數(shù)列新穎題賞析

余建國

[摘 要]數(shù)列新穎題，就是從某種角度上看，無論是試題內(nèi)容，還是試題形式和解答方法，以前沒有出現(xiàn)過的新題目.分析數(shù)列新穎題，能幫助學生理解審讀題意，厘清數(shù)量關系，學會轉化方法，提高解題能力.

[關鍵詞]數(shù)列;新穎題;賞析

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）26-0031-02

數(shù)列試題中出現(xiàn)了許多值得可圈可點的好題.本文從近期各地的考試題中挑選幾例，分析其解法，與大家共賞.

一、新定義引出的數(shù)列問題

給出某些新定義或新概念，讓考生從新定義或新概念中導出遞推關系式，以考查考生的閱讀理解能力.

[例1]對于數(shù)列[an]，規(guī)定[Δan]為數(shù)列[an]的一階差分數(shù)列，其中[Δan=an+1-ann∈N*]，對自然數(shù)[kk≥2]，規(guī)定[Δkan]為數(shù)列[an]的[k]階差分數(shù)列，其中[Δkan=Δk-1an+1-Δk-1an].若[a1=1]，且[Δ2an-Δan+1+an=-2nn∈N*]，則數(shù)列[an]的通項公式為（ ）.

A.[an=n2×2n-1] B.[an=n×2n-1]

C.[an=n+1×2n-2] D.[an=2n-1×2n-1]

解析：根據(jù)題中定義可得[Δ2an-Δan+1+an=Δan+1-Δan-Δan+1+an=-2nn∈N*]，

即[an-Δan=an-an+1-an=2an-an+1=-2n]，即[an+1=2an+2n].

等式兩邊同時除以[2n+1]得[an+12n+1=an2n+12]，[∴an+12n+1-an2n=12]且[a12=12].

所以，數(shù)列[an2n]是以[12]為首項，以[12]為公差的等差數(shù)列，[∴an2n=12+12n-1=n2].

因此，[an=n?2n-1].故本題選B.

點評：本題的亮點在于根據(jù)題中定義結合等式[Δ2an-Δan+1+an=-2nn∈N*]可得出遞推關系式[an+1=2an+2n].考點是利用構造法求數(shù)列的通項公式.本題涉及數(shù)列的新定義以及等差數(shù)列的定義、給人以耳目一新的感覺，是一道考查考生閱讀理解能力的好題.

二、數(shù)學文化背景下的數(shù)列問題

數(shù)學傳統(tǒng)文化，已經(jīng)走進高考，與數(shù)學文化有關的數(shù)列題應運而生.這類問題既考查數(shù)列的基本知識，又傳遞數(shù)學文化信息，形式新穎.

[例2]圖1是我國古老的益智游戲——九連環(huán)，它主要由九個圓環(huán)和框架構成，九個圓環(huán)環(huán)環(huán)相連，并套在一個直桿上，每一個直桿都在后一個圓環(huán)內(nèi)穿過，每個直桿的另外一端則用平板或圓環(huán)固定住，圓環(huán)在框架上既可以解下，也可以套上.所謂九連環(huán)游戲，就是按照某種規(guī)則，把九個環(huán)全部從框架上取下來，或者全部套上去.如果把第[n]個圓環(huán)解下來最少需要移動的次數(shù)記為[fn]（[n≤9]且[n∈N*]），并且假設[f1=1]，[f2=1]，通過該游戲規(guī)則得到[fn=fn-1+2fn-2+1]，那么當你解下第5個圓環(huán)時，最少需要移動的次數(shù)是（ ）.

<E：＼1月數(shù)據(jù)＼1-12＼中學教學參考·理科版202109＼s9-20.tif>

圖1

A.7 B.16 C.19 D.21

解析：由已知[f3=f2+2f1+1=1+2+1=4]，[f4=f3+2f2+1=4+2+1=7]，[f5=f4+2f3+1=7+8+1=16].故選B.

點評：本題的亮點是以“九連環(huán)”這種數(shù)學文化的背景引入，而且做到圖文并茂.而考查的卻是數(shù)列的基本問題：遞推關系的應用，屬于基礎題.

三、與高等數(shù)學“嫁接”的數(shù)列問題

數(shù)列問題，可以與初等數(shù)學的其他知識綜合，也可以將它設計在高等數(shù)學的背景下.當它與高等數(shù)學“嫁接”時，頓覺它的層次有很大的提高，可以“高大上”冠之.其實試題出現(xiàn)的高等數(shù)學的概念只是“由頭”，歸根到底還是考查數(shù)列及其應用.

[例3]已知矩陣[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]中[aij]都為正數(shù)，上下三行，每一行中的三個數(shù)都構成等差數(shù)列，并且[a11+a12+a13]、[a21+a22+a23]、[a31+a32+a33]成等比數(shù)列，那么下列語句中判斷正確的有（ ）.

①第[2]列中的三個數(shù)[a12、a22、a32]一定是等比數(shù)列;②第[1]列中的三個數(shù)[a11、a21、a31]可能成等比數(shù)列;③[a12+a32>a21+a23].

A. [1]個 B. [2]個 C. [3]個 D. [0]個

解析：因為題中已知三行中的三個正數(shù)都成等差數(shù)列，故有[aa+da+2dbb+mb+2mcc+nc+2n].

于是[a11+a12+a13]、[a21+a22+a23]、[a31+a32+a33]分別是：[3（a+d），3（b+m），3（c+n）]，它們成等比數(shù)列，于是[（b+m）2=（a+d）（c+n）].故說法①完全正確;

因為[（a+d）+（c+n）>2（a+d）?（c+n）=2（b+m）]（因為九個數(shù)都互不相相等，故等號取不到），所以說法③也完全正確;

當這個矩陣取[1232.545.56.589.5]時，顯然符合上述已知條件，故說法②也完全正確.

因此本題選C.

點評：撇開矩陣這個高等數(shù)學的概念，解答本題只需根據(jù)每行中的三個數(shù)成等差數(shù)列，把原來的矩陣變形，最后根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)、基本不等式，舉特例對三種說法逐一判斷即可.本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了基本不等式的應用.而“矩陣”的加盟，使試題增添了幾分新意.

四、來源于實際生活的數(shù)列問題

數(shù)列知識來源于實際，同時它為實際問題的解決提供理論依據(jù)和方法.將數(shù)列問題設計在實際問題中，已成為數(shù)列命題的新動向.從2019年全國Ⅰ卷（理）中已得到了印證.這類問題往往具有生活化的情境和知識應用的綜合性，更能考查考生分析問題和解決問題的能力以及數(shù)學建模、邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

[例4]一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，設[Pn]為棋子跳到第n站的概率，開始時一枚棋子在第0站，玩家每投一次色子，棋子就向前跳一次.假如投出的點數(shù)是奇數(shù)，那么棋子往前跳一站;假如投出點數(shù)是偶數(shù)，那么棋子往前跳兩站，如此下去，一直到棋子跳到第99站（勝利）或第100站（失敗）時，該游戲結束（色子是一種六個面分別標有1，2，3，4，5，6的立方體，且質(zhì)地均勻）.

（1）依次求[P0]，[P1]，[P2]的值，并猜想[Pn-2]，[Pn-1]，[Pn]三者之間的關系式;

（2）求證：[Pn-Pn-1（n=1， 2 ， …，100）]為等比數(shù)列;

（3）求玩該游戲獲勝的概率.

解析：（1）開始時，棋子第0站，它是必然事件，故[P0=1].棋子第一次跳到第1站，只有一種情形，第一次投色子，出現(xiàn)奇數(shù)點的概率是[12]，故[P1=12].而棋子跳到第2站時有兩種情形：一種是第一次投色子岀現(xiàn)的是偶數(shù)點，其概率是[12];另一種是前兩次投色子出現(xiàn)的是奇數(shù)點，其概率為[14]，故[P2=12+14=34].而棋子跳到第[n（2≤n≤99）]站，同樣也包括兩種情形：①棋子先跳到第[n-2]站，又投色子出現(xiàn)的點數(shù)是偶數(shù)點，其概率是[12Pn-2];②棋子先跳到第[n-1]站，又投色子出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)點，其概率是[12Pn-1].故[Pn=12Pn-2+12Pn-1].

（2）由（1）知，[Pn=12Pn-2+12Pn-1]，所以[Pn-Pn-1=-12（Pn-1-Pn-2）].

又因為[P1-P0=-12]，所以[Pn-Pn-1（n=1， 2 ， …， 100）]是首項為[-12]，公比為[-12]的等比數(shù)列.

（3）由（2）知，[Pn-Pn-1=-12-12n-1=-12n].

所以[P99=（P99-P98）+（P98-P97）+…+（P1-P0）+P0]

[=-1299+-1298+…+-12+1][=-121--12991--12+1][=231-12100].

所以玩該游戲獲勝的概率為[231-12100].

點評：解答本題要求考生從題目的閱讀中得出數(shù)列的遞推關系式，進而利用數(shù)列中的知識與方法加以解決.本題主要考查隨機事件的概率和等比數(shù)列的概念、通項公式及前n項和公式.考查累加法求和，屬于難題.本題的亮點在于一題多考，將概率問題的情境設計在數(shù)列問題中，從而增強了試題的交匯性與新穎性，同時也讓試題的難度進一步加大.

（責任編輯 黃桂堅）