重推理強運算 落實學科育人

欒功

[摘 要]試題的命制不僅是教學檢測和教育評價的重要環節，也是落實學科育人的有效途徑.通過剖析模擬題命制的過程，能為高三數學教學落實學科育人提供參考.

[關鍵詞]學科育人;解析幾何;模擬題;命題

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）26-0001-04

2019年，教育部明確提出要立足全面發展育人目標，構建“核心價值、學科素養、關鍵能力、必備知識”在內的高考考查內容體系.《中國高考評價體系》的發布進一步健全了“立德樹人”的落實機制，為教育評價和全面育人提供了重要依據.

數學育人要用數學的方式進行，數學的知識結構、思維方式和符號化表達正是數學的特點所在，邏輯性強，簡明而精確，具有四兩撥千斤的功效.數學育人就是要體現數學的這種特點.數學育人的基本途徑是對學生進行系統的思維訓練，而訓練的基本手段是讓學生進行邏輯推理和數學運算.推理的嚴謹性和簡潔性，運算的正確性，算法的有效性，對發展學生的數學思維，培養學生的科學精神大有裨益.解析幾何內容在高中數學課程中占有重要地位，體現數與形的和諧統一，也是綜合考查學生邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養的重要載體.下面筆者以一道南寧市2020屆高三一模解析幾何試題的命制過程為例，說明高三數學教學如何落實學科育人.

一、試題呈現

原題：（南寧市2020屆高三一模理20題或文21題）已知橢圓C：[x24+y2b2=10<b<2]的離心率為[12]，[F]為橢圓的右焦點，[PQ]為過橢圓中心[O]的弦.

（1）求[△PQF]面積的最大值;

（2）動直線l：[y=12x+t]與橢圓[C]交于[A]，[B]兩點，證明：在第一象限內存在定點[M]，使得當直線[AM]與直線[BM]的斜率均存在時，其斜率之和是與[t]無關的常數，并求出所有滿足條件的定點[M]的坐標.

二、試題評析

（一）試題背景與題源

《中國高考評價體系》系統論述了“為什么考、考什么、怎樣考”的問題，其中“一核”為核心功能，即“立德樹人、服務選材、引導教學”，體現在高三數學模擬試題命制中的一個重要目標就是“引導教學”，旨在引導高三數學教師對課本例題、習題進行深入挖掘，加強對歷年高考真題的解法研究與規律探究，在通性通法的基礎上創造性地使用教材和高考真題，重視“四基”的落實和“四能”的提高，逐步提高學生的解析幾何素養.

命題背景1 （圓錐曲線共軛弦性質）：如圖1，設點[Ax0， y0]是對稱軸平行于坐標軸的定圓錐曲線（包括圓、橢圓、雙曲線和拋物線）Г上一定點，[E]，[F]是Г上兩個動點，若直線[AE]，[AF]的斜率互為相反數，則直線[EF]的斜率存在時為定值，等于曲線Г在點[A]處切線的斜率的相反數.

（1）當曲線Г是有心圓錐曲線時，設方程統一形式為[λx2+μy2=1]（[λμ≠0]），則[kEF=λx0μy0y0≠0];

（2）當曲線Г是拋物線時，可設[C]：[y2=2pxp≠0]，則[kEF=-py0]或[C]：[x2=2pyp≠0]，則[kEF=-x0p].

題目1：（2009年遼寧省高考理20）如圖2，已知橢圓[C]過點[A1，32]，兩個焦點為[-1， 0]，[1， 0].

（1）求橢圓[C]的方程;

（2）[E]，[F]是橢圓[C]上的兩個動點，如果直線[AE]的斜率與[AF]的斜率互為相反數，證明直線[EF]的斜率為定值，并求出這個定值.

題目2：（2004年北京卷理17）如圖3，過拋物線[y2=2pxp>0]上一定點[Px0， y0y0>0]，作兩條直線分別交拋物線于[Ax1， y1]，[Bx2， y2]，當直線[PA]與[PB]斜率存在且傾斜角互補時，求[y1+y2y0]的值，并證明直線[AB]的斜率是非零常數.

題目3：（2016年浙江省預賽17）已知橢圓[C]：[x2a2+y2b2=1a>b>0]，經過點[P3，165]，離心率為[35]，過橢圓[C]的右焦點作斜率為[k]的直線[l]，交橢圓于[A]，[B]兩點，記[PA]，[PB]的斜率為[k1]，[k2].

（1）求橢圓的標準方程;

（2）若[k1+k2=0]，求實數[k].

命題背景2：在圓錐曲線中以兩直線的傾斜角互補或者兩直線斜率之和的關系構圖來考查學生數形結合思想、邏輯推理能力、數學運算能力等，這在近年全國卷中多次呈現.

題目4：（2017年新課標Ⅰ卷）已知橢圓[C]：[x2a2+y2b2=1a>b>0]，四點[P11， 1]，[P20， 1]，[P3-1，32]，[P41，32]中恰有三點在橢圓[C]上.

（1）求[C]的方程;

（2）設直線[l]不經過[P2]點且與[C]相交于[A]，[B]兩點，若直線[P2A]與直線[P2B]的斜率之和為[-1]，證明：直線[l]過定點.

（二）命題預設

1.考查目標擬定

解析幾何兼具“數”與“形”的統一，主要思想方法是通過點的坐標運算揭示“形”所蘊含的數學本質.試題的命制立足高考評價體系，以“一核四層四翼”為指導，重點考查學生的直觀想象能力、邏輯推理能力、數學運算能力以及分析問題和解決問題的能力.

具體的考查目標設定為利用已知條件求圓錐曲線的方程，并由方程和其他幾何條件（性質）求解與曲線有關的幾何關系問題.考查的本質是選擇一條直線和一條曲線（其中一條含參數），從坐標平面上的特殊點出發引發直線，選取適當的參數值，提出并解決與其中的線段或角有關的幾何關系問題.

2.命題實測與打磨

題目主干預設為已知一條直線和一條圓錐曲線的方程（其中一個含參數）以及相應的幾何條件.（1）求含參曲線的方程（或求圓錐曲線的相關特征量，如離心率等）;（2）求幾何量范圍或定點、定值問題.

試題第（1）問設計了過橢圓中心[O]的動直線交橢圓于[P，Q]兩點的背景，求[△PQF]面積的最大值.學生通過對這一簡單背景的認識，可以從不同角度入手求解[△PQF]面積的最大值.第（1）問是直線與橢圓最基本的一個問題，考查學生解析幾何的基礎知識和基本方法，試題命制基于中國高考評價體系，同時體現了對高三學生的人文關懷，突出體現了試題的基礎性.

試題第（2）問基于題源與背景的規律性，經歷了三次實測研討與打磨，最終依據命題中心組教師對試題所體現的核心素養考查綜合評價（見表1）的獨立打分與集體研討，選擇了以素養導向創新設計的開放探索性問題.即動直線[l]：[y=12x+t]與橢圓[C]交于[A]，[B]兩點，探索橢圓[C]上是否存在定點[M]，使得當直線[AM]與直線[BM]的斜率均存在時，其斜率之和是與[t]無關的常數.試題以探索性的開放形式呈現，著重考查考生的邏輯推理能力、數學運算能力、分析問題和解決問題的能力，考查學生的理性思維、數學應用和數學探索素養，具有一定的區分度.

以下是試題第（2）問三次實測與命題中心組成員研討修改的過程.

命題1 ：如圖4，已知橢圓[C：x24+y23=1]，斜率為[12]的直線[l]與橢圓[C]交于[A]，[B]兩點，點[Q1，32]在直線[l]的左上方，求證：[△QAB]內切圓的圓心在定直線[x=1]上.

立意：命題以第（1）問為基礎，引入內切圓對知識情境進行了創新，要證[△QAB]內切圓的圓心在定直線[x=1]上，即證直線[x=1]是[∠AQB]的角平分線，從而問題轉化為求證[∠AQF=∠BQF]，即證明[kQA+kQB=0].

實測與研討： 試題的優點是引入了內切圓的知識情境.但優點有時候恰是缺點，試題的卡點在于學生對內切圓的理解.如果能順利把問題轉化為證明直線[x=1]是[∠AQB]的角平分線，那么問題就會迎刃而解;如果學生對內切圓圓心理解不到位，問題得不到轉化，那么這個題目就會出現難以下筆的可能.在一?？荚囍屑纫疾閷W生的數學學科素養，也要兼顧學生學習數學信心的培育.綜合研討后開始了第二次試題優化.

命題2：如圖5，已知橢圓[C]：[x24+y23=1]，[A]為橢圓的右端點，[PQ]為過橢圓中心[O]的弦，[PQ=2QA]，設[M]，[N]是橢圓上位于直線[AP]同側的兩個動點（異于[A]，[P]），且滿足[∠MQP=∠NQA]，試討論直線[QM]與直線[QN]斜率之間的關系，并求證直線[MN]的斜率為定值.

立意：命題2在命題1的基礎上簡化了知識情境，通過創新引入橢圓上兩點[M]，[N]，用[∠MQP=∠NQA]替換了內切圓隱含的角平分線性質.難度有所降低，解法的得出也顯得較為順利，依據題意可得[Q1， 32]，則直線[QF⊥x]軸，從而[∠MQP=∠NQA]，即[∠MQF=∠NQF]，故問題轉化為已知[kMQ=-kNQ]，求證[kMN]為定值.試題重點考查學生的邏輯推理能力，數學運算主要是對點的表達，用“知一求一”和同構方法可優化運算.

實測與研討：命題2在命題1的基礎上簡化了知識情境，降低了直觀想象和邏輯推理的要求，題目入手相對容易，接下來的數學運算目標明確，點的坐標求解方法不難.審題意見：一是總體區分度不夠;二是數學運算沒有障礙，因此需要進一步調整試題，在保證整體難度不變的前提下調整數學運算的難度.于是就有第三次對試題的優化與調整.

命題3：動直線[l]：[y=12x+t]與橢圓[C]：[x24+y23=1]交于[A]，[B]兩點，證明：在第一象限內存在定點[M]，使得當直線[AM]與直線[BM]的斜率均存在時，其斜率之和是與[t]無關的常數，并求出所有滿足條件的定點[M]的坐標.

立意：命題3在命題2的基礎上做了題設和結論的對調，試題由確定性問題變為開放性問題，通過設點來討論含有多個字母的式子運算，對考生運算能力的考查要求突出.

實測與研討： 解析幾何大題作為壓軸題出現，既要體現綜合性又要兼顧基礎性，既能讓更多的學生入手，又具有選拔的功能，這就對試題區分度的要求很高.因此命題3在命題2的基礎上做了題設和結論的對調，通過給出動直線[l]：[y=12x+t]的方程，探求定點問題.試題降低了對直觀想象和邏輯推理的要求，加強了數學運算的要求，命題3相比命題1、命題2起點低，區分度高，總體更為符合該題的難度和功能要求.

（三）試題解答與分析

1.試題解答

（1）設橢圓的半焦距為[c]，則[c2=a2-b2]，由[e=ca=c2=12]得[c=1]，故[b=3].

下面用不同解法求解[△PQF]面積的最大值.

解法1：如圖6，由橢圓的對稱性知，[S△PQF=S△QFO+S△PFO=2SQFO]，由題意知[OF=1]，點[Q]到直線[OF]的距離最大值為[b=3]，所以[S△PQF=bc=3]，故[△PQF]面積的最大值為[3].

解法2：由橢圓參數方程可設[Q2cos θ，3sin θ]，因為點[P]與點[Q]關于原點對稱，所以[S△PQF=2S△QOF].

所以[S△PQF=2×12×1×3sin θ=3sin θ≤3]，當[θ=π2]或[θ=3π2]時取等號.

解法3：設點[Qm， n]，[P-m，-n]，則直線[PQ]的方程為[nx-my=0].

[PQ=2m2+n2]，點[F]到直線[PQ]的距離[d=nm2+n2].

所以，[S△PQF=12PQd=12?2m2+n2?nm2+n2=n ].

因為點[Q]是橢圓上任意一點，則有[0≤n≤3]，所以[S△FAB=n≤3].

所以，當[n=3]時，[△PQF]面積的最大，最大值為[3].

解法4：設點[Qm， n]，因為點[P]與點[Q]關于原點對稱，所以[S△PQF=2S△QOF=2×12×OF×n=n]，因為點[Q]是橢圓上任意一點，則有[0≤n≤3]，所以[S△FAB=n≤3].所以，當[n=3]時，[△PQF]面積的最大，最大值為[3].

點評：本題第（1）問的命制更加注重基礎知識的鞏固與理解，主要考查了直線和橢圓的基本概念、直線和橢圓的位置關系、橢圓的基本性質與三角形面積的計算，主要思維障礙在于△[PQF]面積的表達，要從圖形入手結合橢圓的對稱性轉化△[POF]的面積，借助圖形或者坐標運算來表達求解，而這正是求解第（1）問的卡點所在，也是筆者精心設計此題的亮點所在.從學生的答題情況來看，文科生得分率很低，他們習慣了刷題求解橢圓方程的題目，當第（1）問改變了考法，他們的應變能力和分析問題與解決問題的能力欠缺，建議文科班加強基礎知識的鞏固教學，增加適當的變化訓練.相比文科生，理科生第（1）問的答題情況較好，大部分學生可以順利解答.數學尖子生的答題書寫規范，且能用多種方法求面積的最值，基本達到了命題預設目標.

（2）由（1）知橢圓[C]：[x24+y23=1]，設[Ax1，12x1+t]，[Bx2，12x2+t]，[Mm， n]，[y=12x+t]代入[x24+y23=1]得[x2+tx+t2-3=0]，則有[x1+x2=-t]，[x1x2=t2-3]，

直線[AM]與直線[BM]的斜率之和[kMA+kMB=n-12x1-tm-x2+n-12x2-tm-x1m-x1m-x2=n-32mt+2mn-3t2+mt+m2-3]為與[t]無關的常數，可知當[n=32m]，[2mn=3]時斜率的和為[0]，解得[m=1，n=32]或[m=-1，n=-32.]（舍去）

綜上所述，所有滿足條件的定點[M]的坐標為[1， 32].

點評：第（2）問命制開放式的探索性問題，符合由能力立意到素養導向的課程改革要求，也是筆者再三考慮調整后命制第（2）問的亮點所在.難點在于運算，對于斜率之和式子的化簡需要扎實的基本功和運算信心.從學生答題來看，學生懂解析幾何大題的答題步驟方法，會聯立方程寫出韋達定理，準確寫出斜率表達式，絕大部分學生卡在對斜率表達式的代數變形環節，再次說明了學生的運算能力和運算信心不足.在解析幾何教學中，教師要有意識地訓練學生的運算能力，提升學生的數學運算素養.

三、教學建議

（一）重視基礎，強化運算

數學運算是數學能力的著重體現之一，不論大中小學生，幾乎都是談“算”色變.其實“數學運算”并沒有那么可怕，尤其是作為核心素養的數學運算不單是考查學生的運算功底，而且是考查學生對運算對象的理解、運算法則的掌握、運算思路的設計，考查學生通過設計合理的運算方法和有效的運算途徑來解決實際問題的能力.如文章中出現的求證直線[EF]的斜率為定值，那么思路自然是探索點[E ， F]的坐標如何表示.在課堂實踐中發現許多學生習慣于設直線[EF]的方程為[y=kx+m]，和橢圓聯立后借助韋達定理消參.實踐證明，這樣的消參方法運算量很大，很多學生都卡在了消參環節.若在思考運算對象[E]，[F]的坐標表示，不難發現點[E]，[F]都是過點[A1，32]的兩條直線與橢圓的交點，發現這兩個點是同構特征，只需要求出點[E]便可得到點[F].再來看點[E]，其為直線[AE]與橢圓的另一交點，而其中一個交點[A]已知，故可以知一求一，這樣將在很大程度上優化運算方法，提升學生的思維品質.

（二）研究課標，提升素養

《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出了中學生數學學科六大核心素養，并明確數學教育教學要以發展學生的數學學科核心素養為導向.具體體現在解析幾何大題中就是通過命制試題考查學生的邏輯思維能力，通過數學運算和實踐探索來考查學生的數學應用素養.總之，數學課程標準的核心素養與高考評價體系的學科素養和高考數學科學生素養相輔相成，有機統一，教師應通過有效教學途徑來培育學生的核心素養，落實學科育人的任務.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 史寧中，王尚志.普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018：11.

[2]? 教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2019：11.

[3]? 教育部考試中心.高考試題分析：理科數學分冊[M].北京：高等教育出版社，2020：1.

[4]? 任子朝，趙軒.基于高考評價體系的數學科考試內容改革與實施路徑[J].中國考試，2019（12）：27-32.

（責任編輯 黃桂堅）