巧借橢圓模型 妙解數(shù)學(xué)問題

朱雄周

[摘 要]橢圓作為一個數(shù)學(xué)的基本模型，在破解一些相關(guān)問題中有妙用.比如，解方程、三角的求值和實(shí)際應(yīng)用等問題.借用橢圓，能實(shí)現(xiàn)知識相通，巧妙轉(zhuǎn)化，開拓解題思路，優(yōu)化解題方法，提升學(xué)生解題能力.

[關(guān)鍵詞]橢圓;模型;方程;三角;應(yīng)用

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）26-0029-02

數(shù)學(xué)建模作為高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的一大內(nèi)容，是教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)中一大必備的技能.其是針對參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，概括或近似地表達(dá)出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是解決問題的一種重要途徑.巧妙借助橢圓模型，合理轉(zhuǎn)化，不僅有“化繁為簡” “化難為易”“化數(shù)為形”之功效，還能開拓學(xué)生思維，能豐富學(xué)生想象力.

一、方程的求解問題

[例1]解方程：[x2-4x+5+x2+4x+5=6].

分析：利用方程中兩根式之和為定值6，合理聯(lián)想到橢圓的定義，構(gòu)建橢圓模型，通過引入?yún)?shù)[y2=1]，結(jié)合題目條件建立相應(yīng)的橢圓方程，再將[y2=1]代入橢圓方程即可確定原根式方程的根.

解：整理可得[（x-2）2+1+（x+2）2+1=6]，

令[y2=1]，則有[（x-2）2+y2+（x+2）2+y2=6]，

以上方程表示的是動點(diǎn)[P（x， y）]到定點(diǎn)[F1（-2， 0）]與[F2（2， 0）]的距離之和為6的軌跡，結(jié)合橢圓的定義可知其對應(yīng)的軌跡為橢圓方程：[x29+y25=1]，

將[y2=1]代入以上方程，可得[x=±655].

經(jīng)檢驗可知[x=±655]是原方程[x2-4x+5+x2+4x+5=6]的根.

點(diǎn)評：常規(guī)方法是經(jīng)過兩次平方去根號求解，運(yùn)算量大，過程繁雜，容易出錯.而結(jié)合題目特征，聯(lián)想與之對應(yīng)的橢圓定義，合理建模，借助橢圓模型來處理，方便處理，簡化運(yùn)算，提升效益.

二、三角的求值問題

[例2]在[△ABC]中，已知[AC+BC=10]，[AB=8]，則[tanA2·tanB2]的值為 .

分析：利用條件建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合三角形的性質(zhì)與橢圓的定義確定點(diǎn)C所滿足的軌跡方程，通過正弦定理與合比性質(zhì)，綜合三角恒等變換來轉(zhuǎn)化，從而得以求解對應(yīng)的三角函數(shù)值問題.

解：以線段[AB]所在直線為[x]軸，以線段[AB]的中垂線為[y]軸，建立平面直角坐標(biāo)系[xOy]，如圖1所示，

由于[AC+BC=10>8=AB]，所以點(diǎn)C的軌跡為橢圓，且[a=5]，[c=4]，[b=3]，

所以點(diǎn)C的軌跡為橢圓方程：[x225+y29=1]，

根據(jù)正弦定理可得[BCsinA=ACsinB=ABsin（A+B）]，

結(jié)合合比性質(zhì)可得[BC+ACsinA+sinB=ABsin（A+B）]，即[10sinA+sinB=8sin（A+B）]，亦即[sin（A+B）sinA+sinB=45]，

結(jié)合三角恒等變換可得[2sinA+B2cosA+B22sinA+B2cosA-B2=45]，即[cosA+B2cosA-B2=45]，

展開有[cosA2cosB2-sinA2sinB2cosA2cosB2+sinA2sinB2=45]，即[1-tanA2tanB21+tanA2tanB2=45]，

解得[tanA2·tanB2=19].故填答案[19].

點(diǎn)評：結(jié)合三角形與橢圓模型之間的數(shù)學(xué)建模，對橢圓的幾何性質(zhì)加以合理應(yīng)用，思維巧妙，方法特別，讓人眼前一亮.借助橢圓模型，合理數(shù)學(xué)建模，巧妙利用橢圓方程來處理，腦洞大開.

三、綜合的應(yīng)用問題

[例3]（原創(chuàng)題）在[△ABC]中，B、C的坐標(biāo)分別為（-2[2]，0），（2[2]，0），且滿足[sinB+sinC=324sinA]，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4[2]，0），則[AO·AP]的取值范圍為 .

分析：根據(jù)正弦定理的角式向邊式的轉(zhuǎn)化，利用橢圓的定義來確定點(diǎn)A的軌跡方程，結(jié)合平面向量的極化恒等式加以轉(zhuǎn)化，通過橢圓的直觀圖像來確定對應(yīng)向量的數(shù)量積的取值范圍問題.

解：由正弦定理可得[AC+AB=324BC=324×42=6>42]，

結(jié)合橢圓的定義可知點(diǎn)A在橢圓[x29+y2=1（x≠±3）]上，

而線段OP的中點(diǎn)為C（恰為橢圓的右焦點(diǎn)（2[2]，0）），

利用極化恒等式，可得[AO·AP=AC2-OC2=AC2-8]，

當(dāng)A為橢圓的左頂點(diǎn)時，[AO·AP=AC2-8=（3+22）2-8=9+122]，

當(dāng)A為橢圓的右頂點(diǎn)時，[AO·AP=AC2-8=（3-22）2-8=9-122]，

所以[AO·AP]的取值范圍為（9-12[2]，9+12[2]），故填答案（9-12[2]，9+12[2]）.

點(diǎn)評：此題以平面直角坐標(biāo)系為問題背景，巧妙把解三角形、圓錐曲線、平面向量等相關(guān)知識加以合理融合與交匯，充分體現(xiàn)高考命題的“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處設(shè)計試題”的指導(dǎo)方針，知識交匯自然，試題難度中等.合理數(shù)學(xué)建模，橢圓模型轉(zhuǎn)化，有效破解綜合的應(yīng)用問題.

四、實(shí)際的應(yīng)用問題

[例4]已知大西北某荒漠上A，B兩點(diǎn)相距[2 km]，現(xiàn)準(zhǔn)備在該荒漠上開墾出一片以A，B為一條對角線的平行四邊形區(qū)域建成農(nóng)藝園，按照規(guī)劃，圍墻總長為8 km，問該農(nóng)藝園的最大面積能達(dá)到多少？

分析：利用條件建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)與橢圓的定義確定點(diǎn)C所滿足的軌跡方程，結(jié)合平行四邊形的面積與三角形面積的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合來確定農(nóng)藝園的最大面積問題.

解：以線段AB所在直線為x軸，以線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系[xOy]，如圖2所示.

設(shè)平行四邊形的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（x，y），則[D（-x，-y）]且[A（-1， 0）]，[B（1， 0）].

由題意，可得[CA+CB=4>AB=2]，

所以點(diǎn)C的軌跡為橢圓，且[a=2]，[c=1]，[b=3]，

所以平行四邊形另兩個頂點(diǎn)的軌跡為橢圓，方程為[x24+y23=1].

結(jié)合圖形，可得農(nóng)藝園的最大面積為

[S=2S△ABC=2×12ABy=2y≤2b=23].

所以農(nóng)藝園的最大面積能達(dá)到2[3] km2.

點(diǎn)評：在解決一些實(shí)際應(yīng)用問題中，可利用題目條件建立對應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，借助數(shù)學(xué)建模，結(jié)合橢圓模型的應(yīng)用，通過橢圓的相關(guān)知識來處理，從而另辟蹊徑，巧妙破解相應(yīng)的實(shí)際應(yīng)用題.

通過數(shù)學(xué)建模，巧妙把對應(yīng)的方程、三角關(guān)系式、綜合應(yīng)用和實(shí)際應(yīng)用問題等合理轉(zhuǎn)化，合理借助特殊模型——橢圓，有效轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)不同知識間的變形轉(zhuǎn)換.利用橢圓模型的定義、幾何性質(zhì)與直觀想象等，有效、直觀、快捷地處理相關(guān)問題.借助橢圓模型來進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，可實(shí)現(xiàn)知識相通，巧妙轉(zhuǎn)化，開拓解題思路，優(yōu)化解題方法，提升解題能力.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 韓文美.模型巧引領(lǐng)，高考妙破解[J].教學(xué)考試，2019（47）：49-51.

[2]? 蘇藝偉.圓和橢圓模型在解題中的應(yīng)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2018（5）：40-44.

[3]? 徐國平.例談橢圓模型的運(yùn)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2007（6）：41-43.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）