速結果，說明了厚壁管模型結果更可靠。

2）在瞬變過程中，厚壁管軸向應力沿徑向減小，導致管內更強烈的壓力振蕩，且導致壓力振蕩周期變大。效應隨管壁厚度減小而變弱，當厚徑比/<0.05時，這種效應可忽略，則厚壁模型退化為薄壁模型。對于給定的厚壁管，當/>0.05時，厚壁模型預測分析結果具有更大可靠性，能準確揭示系統具有較大的柔性和較小的壓力波速。

3）考慮流固耦合，在瞬變過程中，系統所有模態均由壓力波和應力波導致的。相對于薄壁模型，厚壁模型結果顯示更低頻的流體模態和更高頻的結構模態。

[1] Spinosa E, Iafrati A. Experimental investigation of the fluid-ftructure interaction during the water impact of thin aluminium plates at high horizontal speed[J]. International Journal of Impact Engineering, 2020, 24: 563-586.

[2] Sun T Z, Zhou L, Yin Z Y, et al. Cavitation bubble dynamics and structural loads of high-speed water entry of a cylinder using fluid-structure interaction method[J]. Applied Ocean Research, 2020, 101: 1-12.

[3] Abdalellah O M, Hussain H A K, Osman A B, et al. One-way coupled fluid–structure interaction of gas–liquid slug flow in a horizontal pipe: Experiments and simulations[J]. Journal of Fluids and Structures, 2020, 97: 103083.

[4] Li S, Liu G, Kong W. Vibration analysis of pipes conveying fluid by transfer matrix method[J]. Nuclear Engineering and Design, 2014, 266: 78-88.

[5] Wahba E M. On the two-dimensional characteristics of laminar fluid transients in viscoelastic pipes[J]. Journal of Fluids and Structure, 2017, 68: 113-124.

[6] Wang X J, Lin, A. Keramat, M S, et al. Matched-field processing for leak localization in a viscoelasticity pipe: An experimental study[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2019, 124: 459-478.

[7] Ghodhbani A, Akrout, A, Hajta?eb T. Coupled approach and calculation of the discrete vapour cavity model[J]. Journal of Fluids and Structures, 2019, 91: 787-804.

[8] Keramat A, Moghadam F M, Zanganeh R, et al. Experimental investigation of transients-induced fluid-structure interaction in a pipeline with multiple-axial supports[J]. Journal of Fluids and Structures, 2020, 93: 884-910.

[9] Zanganeh R, Jabbari E, Tijsseling A, et al. Fluid-structure interaction in transient-based extended defect detection of pipe walls[J]. Journal of Hydraulic Engineering 2019, 82: 733-752.

[10] Wang X, Ghidaoui M S, Lin J. Identification of multiple leaks in pipeline III: Experimental results[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2019, 130: 395-408.

[11] Keramat A, Wang X, Louati M, et al. Objective functions for transient-based pipeline leakage detection in a noisy environment: Least square and matched-filter[J]. Journal of Water Resources Planning and Management, 2019, 112: 1106-1123.

[12] Yang K, Li Q S, Zhang L X. Longitudinal vibration analysis of multi-span liquid-filled pipelines with rigid constraints[J]. Journal of Sound and Vibration, 2012, 273: 125-147.

[13] Tijsseling A S. An overview of fluid-structure interaction experiments in single-elbow pipe systems[J]. Journal of Zhejiang University: Science A, 2019, 20: 233-242.

[14] Matthew H, Vakhtang T, Randy S J, et al. Fluid–structure interaction modeling in cardiovascular medicine–A systematic review 2017-2019[J]. Medical Engineering and Physics, 2020, 78: 1-13.

[15] Zhang L, Tijsseling A S, Vardy A E. FSI analysis of liquid-filled pipes [J]. Journal of Sound and Vibration, 1999, 224: 69-99.

[16] Tijsseling A S, Vardy A E. 20 years of FSI experiments in Dundee[C]//Proceedings of the Third M.I.T. Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics, Massachusetts Institute of Technology. New York: MA, 2015: 1-8.

[17] Henclik S. Numerical modeling of water hammer with fluid-structure interaction in a pipeline with viscoelastic supports[J]. Journal of Fluids and Structures, 2018, 76: 469-487.

[18] David F, Pedro A, Anton J, et al. Fluid-structure interaction in straight pipelines with different anchoring conditions[J]. Journal of Sound and Vibration, 2017, 394: 348-365.

[19] Li R, Chen Z, Wu W. Generalized Difference Methods for Differential Equations: Numerical Analysis of Finite Volume Methods[M]. New York: Marcel Dekker, 2000: 16-49.

[20] Sardella M. On a coupled finite element-?nite volume method for convection-diffusion problems[J]. IMA Journal of Mumerical Analysis, 2000, 20: 281-301.

[21] Liang D, Zhao W. An optimal weighted upwind control volume method on non-standard grids for convection- diffusion problems in 2D[J]. International Journal of Numerical Method Engineering, 2006, 67: 553-577.

[22] Salvador B L, Alejandro A P S, Wang Z F, et al. Strain-engineering of graphene's electronic structure beyond continuum elasticity[J]. Solid State Communications, 2013, 166: 71-75.

[23] Zhou L, Wang H, Liu D Y, et al. A second-order Finite Volume Method for pipe flow with water column separation[J]. Journal of Hydro-Environment Research, 2017, 17: 47-55.

[24] 耿艷芬，王志力，金生. 基于有限體積水錘方程的Go-dunov格式離散[J]. 計算力學學報，2007，24(4)：513-518.

Geng Yanfen, Wang Zhili, Jin Sheng. A Godunov method for water hammer problem based on finite volume method[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2007, 24(4): 513-518. (in Chinese with English abstract)

[25] 趙修龍，張健，俞曉東. 基于有限體積法的有壓管道水錘計算[J]. 水電能源科學，2014，32(2)：164-166.

Zhao Xiulong, Zhang Jian, Yu Xiaodong. Finite volume method for water hammer calculation in pressure pipe[J]. Water Resource and Power, 2014, 32(2): 164-166. (in Chinese with English abstract)

[26] Li G L, Du S C, Huang D L, et al. Elastic mechanics-based fixturing scheme optimization of variable stiffness structure workpieces for surface quality improvement[J]. Precision Engineering, 2019, 56: 343-363.

[27] 徐芝綸. 彈性力學（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2006：257-412.

[28] Luis R, Nogueira X, Pablo O, et al. A Higher-Order Chimera Method for Finite Volume Schemes[J]. Archives of Computational Methods in Engineering, 2018, 25: 691-706.

[29] HwangY H, Chung N M.A fast Godunov method for the water-hammer problem[J]. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 2002, 40: 799-819.

[30] Cao H D, Mohareb M, Nistor I. Finite element for the dynamic analysis of pipes subjected to water hammer[J]. Journal of Fluids and Structures 2020, 93: 984-996.

[31] Daude F, Tijsseling A S, Galon P. Numerical investigations of water-hammer with column-separation induced by vaporous cavitation using a one-dimensional Finite-Volume approach[J] Journal of Fluids and Structures 2018, 83: 91-118.

[32] Vardy A E, Fan D, Tijsseling A S. Fluid-Structure Interaction in a T-piece pipe[J]. Journal of Fluids and Structures, 1996, 10: 763-786.

[33] 張春晉，孫西歡，李永業，等. 基于流固耦合的管道雙車振動運移水力特性研究[J]. 振動與沖擊，2020，39(3)：161-167.

Zhang Chunjin, Sun Xihuan, Li Yongye, et al. Hydraulic characteristics of a piped double-carriage’s vibrational transport based on fluid-structure interaction[J]. Journal of Vibration and Shock, 2020, 39(3): 161-167. (in Chinese with English abstract)

[34] 王振華，馬習賀，李文昊，等. 基于改進4-方程摩擦模型的輸水管道水錘壓力計算[J]. 農業工程學報，2018，34(7)：114-120.

Wang Zhenhua, Ma Xihe, Li Wenhao, et al. Calculation of water hammer pressure of flow pipeline based on modified four-equation friction model[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2018, 34(7): 114-120. (in Chinese with English abstract)

[35] Wylie E B, Streeter V L. Fluid Transient in System[M]. Now York: Prentice Hall, 1983: 14-24.

Water hammer and vibration analysis of a thick-wall pipe considering fluid-structure interaction

Guo Qiang, Zhou Jianxu※, Huang Ya, Zhang Jian

(,,210024,)

A thick-wall pipe is widely used in a water conveyance system, due to its high anti-risk ability on transient flow. If the thickness of pipe wall is great enough, the axial stresses vary significantly in the radial direction. It is necessary to consider a buffering effect of axial stresses, representing by the buffering coefficients1and2. In this study, an one-dimensional Fluid-Structure Interaction (FSI) model was proposed for the accurate prediction on the mechanical properties of a thick-wall pipe during water hammer. A FSI thin-wall model was also set considering the relaxed effect that caused by the radial deformation. Four equations included the continuity and motion equation of fluid, while, the motion and deformation equation of pipe structure. A Finite Volume Method (FVM) was also selected to evaluate the reliability and accuracy of the model, according to the experimental data. Compared with the thin-wall model, the thick-wall model can be used to weaken the axial stress level in the pipe wall under buffering effects. The simulated results showed that there were obvious buffering effects, and evident differences between the thick- and thin-wall model, at the thickness-diameter ratio of/>0.05. At the thickness-diameter ratio of/<0.05, there were the minor buffering effects, and the negligible differences between the thick- and thin-wall model.In the small values of coefficients1and2, the thick-wall model can be degenerated into the thin-wall model. It infers that the thin-wall model can be assumed as the special mode of thick-wall model without buffering effects. Considering FSI, the first pressure drop, ‘pumping’ effect, and last pressure drop can be observed in each half period, indicating an important role in the modes of fluid or structures.There were totally differences in the pressure oscillation, wave speeds, and axial vibration of pipe wall. Specifically, all the modes of frequencies were attributed to the speed of pressure wave and stress waveThe resulting structure or fluid behaved different mode responses. The waves was dominated in the simulated and experimental data that derived from the pressure wave speeds in two models, indicating that the thick-wall model was much more accurate for a thick-wall pipe during water hammer. In addition, the axial vibration and pressure oscillation became stronger in the thick-wall model, indicating that the system has stronger FSI responses. In the modes with low frequencies, the system displayed relatively low robustness, where the fluid can suffer to the slow ‘pumping’ effect. A given system simulated by the thick-wall theory demonstrated a large flexibility and small pressure wave velocity. The modified thick-wall model can be used to significantly improve the fluid-structure interaction model for a thick-wall pipe.

pressure; models; water hammer; fluid-structure interaction

郭強，周建旭，黃亞，等. 考慮流固耦合的厚壁輸水管水錘和振動特性分析[J]. 農業工程學報，2020，36(21)：137-144. doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2020.21.017 http://www.tcsae.org

Guo Qiang, Zhou Jianxu, Huang Ya, et al. Water hammer and vibration analysis of a thick-wall pipe considering fluid-structure interaction[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2020, 36(21): 137-144. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2020.21.017 http://www.tcsae.org

2020-07-26

2020-08-31

國家自然科學基金（51879087，51839008，51709087）作者簡介：郭強，博士，主要從事瞬變過程的研究。Email：guoq1228@126.com

周建旭，教授，博士，主要從事水電站水力瞬變研究。Email：jianxuzhou@163. com

10.11975/j.issn.1002-6819.2020.21.017

TV134

A

1002-6819(2020)-21-0137-08