基于增廣最小二乘法的氣動位置控制系統參數辨識研究

權 寧

(徐州工業職業技術學院 機電工程學院，江蘇 徐州 221000)

引言

氣動位置控制系統以壓縮空氣為動力源，系統具有清潔無污染、結構安裝方便、操作方便易維護等優點，在裝備制造、自動化、工業機器人等工業領域有著廣泛應用[1-3]。但是受到氣缸摩擦力、氣體可壓縮性、氣體流量的非線性等諸多外界因素的干擾與影響，致使氣動控制系統的連續性和控制精度存在很大問題。基于上述氣動控制系統的特點，針對氣體流量的非線性、氣缸的摩擦力等做了大量研究，并在工業機器人碼垛、氣動機械手等領域得到應用[4-5]。

1 系統組成與原理

氣動位置控制系統主要由氣缸、比例流量閥、位置傳感器、數據采集卡以及PC組成[8-9]，其主要參數詳見表1所示，氣動位置控制系統模型如圖1所示。

表1 主要元器件型號與參數

圖1 氣動位置控制系統模型

首先，氣動位置控制系統需要PC發出需要跟蹤的數字量控制信號，經D/A 轉換為模擬信號后驅動比例閥，其調整閥口開合度以達到控制兩腔壓力，達到控制氣缸活塞左右移動的目的。位置傳感器檢測到的活塞位移信號經A/D轉換成數字信號反饋給PC；然后與給定的輸入控制信號進行比較得出偏差控制量，再根據偏差控制量調節比例閥的開合度，從而實現對氣動位置控制系統給定信號的追蹤。

2 數學建模

為便于氣動位置控制系統的數學建模，其工作過程中，假設介質為理想氣體、氣缸無泄漏、容腔內氣體壓力與溫度處處相等、氣體流動為等熵絕熱過程等。氣動伺服系統如果以比例閥輸入為整個系統的輸入，以滑塊位置為系統的輸出，可以利用氣動系統原理建立輸入輸出間的分析模型，建模包括流量連續方程、氣缸力平衡方程、比例閥口流量方程[10-12]。

2.1 流量連續性方程

根據質量守恒定律，氣缸的容腔單位時間里流入或流出的質量流量等于其質量變化率：

(1)

(2)

式中，qm1,qm2—— 氣體流入氣缸兩腔的質量流量

m1,m2—— 氣缸兩腔的氣體質量

ρ1,ρ2—— 氣缸兩腔的氣體密度

V1,V2—— 氣缸兩腔的氣體體積

2.2 氣缸力平衡方程

根據牛頓第二定律可得：

(3)

式中，m—— 活塞和負載的總質量

BL—— 負載的黏性阻尼系數

KL—— 負載的彈簧剛度

FL—— 外負載力

A—— 活塞截面面積

p1,p2—— 氣缸兩腔絕對壓力值

其中式(3)摩擦力模型已簡化：

2.3 比例閥流量方程

當比例閥的兩腔體內氣壓不同時，必然會導致氣體由高壓腔向低壓腔體流動。根據McCloy和BOBRO提出的閥孔質量流動理論[12-13]，建立以下方程：

(4)

式中，k—— 定壓比熱和定容比熱之比

λ—— 修正指數，一般取λ=0.25

Cf—— 臨界壓力比

R —— 氣體常數

Ts—— 環境溫度

ps—— 比例閥的進口壓力

p—— 比例閥的出口壓力

A(u)—— 比例閥開口面積，由控制信號u來控制將此信號做為二次函數A(u)=k1u2+

k2u

本系統所選用的比例閥兩腔開口量相同，因此由比例閥口面積公式得氣缸的壓力流量方程：

(5)

C2=Cf2;f2(p2)=(ps-p)λ, 其中p一般為大氣壓。

通過上述方程可知該氣動系統屬于非線性系統，為便于對系統做定性分析，需要對該系統進行局部線性化處理。

對式(5)比例閥流量方程可做線性處理得：

(6)

聯立式(1)～式(6)方程進行拉氏變換，得到該系統的輸入u與輸出y的傳遞函數為：

(7)

3 系統辨識

3.1 系統階次辨識

1)對于白噪聲SISO過程模型如下：

(8)

式中，u(k)，z(k)—— 過程的輸入輸出變量

根據極大似然估計可知AIC準則：

(9)

參數的θn和噪聲v(k)方差的極大似然估計值為：

(10)

L—— 數據長度

2)對于有色噪聲SISO過程模型如下：

(11)

式中,u(k),z(k)—— 過程的輸入輸出變量

根據AIC準則原理，可得其對應的準則函數為：

(12)

聯立上式(8)～式(12)，根據AIC定階原理，找到使得AIC(n,m)最小的n,m即為氣動位置控制系統模型階次的估計值。

3.2 增廣最小二乘法的系統參數辨識

在氣動位置控制系統參數測試數據包括了噪聲，采用最小二乘法可以有效對白噪聲實現參數的無偏估計，但對有色噪聲無法實現參數的無偏估計。增廣最小二乘法擴充了參數向量和數據向量的維數，在辨識過程中考慮了噪聲模型的參數，可有效實現對有色噪聲的無偏估計，通過D(z-1)可將噪聲集提到待觀測序列中，從而實現了有色噪聲到白噪聲的轉化，最終運用最小二乘法來進行求解。

增廣最小二乘法中的噪聲模型是平均滑動模型：

A(z-1)z(k)=B(z-1)u(k)+D(z-1)v(k)

(13)

在v(k)未知的情況下，采用增廣最小二乘的遞推算法(RELS)如下：

(15)

4 實驗結果與分析

通過實驗發現，采樣時間過長會直接影響模型的精度，采樣時間過短則會因出現硬件速度和數值計算病態，嚴重影響模型靜態增益的估計值。實驗辨識中數據的長度會影響硬件的速度和數值計算以及系統的結構特性；數據較長，對硬件的速度和數值計算要求較高；數據太短，則會因丟失信號信息，導致系統結構不健全。因此，本實驗采樣時間設定為10 ms，辨識過程設定數據長度為1000。

通過實驗驗證當對幅值為1000的7級逆M序列的數據系統辨識，通過實驗驗證對于白噪聲模型階次為3；對于有色噪聲模型階次辨識，最小值為AIC(3,3)，因此該過程模型階次為3，噪聲模型階次為3。幅值L(ω)為1000的模型參數辨識詳見表2，辨識參數迭代過程如圖2所示。

表2 幅值為1000的模型參數辨識

圖2 幅值為1000的辨識參數迭代過程

通過實驗驗證當對幅值為1200的7級逆M序列的數據系統辨識，通過實驗驗證對于白噪聲模型階次為3；對于有色噪聲模型階次辨識，最小值為AIC(5,3)，因此該過程模型階次為5，噪聲模型階次為3。幅值為1200的模型參數辨識詳見表3，辨識參數迭代過程如圖3所示。

表3 幅值為1000的模型參數辨識

圖3 幅值為1200的辨識參數迭代過程

首先，通過幅值1000長度的數據辨識系統，以得出該系統模型；然后，將剩余1000長度的數據作為系統的輸入加入到新的系統模型中；最后，將系統模型的估計值與系統的實際輸出數據做比較。由圖4可知辨識得到的系統加上輸入后，新的輸出估計值與系統實際的輸出曲線具有較好的一致性，說明該模型穩定性高。

圖4 系統模型驗證

5 結論