一道中考物理壓軸題的多解分析

閆學利

[摘 要]文章以一道中考題的多解為例，強調數理知識與物理量之間的相關性，借此呼吁廣大教師關注學生的發展需求。通過一題多解激發學生的求知欲，培養學生的高階思維能力，提升學生解決問題的能力。

[關鍵詞]極值法;圖像法;數理推理

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）26-0053-02

由于初、高中物理知識的跨度較大，且思維方法和學習方式存在差異，學生升入高中不久，往往感到物理抽象難學，甚至望而生畏。初中物理研究的現象相對具體形象，過程分析直觀淺顯，與生活聯系較為密切。高中物理研究的現象更為復雜，概念及相關規律的闡述簡潔嚴謹，過程推理科學嚴密，往往需要借助模型，透過現象研究本質。針對初高中物理學習銜接斷層問題，不少地方中考試題中出現了“數理結合解決問題”的考題，其中有的還需要運用函數、圖像、極值等數學方法來研究物理問題，在現有初中生認知水平的基礎上，搭建了一座銜接高中物理的思維橋梁。本文借用一道中考極值題，嘗試多種數理結合的推演方法，意在拋磚引玉，引發同行們對初高中物理教學銜接問題的關注與思考。相信只有實現學習方式、學習過程的相互銜接，才能更好地構建人才成長的“立交橋”。

[例題]（2019年揚州中考卷第24題）如圖1所示是一種自動測定油面高度的裝置。電源電壓為6 V，[R1]是最大電阻為30 Ω的滑動變阻器，它的金屬滑片P連在杠桿一端，[R2]是定值電阻，油量表是用量程為 0～0.6 A 的電流表改裝而成的（ABCD四點表示四個接線柱，電磁繼電器線圈電阻忽略不計）。

（1）當油面上升時，電流表示數變大，則導線 M 應與 接線柱相連;當油量下降到預設位置時，警示燈亮，滑片P剛好在B處，則導線N應與 ? 接線柱相連。

（2）當油箱加滿油時，滑片P剛好在A處，電流表的示數達到最大值，求電阻 [R2]的阻值 。

（3）在滑片滑動的過程中，求滑動變阻器 [R1]的最大功率。

答案：（1）A，D;（2） 10 Ω;（3）0.9 W。

下面主要圍繞該題的第（3）小題，運用數理方法，探討計算滑動變阻器的功率極值問題。

【解法一】當定值電阻[R2]與滑動變阻器[R1]串聯時（如圖2），變阻器的功率是一個變化量。多數學生根據公式推導如下：

[P1=I2R1=UR1+R22·R1=U2R21+2R1R2+R22·R1]

上述式子中，已知[U=6 V]，[R2=10 Ω]， 但怎樣求解[P1]的最大值，以下推導過程為大部分參考資料中常用的方法，將已知數值代入上式，分子、分母同除以[R1]，可得：

[P1=6 V2R21+2R1R2+R22R1=6 V2R1+20 Ω+10 Ω2R1=6 V2R1-10 ΩR12+40 Ω]

因為[R1-10 ΩR1≥0]，所以當[R1=10 Ω]時，[P1=0.9 W]。

上述極值求解，將一個物理問題演變為一個數學推理過程，涉及的數學知識甚至超出了初三數學學科要求掌握的范疇。如果教師課堂上按照參考答案推演，那么這個過程就只是告訴了學生一個答案，一個基于不甚理解的帶根號的完全平方關系推導出的極值。除了這個常見的推導過程，我們可以鼓勵學生嘗試其他方法，幫助他們用已有數學知識解決這個極值問題。

【解法二】如圖3所示，根據[P1=6 V·I-10 Ω·I2=-10 ΩI2-6 V10 Ω·I= ][-10 ΩI-0.3 A2-0.09 A2=0.9 W-10 Ω·I-0.3 A2]。

當[I=0.3 A]時，[P1]有最大值，[P1=0.9 W]。

如果需要鞏固一下此類定值電阻和滑動變阻器串聯時，滑動變阻器最大功率極值的求解方法，我們可以再次討論一下此時[R1]的特點。

根據串聯電路電阻特點，[R1=R總-R2=6 V0.3 A-10 Ω=10 Ω]，此時[R1=R2]。

隨著新課程改革的逐步實施，教育的理念和方法也隨之發生相應的變化，尤其是在數學和物理這兩門學科上。科技的發展依賴于教育，《義務教育物理課程標準》要求：讓學生經歷從信息中分析、歸納規律的過程，讓學生通過學習物理知識，提高分析與解決問題的能力，讓學生學習物理學家在科學研究中的方法，并在解決問題中嘗試應用科學研究方法。初三學生學過了二次函數圖像知識，如果運用函數圖像頂點法來求解極值，可以拓展學生“數形”結合解決問題的思路。下面讓我們一起來看看，“數形”結合求解的新思路。

【解法三】

[P1=U1·I=U-U2·U2R2=6 V-U2·U210 Ω=-U2210 Ω+6 V10 ΩU2=-U2210 Ω+0.6 A·U2]

如果用二次函數來描述滑動變阻器功率[P1]和定值電阻[R2]兩端電壓[U2]的關系，類似[y=ax2+bx+c]，其中[a=-110 Ω]，[b=0.6 A]，[c=0]。

因為[a<0]，這是一個開口向下的拋物線，如圖4所示。

根據拋物線頂點坐標求解方法，可得：

當[U2=-b2a=-0.6 A2×-110 Ω=3 V]時，當定值電阻[R1]兩端電壓[U1=3 V]時，滑動變阻器兩端電壓[U2=U1=3 V]，又因為是串聯，所以此時[R2 =R1 =10 Ω]，電壓與電阻數值關系如圖5所示。

當然，上述問題既然有極大值，也會有極小值，解決問題的思路是類似的，這類問題的解法殊途同歸。考慮到電路的安全性，不同物理量的取值范圍同樣需要嚴謹的思維。

目前，我國正在全面推行新課程改革，新課程改革的培養目標是全面提高學生的科學素養，滿足學生的終身發展需要。因而，全面發展和提高教師的科學推理能力，運用各種信息處理實際問題已經越發重要。本文借助一道中考物理題的多種解答方法，力圖表達數理知識與科學推理能力之間的相關性，呼吁廣大教師關注學生科學素養和科學能力的培養。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 曾育群.淺談初高中物理教學銜接的問題與對策[J].中學理科園地，2018（4）：50-51.

[2]? 孫俊峰.高中物理教學中求極值問題探析[J].中學生數理化（教與學），2017（2）：91.

[3]? 周紅霞.理科教學中科學推理的缺失與思考[D].長春：東北師范大學，2008.

（責任編輯 易志毅）