基于幾何畫板的課例研究

顧思義

[摘 要]將現(xiàn)代信息技術(shù)與課堂教學(xué)相融合是時(shí)代對(duì)教師的新要求，而具有創(chuàng)造功能的幾何畫板是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要工具之一.運(yùn)用幾何畫板輔助教學(xué)，能提高教學(xué)直觀性，提高教學(xué)效率.

[關(guān)鍵詞]一次函數(shù);幾何畫板;信息技術(shù)

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）26-0012-02

《一次函數(shù)》是蘇科2011年版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容，《一次函數(shù)的圖像》是該章第三節(jié)的內(nèi)容.在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過函數(shù)和一次函數(shù)，知道表示函數(shù)的方法有三種，即表格法、圖像法和解析式法.在以后的學(xué)習(xí)中，會(huì)接觸到反比例函數(shù)、二次函數(shù)等相關(guān)函數(shù)知識(shí).因此，一次函數(shù)的學(xué)習(xí)具有承上啟下的重要作用，既能加深學(xué)生對(duì)函數(shù)內(nèi)涵及外延的理解，又是學(xué)生學(xué)習(xí)其他特殊函數(shù)的基礎(chǔ).《一次函數(shù)的圖像》則是重中之重.從整冊(cè)教材來(lái)看，這是學(xué)生在學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系后第一次真正意義上地運(yùn)用坐標(biāo)系來(lái)畫函數(shù)、研究函數(shù)，是學(xué)生對(duì)畫函數(shù)圖像的初步嘗試和方法總結(jié)，是用數(shù)形結(jié)合思想掌握一類函數(shù)性質(zhì)的高效實(shí)踐.從本章內(nèi)容來(lái)看，學(xué)習(xí)圖像有助于對(duì)一次函數(shù)的了解，并為后續(xù)深入應(yīng)用一次函數(shù)解決問題做好鋪墊.而幾何畫板作為一個(gè)專業(yè)的畫圖軟件，既可以用來(lái)畫幾何圖形和函數(shù)圖像，又可以動(dòng)態(tài)演示圖形變換過程，且保持幾何關(guān)系不變，為探究幾何圖形和函數(shù)圖像提供了奇妙的探究情境，是數(shù)學(xué)課堂生動(dòng)、富有趣味地開展的重要媒介.

一、運(yùn)用幾何畫板探究新知

《一次函數(shù)的圖像》的教學(xué)目標(biāo)主要有兩部分，一部分是學(xué)生學(xué)會(huì)畫一次函數(shù)的圖像，總結(jié)出畫函數(shù)圖像的基本方法，并會(huì)用兩點(diǎn)法畫一次函數(shù)的圖像;另一部分借助一次函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合來(lái)理解一次函數(shù)的性質(zhì).下面就將從這兩個(gè)方面思考怎么讓幾何畫板融入教學(xué)，服務(wù)于課堂.

第一節(jié)課，不妨就以教材“香燃燒”的例子引入，可播放提前錄制的香燃燒的微視頻增加學(xué)生的興趣，繼而展示書本上的幾組圖片，通過填寫表格，求解析式[y=16-0.8x]，得出“香的長(zhǎng)度是時(shí)間的函數(shù)”的結(jié)論.我們是以表格和解析式兩種方式來(lái)表示函數(shù)的.進(jìn)一步將香的頂端連接，發(fā)現(xiàn)端點(diǎn)在同一直線上.如何將函數(shù)的表示引入到圖像階段，開展新課教學(xué)？此時(shí)，可運(yùn)用幾何畫板直觀展示這些特殊時(shí)刻的端點(diǎn)在同一直線上.學(xué)生不難理解連接端點(diǎn)所得線段上的每一點(diǎn)都表示該時(shí)刻香的長(zhǎng)度.故可借助幾何畫板將無(wú)數(shù)個(gè)時(shí)刻所分別對(duì)應(yīng)的香的長(zhǎng)度在已建立的平面直角坐標(biāo)系中描出來(lái)，進(jìn)而直觀展示出它們?cè)谕恢本€上，與解析式[y=16-0.8x]相結(jié)合，學(xué)生不難理解一次函數(shù)[y=16-0.8x]的圖像是一條直線（如圖1）.

第二節(jié)課，學(xué)生需要掌握的內(nèi)容有：①一次函數(shù)[y=kx+b（k≠0）]圖像的增減性與[k]的關(guān)系;②一次函數(shù)圖像的上下平移與解析式之間的聯(lián)系.這一節(jié)課的內(nèi)容較多，難度較大，利用幾何畫板，既能動(dòng)態(tài)展示突破難點(diǎn)，又能壓縮時(shí)間，提高效率.

對(duì)于增減性的問題，教師可事先在幾何畫板中畫出某一次函數(shù)的圖像，將其解析式標(biāo)注在旁，在轉(zhuǎn)動(dòng)該圖像的過程中，解析式也隨之發(fā)生變化.學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，一次函數(shù)圖像的增減性與b無(wú)關(guān).且當(dāng)[k>0]時(shí)，從左往右看，y隨x的增大而增大，圖像呈上升趨勢(shì);當(dāng)[k<0]時(shí)，從左往右看，y隨x的增大而減小，圖像呈下降趨勢(shì).對(duì)于上下平移的問題，教師只需標(biāo)記并追蹤圖像上的幾個(gè)點(diǎn)，由平移前后它們坐標(biāo)的變化及函數(shù)解析式的變化，讓學(xué)生總結(jié)發(fā)現(xiàn)：一次函數(shù)圖像上下平移，k值不發(fā)生變化，b值隨圖像向上平移加、向下平移減（如圖2）.

二、 如何實(shí)現(xiàn)幾何畫板的功能

1.一次函數(shù)的圖像是一條直線

首先建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，橫軸為時(shí)間，縱軸為香的長(zhǎng)度，依據(jù)表格信息，描出幾個(gè)點(diǎn)的位置，發(fā)現(xiàn)它們?cè)谕恢本€上.接著，設(shè)置隱藏按鈕將直線隱去，根據(jù)實(shí)際意義畫出圖像.我們知道香燃燒的時(shí)間x和香的長(zhǎng)度y滿足函數(shù)關(guān)系式[y=20-0.8x]，所以我們可以在幾何畫板中畫一條射線，在上面取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，度量其與射線端點(diǎn)的長(zhǎng)度，作為時(shí)間x的不同取值，以此為參數(shù)求出“[20-0.8x]”的值作為y，在坐標(biāo)系中畫出點(diǎn)（x，y）.點(diǎn)構(gòu)成線，隨著畫點(diǎn)數(shù)量的逐漸增多，[y=20-0.8x]這樣一條直線越來(lái)越清晰，為最后由特殊到一般得出“一次函數(shù)的圖像是一條直線”做直觀的視覺支持.

2.一次函數(shù)的增減性與k值之間的聯(lián)系

在這里最好設(shè)置兩個(gè)參數(shù)k和b，雖然增減性只與k有關(guān)，與b無(wú)關(guān)，但一次函數(shù)的表達(dá)式是由y和b一起決定的，因此引入兩個(gè)可變參量更能有力說(shuō)明.具體地，可直接在x軸上取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)并設(shè)置動(dòng)畫按鈕，分別度量其橫坐標(biāo)作為y和b的值，再以此來(lái)畫一次函數(shù)[y=kx+b]的圖像.在圖像與解析式共同變化的過程中，學(xué)生不難有所發(fā)現(xiàn).

3.一次函數(shù)圖像上下平移與b值的關(guān)系

與上面方法類似，這里也設(shè)置兩個(gè)參數(shù)k和b，并先作出初始圖像.設(shè)置第三個(gè)參數(shù)，作為直線上下平移的距離.在實(shí)際平移中，可以由初始圖像上兩個(gè)點(diǎn)的上下平移來(lái)得到平移后的圖像，再求出平移后直線的解析式.多次改變k或b的值，依據(jù)第三個(gè)參數(shù)和平移后得到的解析式，結(jié)論呼之欲出.

三、習(xí)題中幾何畫板的輔助作用

在例題講解與練習(xí)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到動(dòng)態(tài)問題.如果僅僅依靠板書很難展示動(dòng)態(tài)化的過程，憑空想象也不利于學(xué)生理解問題.此時(shí)，幾何畫板就能發(fā)揮其動(dòng)態(tài)演示的作用，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀、形象，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力.

[例1]在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，已知[A（-1， 0）]、[B（3， 0）]、[C（0，-1）]三點(diǎn)，[D（1， m）]是一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)[△ACD]的周長(zhǎng)最小時(shí)，[△ABD]的面積為 .

首先，如圖3（a），可以標(biāo)記y軸上某一動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，繪制并追蹤點(diǎn)[D（1， m）]，學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D是直線[x=1]上的動(dòng)點(diǎn).其次，如圖3 （b），標(biāo)記直線[x=1]，作出點(diǎn)[C（0，-1）]關(guān)于標(biāo)記直線的對(duì)稱點(diǎn)[C'（2，-1）]，具有[CD=C'D]，而[AC=2]，故[△ACD]周長(zhǎng)最小，只要[AD]與[C'D]的和最小即可.如圖3（c），在直線[x=1]上移動(dòng)點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)[AC']，發(fā)現(xiàn)[AD+CD≥AC']，可得圖3 （d），當(dāng)點(diǎn)A、點(diǎn)[C']、點(diǎn)[D]三點(diǎn)共線時(shí)，[△ACD]周長(zhǎng)最小，求出直線[AC']與直線[x=1]的交點(diǎn)坐標(biāo)D，即可求出[△ABD]的面積.

這一題中，學(xué)生會(huì)遇到以下幾個(gè)難點(diǎn)：（1）對(duì)點(diǎn)D所在的位置不清;（2）不明白當(dāng)點(diǎn)A、點(diǎn)[C']、點(diǎn)[D]三點(diǎn)共線時(shí)，[△ACD]周長(zhǎng)最小;（3）計(jì)算錯(cuò)誤.有幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示過程，前兩個(gè)難點(diǎn)容易解決，也為學(xué)生提供了解答這一類習(xí)題的思想方法.

四、幾何畫板運(yùn)用于教學(xué)的一點(diǎn)思考

幾何畫板用于一次函數(shù)的教學(xué)，是充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，有效幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知、理解新知.在課堂教學(xué)來(lái)看，這種新技術(shù)的運(yùn)用，除了能讓知識(shí)的啟發(fā)與傳遞更自然、廣博和深刻，更能調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官.對(duì)教師來(lái)說(shuō)，開發(fā)新的教學(xué)資源，提高教學(xué)效率，是職業(yè)能力提升的途徑之一.

在實(shí)際操作中，難度還是比較大的.一是對(duì)教師的能力要求較高，需要教師在充分把握教材的基礎(chǔ)上，會(huì)熟練運(yùn)用幾何畫板，做出適合于學(xué)生和教學(xué)的課件，不只是知識(shí)的簡(jiǎn)單呈現(xiàn);二是學(xué)生的層次性，課件如何讓每一位學(xué)生都能獲得思考和收獲，而不成為“看熱鬧”的工具，需要教師在實(shí)踐中努力探索.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）