小學數學教材中“思考題”教學策略例談

胡劍

[摘? 要] 蘇教版小學數學教材中適當地編排了一些“思考題”，這些思考題作為課程資源，為教師發展學生的智能和培養學生的學習興趣， 提供了很好的、可利用的材料。隨著素質教育的不斷深入，培養學生會思考、會學習，這些思考題起到了一定的作用。文章立足于教材中的三道思考題，尋求有效的教學策略，讓思考題“親民”，讓大多數學生跳一跳能摘到“果子”。

[關鍵詞] 覆蓋面;一般到特殊;解題策略;摘果子

蘇教版教材的練習設計有一個特點，會時不時給學生“加料”，在單元末尾來一道“菜”，用方框框起來，并標有底色。學生習慣上叫這些 “方框題”為“附加題”或者“思考題”，遇到這種題目，聰明孩子摩拳擦掌躍躍欲試，一般的孩子則畏首畏尾無從落筆。2011版《小學數學新課程標準》明確要求，“人人能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展 [1]”，“人人”是就覆蓋面而言，良好的數學教育是應該面向全體學生的，同時也要承認學生存在差異，“不同的人”有不同的發展目標。教材提供的思考題，既要讓全體學生得到發展，又要幫助學生建立自己的數學現實和數學學習的直覺，學會運用數學的思維方式進行思考。

在蘇教版數學四下教材里，一共安排了三道思考題，第三單元“三位數乘兩位數”安排了一題，第六單元“運算律”安排了兩題，這三道題都是放在該單元的最后一頁。這冊教材安排的這3題，我們需要教會學生些什么呢？

一、尋求解決問題的方法——從一般到特殊

【例1】 蘇教版小學數學教材四下37頁：

這道題的出現，使得難度一下子拔高了許多，學生的錯誤率一直居高不下。教師使出渾身解數，各種奇招，希望能把準確率提高上去。題目中4、3、2、1、0五個數字中含有0，有一定的特殊性，“遇到特殊問題，想想它的一般情形是什么;掌握了一個解個別問題的方法，想想它能不能用來解別的更一般的問題：這就是學數學時應當常常注意運用的一種思考方法 [2]”，我們就從一般情況入手，先去掉特殊數字“0”，按下列情形逐步進行探究：

情形一：把4、3、2、1放入□□×□□乘積最大是多少，最小是多少？

兩個數的首位應該分別先放4和3，變成了4□×3□，接下來兩個數的第二位分別放2和1，只有兩種情況：42×31和41×32，筆算可以很容易算出，42×31=1302，41×32=1312，2放在3的后面乘積更大。還可以從算理上得到驗證：4□×3□，不管后面怎么放，兩個數的首位都是四十幾乘三十幾得1200多一些，可以不去考慮。如果較大數2放在首位大數4的后面，那么2×3□得60多一些，而如果放在首位小數3后面，則是2×4□得80多，很明顯，較大數2放在首位較小數3后面，即41×32積會大。同理求最小，先取最小的兩個數1和2作為兩個數的首位，再取3和4，要使得積小，3放大數2后面，4放小數1后面，得14×23=322是最小。

情形二：把5、4、3、2、1放入□□□×□□乘積最大是多少？最小是多少？

先取5和4作兩個數的首位，再取3和2，3應該放在小數4后面，2放在大數5的后面，得到52×43是最大的，1放大數52就是1×43=43，放小數43這邊就是1×52=52，顯然結論和前面一樣，應該放在小數這邊積會更大些，即52×431=22412最大。積要最小，最后一個5放大數23后面，14×235=3290是最小的。

歸納總結：要想得到積最大，先選擇最大的兩個數字確定首位，再選次大的，大的跟在小的后面，小的跟在大的后面;要想得到積最小，先選擇最小的兩個數字確定首位，再選次小的，大的跟在大的后面，小的跟在小的后面。我們可以再試一些，比如1、2、4、7、9;或者4、6、7、8、9來驗證思路的準確性。為了便于記憶，編口訣“積最大，大跟小，小跟大;積最小，大跟大，小跟小”。

情形三：處理有0的特殊情況。回到教材上“思維題”，對于4、3、2、1、0，積最大沒有影響，可以照搬口訣完成前4個數字，得到41×32最大，最后一位0可以放在任意數的末尾，410×32或41×320。積最小，由于0不能作首位，先確定最小的兩位1和2作為兩個數的首位，接下來是0和3，“小跟小”，0在1的后面，3在2的后面，最后一位是4，4沒有跟誰比，看作“大”的數， “大跟大”，更在23的后面。

積最大：41×320=13120;

積最小：10×234=2340。

再來看看解決這個問題的另外一種方法——“un筆順法”。

仍然從一般情況來思考，先考慮沒有0的情況。

求最大：把a、b、c、d、e五個數字從大到小排列，分別擺在字母“u”的五個位置（如圖2），這五個位置的擺位是以書寫字母“u”的筆順來定位的，乘積最大是：ad×bce。如果是數字1、2、3、4、5，用這個方法得到乘積最大的算式是：52×431=22412。

求最小：把a、b、c、d、e五個數字從小到大排列，分別擺在字母“n”的五個位置（如圖3），這五個位置的擺位是以書寫字母“n”的筆順來定位的，乘積最小是：ac×bde。如果是數字1、2、3、4、5，用這個方法得到乘積最小的算式是：13×245=3185。

再考慮有0的情況：當這個五個數字中有一個是0時，求積最大沒有問題，本身0就是5個數字中最小的，按43210順序排，0排在最后，可以用“u”來做，很容易得到積最大的算式是41×320=13120;但求積最小時，按01234順序排，0不能排在首位，這里“0”的位置被安排在固定位置“C”位，剩下的4個數字從小到大排列在a、b、d、e的位置，得到積最小的算式10×234=2340。

這兩種方法，有兩個共同的特點，一是都從一般到特殊來研究，得出一般性的結論再來考慮特殊情況下需要打什么“補丁”，最后又回到一般情況來解決問題，“由一般到特殊的學習路徑，且突出一般方法內涵本質的理解，更有利于幫助學生形成策略性知識，發展解決問題的策略水平 [3]”;二是都有一個既定的“程式”需要學生來記憶，后者需要記住圖——“un筆順法”，前者需要記住一句話——“口訣”，學好數學，“記功”功不可沒，各種運算律、各種公式等等，是必須要記住的。但前者應該更值得提倡，即使忘記了“口訣”，也可以從算理上重新求得，并且可以擴展到三位數乘三位數，三位數乘四位數，四位數乘四位數……，都是適用的，這符合“新課標”對第二學段倡導的“發展合情推理能力，能進行有條理的思考”的目標要求。

二、尋求練習的層次性——從最基礎出發

【例2】 蘇教版小學數學四下教材67頁：

在第六單元“運算律”的最后，安排了這樣兩道簡算題，無形中把乘法分配律的運用提高了許多。這個單元有三個運算律，乘法分配律是重點，也是一個難點，學生需要會運用乘法分配律來進行簡算，教材給出的配套鞏固練習，都是基于乘法分配律的“模型”來設計的，（a+b）×c=a×c+b×c這個“模型”是學生必須要掌握的，這是利用運算律解決其他較難題目的基本保證，“學生學習能力不同，導致對知識的理解、應用能力也有所不同，所以，課堂練習的設計要有層次、有變化、有發展，適合班級每個學生的要求 [4]”，從而整體提高每個學生的學習能力。

第一層次練習，基本題，保證全體學生“吃得飽”：

68×35+68×65;36×42+42×64;75×25+25×25。

這類習題要求人人都掌握，直接套用乘法分配律“模型”，找到相對應的a、b、c位置進行解答。68×35+68×65=68×（35+65）;36×42+42×64=42×（36+64）;75×25+25×25=25×（75+25）。

第二層次練習，變形題，絕大多數學生“吃得好”：

45×99+45;45×101;63×99。

這類習題需要對題目進行簡單的“加工”，制造出乘法分配律的“模型”，變成第一層次類型的題。45×99+45=45×99+45×1;45×101=45×（100+1）;63×99=63×（100-1）。

第三層次練習，較難題，學有余力的學生“夠得著”：

75×280+750×72;66×27+33×46。

這類習題需要借助“積不變的規律”對原題進行變換，改造出乘法分配律的“模型”：75×280+750×72，把75擴大10倍，280縮小10倍得到算式750×28+750×72;66×27+33×46，把66縮小2倍，27擴大2倍得到算式33×54+33×46。課本中的例2屬于這一類，360是36的10倍，999是111的9倍，相信大家會做了。

第四層次練習，競賽題，少數學生可以頂頂腳跟去“摸一摸”：

280×234+1110×576+6540×28。

這類習題是多種知識的相互滲透，要從表面上雜亂無章的數來構造出乘法分配律的模型。很顯然，因數28和280是一個突破口，先把280×234+6540×28改造成28×2340+6540×28，得到28×（2340+6540）=28×8880，這題就變成28×8880+1110×576，發現8880是1110的8倍，利用“積不變的規律”再構造成28×8880+8880×72，再次變成了基本題。

上面四個層次的練習，不管是哪一層次，最后都要回到本源上來，這個本源就是教學大綱要求的“基礎知識”和“基本技能”，乘法分配律在初中階段是一個尋求公因數的過程，同時也是一個合并同類項的過程，在小學階段，是建立乘法分配律模型（a+b）×c=a×c+b×c的過程，是尋找或構造相同數“c”的過程，遵循認知規律，在思考的過程中，要引導學生用一雙“慧眼”去捕捉算式中各個因數的內在聯系，做出適當變換，轉化成基本題。

三、尋求解題的高效性——從“整體”來思考

【例3】 蘇教版小學數學四下教材71頁：

這是一道行程問題里的“相遇問題”。行程問題的一個最基本數量關系是：速度×時間=路程，擴展到相遇問題，這個關系式變為“速度和×相遇時間=相遇路程”。已知條件中“速度和”可以求到，相遇時間也有，現在“合”在一起來整體思考，（65+70）×5=675米，求得的是什么呢？當然是相遇路程，這個相遇路程是橋長嗎？這個時候就要分開來考慮了。可以配合線段圖來分析（如圖6）：

圖中可以看出，從出發到第二次相遇，小華走了一個橋長多一些，小明也走了一個全程多一些，各自的多一些，合起來也是一個橋長，兩個人一共走了3個橋長。通過前面的“先整體來思考，再分開來思考”，發現“速度和×相遇時間”原來就是3個全程，問題得到解決：（65+70）×5÷3=225米。

我們可以繼續深究：如果兩個人經過5分鐘是第三次相遇，結果又是怎么樣呢？先整體思考，“速度和×時間”先求得兩人行的總路程，這個思路是沒錯的，需要思考的是一共行了幾個全程（橋長），分開來分析各自行的過程，不難發現小華行了2個全程多一點，小明也行了2個全程多一點，一共行了5個全程。（65+70）×5÷5=135米。第四次相遇呢？第五次相遇呢？都可以按照這個方法來解決問題。

可以把下面一題引導學生來“跳一跳”，看看能不能“摸得著”：

植樹節到來，甲、乙、丙三個小隊去植樹，都領了同樣多的樹苗。這批樹苗甲隊植完需要10小時，乙隊植完要12小時，丙隊植完要15小時。同時開工的時候丙小隊的樹苗給另外班級了，丙隊決定幫甲、乙兩隊一起完成，丙隊開始幫甲隊一起，中途又轉向幫乙隊，最后這兩批樹苗同時植完。問丙小隊幫了甲小隊幾小時？

先“合”，整體來思考，把甲乙兩隊的工作總量都看作單位“1”，總工作量就是“2”了，由于這些樹苗是三個小隊共同完成的，同時開始，同時結束。先不考慮中間狀態，根據“工作總量÷工作效率=工作時間”可以求出這些樹苗一共需要幾小時植完。

列式：2÷++=8（小時）。

再“分”，思考丙先幫甲幾小時。這道題就變成：甲、丙共同植一批樹苗，如果甲隊單獨植需要10小時，丙隊單獨植需要15小時。丙隊因為要去幫乙隊而離開了，結果8小時植完了這批樹苗，問丙做了幾小時后離開。甲8小時一直在做，做了×8，剩下的是丙幫甲做的，幫了幾小時？

列式：1-×8÷=3（小時）。

先合再分，圓滿地解決了這個問題。這里的“整體思維”起著至關重要的作用。解決問題本無定法，追求高效是解決數學問題的王道。

現今，對學生掌握數學知識的評價一般是7∶2∶1來分配的，基礎知識（基本題）占70%，是教材例題的復制，這是立身之本，學生必須要掌握;20%是基礎知識的延伸（中檔題），大部分學生能夠得分;而最后一成是比較難的，屬于教材里的“思考題”行列，學生“差異化”的表現就集中在這里。我們教師所做的，就是要把這些思考題變得“親民”些，讓大多數學生能體驗到成功的喜悅。于是，從前面分析整冊教材安排的三道“思考題”之后，有了以下三點思考：

思考一：“跳一跳”怎么跳。抓基礎是王道。我們一直鼓勵學生要有“探險”的精神，遇到難題要勇敢地去嘗試，但如果根基不牢，注定會碰得頭破血流。在例1中對求最大乘積與最小乘積中，表面上是只要去記住“口訣”，實際上“口訣”的背后是三位數乘兩位數的算理作支撐;例2中首先要對乘法分配律的“模型”熟悉，左邊到右邊、右邊到左邊的靈活切換，還有“數的分與合”“積不變的規律”應用其中;例3中“速度、路程、時間”到“速度和、相遇路程、相遇時間”的數量關系轉變等。

思考二：“摘果子”怎么摘。“果子”很甜，摘之有“道”，怎么樣能采摘到，就要看你能否找到有效的解題策略。例1中兩種方法都很好，你是記“口訣”還是記“字母”，選擇適合自己的;例2中乘法分配律你能到達哪一層次，沒關系，一步一步來，從最基礎的開始，總會找到突破口，公式（a+b）×c=a×c+b×c的那個“c”位一定在某個地方等你;例3中學會“整體”看世界，忽視繁雜的中間環節，前面豁然開朗。

思考三：“助攻”怎么助。練習設計很重要。可以設計多解題，來訓練學生思維的變通性;可以設計多變題（或多問題），訓練學生思維的多向性;可以設計開放式習題，訓練學生思維的廣闊性;可以設計層次性練習，訓練學生思維的有序性。當然，我們教師在“教學思考題時要引導學生通過比較、思考、討論等方式，努力尋找解決問題的突破口和解題思路，使大多數學生都能體會到解決問題的樂趣，從而促進學生主動學習與發展 [5]”。

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]? 張景中. 數學家的眼光（典藏版）[M]. 北京：中國少年兒童出版社，2011.

[3]? 費嶺峰. 重設學路，突出數學學習的挑戰性——小學數學由“一般”到“特殊”學習路徑設計的實踐與思考[J]. 小學教學研究，2018（2）.

[4]? 黃嬌艷. 指向核心素養的小學數學概念教學[J]. 教學與管理，2019（3）.

[5]? 葉文生. 小學數學思考題有效教學的實踐探索[J]. 小學教學參考，2006（z5）.