干式渦旋真空泵渦旋齒應力與變形研究

王賀權，方文強，閆世林

(1.沈陽航空航天大學 機電工程學院，遼寧 沈陽 110136；2.鳳城市世林機械有限責任公司 技術部，遼寧 鳳城 118115)

引言

干式渦旋真空泵是一種無油真空泵，結構簡單，工作腔與油隔絕，可以獲得清潔的真空環境，廣泛應用在半導體行業、醫療設備、生物制藥等產業。干式渦旋真空泵的工作原理是依靠動定渦旋齒之間的高精度配合，各工作腔之間通過嚙合間隙進行密封[1]，在工作過程中，渦旋齒在外載荷作用下易發生變形，影響動定渦旋齒之間的嚙合間隙，從而影響真空泵的性能。

關于渦旋齒的分析，有科研工作者開展了大量的研究工作。劉振全等[2]分析了氣體力作用下動渦旋齒的應力分布和變形情況。楊廣衍、劉國平等[3-4]模擬分析各工作腔的溫度場，對動渦旋齒進行應力分析。李超、彭斌等[5-9]分析了多載荷耦合作用下動、定渦旋齒以及模擬了渦旋齒裝配時的變形情況。羊玢等[10]討論了不同主軸轉角時渦旋齒的應力分布，得到渦旋齒的剛度和強度。

目前對于渦旋真空泵的研究，主要是針對單級渦旋盤開展的。本研究針對雙級串聯干式渦旋真空泵模型，結合模型的氣體流動特點，討論兩級間壓力和第二級吸入氣體壓力。通過幾何理論和力學理論計算渦旋齒受到的氣體力，應用有限元分析方法對渦旋齒施加相應的氣體力載荷，分析得到雙級渦旋齒的等效應力分布情況和變形規律。

1 幾何理論

本研究選取的干式渦旋真空泵模型為雙級串聯結構，渦旋齒型線為圓漸開線，雙級渦旋齒的幾何參數如表1所示。第一級為三頭渦旋齒，第二級為單頭渦旋齒，動定渦旋齒依靠嚙合間隙密封完成吸氣、壓縮、排氣過程，雙級結構示意圖如圖1所示。

1.排氣腔 2.第二工作腔 3.第三工作腔 4.吸氣腔

表1 渦旋齒幾何參數

根據圓漸開線的幾何特征，可以得到在任意主軸轉角下，第i個工作腔容積：

(1)

式中,P—— 節距

t—— 壁厚

h—— 齒高

θ—— 主軸轉角

2 氣體載荷分析

本研究主要討論氣體載荷引起的渦旋真空泵渦旋齒變形，首先建立相應的力學模型，作為邊界條件加載到有限元分析模型。

2.1 串聯模型級間壓力

假設真空泵的工作過程為絕熱壓縮，在穩定工作狀態下，內部氣體流動狀態平穩，氣體由第一級吸入第二級排出，這一過程氣體流動是連續的。氣體流動過程如圖2所示，箭頭表示氣體流動方向。

圖2 氣體流動過程示意圖

根據封閉空間氣流連續性原理，吸入氣體和排氣氣體在數值上是等量的，則第二級吸入氣體壓力為兩級間氣體壓力，可由下式得出

p1dV1d=p2sV2s

(2)

式中，p1d,p2s—— 第一級排氣壓力、第二級吸氣壓力

V1d,V2s—— 第一級排氣腔容積、第二級吸氣腔容積

2.2 工作腔內壓力

各工作腔容積逐漸變小導致吸入氣體逐漸被壓縮，進而導致各工作腔內的氣體壓力不同。根據氣體狀態方程知pVk=定值，第i個工作腔內氣體壓力可由下式求解[11]：

(3)

式中，k—— 氣體的等熵指數

Vi—— 第i個工作腔容積

pi—— 第i個工作腔氣體壓力

根據上述分析可以計算得到各工作腔內的壓力分布情況，如表2所示。計算結果表明，第一級工作腔內壓力變化較小，變化波動近似為1，第二級工作腔壓力變化波動為2.8倍左右。

表2 各工作腔內壓力分布 MPa

2.3 渦旋齒受力分析

渦旋齒受到的氣體力可以分解為徑向氣體力、切向氣體力和軸向氣體力[12]。軸向氣體力影響軸向間隙的大小，導致氣體沿徑向方向泄漏。方向沿主軸方向，其大小為：

(4)

式中，θ*—— 排氣角

ps—— 吸氣壓力

切向氣體力作用于內外兩側不同名稱工作腔的渦旋齒上，集中分布在渦旋齒一側，方向垂直于動定渦旋盤基圓中心連線，其大小為：

(5)

法向氣體力作用在渦旋齒齒面的寬度等于基圓直徑，方向平行于動定渦旋盤基圓中心連線，其大小為：

(6)

對于雙級渦旋盤，選取4種特殊的主軸轉角，分別對第一級、第二級渦旋盤受到的氣體力計算分析。選取穩定狀態下的吸氣壓力ps=0.01 MPa[13]，排氣壓力pd=0.1 MPa，根據以上計算得到渦旋盤受到的氣體力，計算結果如表3所示。

表3 氣體力計算結果

3 有限元分析模型

3.1 控制方程

在靜力結構分析中，忽略與時間相關的量，可以得到力學方程[14]:

Ku=F

(7)

式中，K—— 剛度矩陣

u—— 單元位移矢量

F—— 力載荷矢量

渦旋盤單元內部任一點的位移量可由節點位移表示:

u=Nd

(8)

式中,N—— 形狀函數

d—— 節點位移矢量

應力-應變關系可用如下矩陣表示：

(9)

式中，E—— 彈性模量

μ—— 泊松比

σ—— 應力矩陣

ε—— 應變矩陣

變形量方程:

(10)

(11)

式中，ur—— 徑向變形量

ua—— 軸向變形量

ux,uy,uz—— 在X,Y,Z3個方向的變形分量

3.2 材料屬性與網格

渦旋盤的材料為鑄鋁合金，彈性模量為72 GPa，泊松比為 0.33，密度為2700 kg/m3。網格劃分采用機械結構中的自由網格劃分，選擇三維20節點單元類型，最小單元尺寸設置為2 mm。

3.3 約束條件

分析模型的徑向為OXY平面，齒高方向為Z向，在ANSYS中位移約束條件為：定渦旋盤內孔壁X,Y方向自由度為0°，上表面和下表面Z方向自由度為0°。將表3的計算結果施加在渦旋盤的相應位置上，法向和切向氣體力施加在渦旋齒齒面上，軸向氣體力施加在渦旋盤底面上。

3.4 誤差分析

由真空泵的工作機理可知，各工作腔內的氣體低于標準大氣壓，氣體分子做無規則的運動，氣體壓力的方向存在于工作腔內的各個方向。表3中的3種氣體力分量是分布在工作腔內的平行力系，對工作腔內施加的載荷是理想化的載荷。

4 ANSYS計算結果分析

4.1 第一級定渦旋盤結果分析

第一級定渦旋盤工作時，由渦旋盤中心開始吸氣，3個吸氣腔依次工作，經外圓周側排氣，氣體流動路徑是由齒頭至齒尾。本研究選取4個關鍵位置的主軸轉角作為研究對象，分別是0°，30°，60°，90°。其等效應力云圖如圖3所示。

圖3 第一級定渦旋盤等效應力云圖

從應力云圖可以看出，第一級定渦旋盤在4個主軸轉角下每條渦旋齒受力比較均勻，每條相鄰渦旋齒之間相差60°相位差。氣體由吸入到排出的過程處于氣體膨脹過程，兩級間氣體壓力要高于排氣腔內氣體壓力，排氣開始時，排氣腔內氣體“欠壓縮”導致兩級間氣體返流至排氣腔內。選擇其中一條渦旋齒由齒頭到齒尾劃分成“a”“b”“c”3段，“a”段應力值無明顯變化；“b”段應力值明顯增大，但變化過程平穩，展開角大約120°左右；“c”段應力值無明顯變化。利用軟件中的點探測功能得到總體上齒頭處應力值略小于齒尾，齒根處的應力值大于齒頂處。最大等效應力值發生在齒尾處，此時排氣腔的終止嚙合點位于齒尾，最大等效應力值大小約為0.56 MPa。提取3條渦旋齒其中一條齒頂型線的位移變形量，沿渦旋型線展開角負方向展開，生成變形量曲線如圖4所示。

圖4 第一級定渦旋齒變形量曲線

最大徑向變形量位置在渦旋齒齒尾，發生在排氣開始時，此時排氣腔內壓力是工作腔在整個周期的最小值，渦旋齒受到的氣體力最大，最大徑向變形量大小約為0.41 μm。第一級的吸氣過程由三頭渦旋齒交替完成，在主軸轉角30°時，變形量曲線由齒頭至齒尾先變大后變小，在弧長200 mm時達到極值。其他3種主軸轉角，在弧長0～160 mm范圍內，此時吸氣腔與排氣腔的壓力差較小，導致變形量曲線變化平緩；其中在弧長160～230 mm時，變形量發生突變，對于單條渦旋齒來說，渦旋齒一側壓力由吸氣壓力變化為兩級間壓力；在弧長230～400 mm時,變形量曲線平穩變化；在弧長400～500 mm范圍內，變形量發生明顯變化，由排氣腔與外圓周側氣體壓力變化導致變形量波動。在主軸轉角30°時，軸向變形量總體上為正向，此時排氣過程結束，兩級間氣體返流至排氣腔內；其他3種轉角軸向變形量外圓周側變形大于中心側，型線弧長在200 mm左右時為變形量正負向變形的分界點，最大正向變形量約為0.025 μm，負向變形量約為0.040 μm。

4.2 第二級定渦旋盤結果分析

對于第二級的定渦旋盤，氣體由吸氣腔吸入，逐漸壓縮至排氣腔排出，氣體流動路徑由齒尾至齒頭。本研究選取4個特定的主軸轉角作為研究對象，分別是0，90°，180°，270°，等效應力云圖如圖5所示。

圖5 第二級定渦旋盤等效應力云圖

從應力云圖可以看出，等效應力較大值主要集中在排氣腔內，其余工作腔應力變化均勻且應力值較小，齒根處應力值大于齒頂。渦旋齒上的應力分布主要由切向氣體力和法向氣體力共同作用，在主軸轉角90°時，齒頭齒根處的等效應力值最大，大小約為1.21 MPa。從吸氣腔到排氣腔工作腔容積變小，進而導致齒頭受到的氣體力較大，齒頭處的應力值遠大于齒尾處。渦旋齒上的應力非連續性分布，應力較大值集中分布在渦旋盤的切向方向，且渦旋齒上的應力分布隨著主軸轉角變化轉過同樣的角度，切向力是影響渦旋齒應力分布的主要因素。提取單頭渦旋齒齒頂型線的變形量，沿渦旋型線展開角負方向展開，生成變形量曲線如圖6所示。

圖6 第二級定渦旋齒變形量曲線

徑向變形量是由平面方向的變形量合成得到，從變形量曲線可以看出，渦旋齒齒頭的變形量大于齒尾，4個工作腔與其相鄰的工作腔氣體壓力不同導致氣體力發生變化，在4種主軸轉角下的每條徑向變形量曲線都有4個明顯的波動。在主軸轉角90°時，齒頭處變形量曲線發生突變，此時渦旋齒齒頭處和排氣通道相通，排氣腔內的壓力達不到排氣壓力，外界氣體返流至排氣腔內，齒頭受到的氣體力較大，故最大變形量位置在齒頭處，大小約為0.63 μm。每次波動的極大值點不同是因為兩兩相鄰工作腔的氣體壓力不同導致氣體力不同；每次波動的極小值點是渦旋齒內外兩側受相同的氣體壓力時，此時氣體力對渦旋齒變形的影響較小。軸向變形量主要發生在齒頭處，其中最大正向變形為0.11 μm，最大負向變形為0.03 μm。對于渦旋真空泵來說，軸向間隙的密封方式是在渦旋齒頂處放置1個彈性密封件，以達到動密封的效果。氣體力使渦旋齒軸向發生變形，使動定渦旋盤的軸向間隙變得不均勻，在軸向變形的位置上改變密封材料的高度可以抵消變形對軸向間隙的影響，達到更好的密封效果，并減少不必要的功率損耗。綜上所述，最大變形位置發生在排氣腔內，尤其是齒頭處的變形直接影響真空泵的抽氣性能。

5 結論

本研究針對雙級串聯渦旋真空泵在穩定的工作狀態下，內部氣體流動狀態平穩，結合氣流連續性的特點，分析了串聯模型兩級間的氣體壓力情況，由此得到第一級、第二級各自的吸氣壓力。分別計算4種轉角下第一級、第二級渦旋齒受到的氣體載荷，通過有限元分析得到雙級渦旋齒的應力分布和變形規律，有如下結論：

(1)雙級串聯渦旋真空泵，第一級氣體由渦旋盤內側向外周側流動，氣體處于“膨脹”的流動過程，壓縮比近似于1。第二級氣體流動由外圓周側向內側流動，壓縮比近似為2.8。兩級間氣體流動處于封閉空間的連續過程，兩級間的氣體壓縮比約為1.7；

(2)第一級、第二級渦旋齒在齒高方向上齒根處應力值大于齒頂，第一級三頭渦旋齒應力分布較為均勻，齒尾處應力值略大于齒頭。第二級單頭渦旋齒齒頭處應力值遠大于齒尾，應力較大值主要分布在排氣腔內。氣體力對渦旋齒變形的影響主要體現在徑向變形上，對軸向變形的影響較小。在徑向間隙設計值的基礎上，應考慮氣體力對渦旋齒的影響，在加工時應考慮下偏差至少0.62 μm，以保證真空泵正常工作；

(3)使用密封材料對渦旋齒軸向密封時，需要考慮密氣體力對軸向變形的影響，且氣體力對第二級的軸向間隙的影響是第一級的2.75倍。第一級的軸向變形較小，密封條高度按設計標準不變。第二級的密封條在設計標準的基礎上，由齒尾到齒頭密封條高度線性減少0.11 μm，可有效防止在氣體力作用下導致密封條壓力過大或者增加泵的能耗。