以學定教，順學而導

肖慧 虞秀云

[摘? 要] 基于學生學習路徑分析的基本框架，從理解學習目標、確定學習起點、分析學習路徑、設計并實施教學任務這四個步驟對“圓的面積”一課進行教學設計，從學生多元的學習路徑出發設計適切多樣的教學路徑，旨在培養學生數學思維的個性化，使不同學習路徑的學生得到最優發展。

[關鍵詞] 學習路徑分析;圓的面積;以學定教

學習路徑，是指學習者為達到學習目標所進行的一系列學習活動的過程。學生已有的知識經驗、學生的思維過程以及學生對知識的表征方式是構成對學生學習路徑分析的三個主要方面 [1]。基于學生學習路徑分析的數學教學則包括以下四個步驟：理解學習目標、確定學習起點、分析學習路徑、設計并實施教學任務 [2]。本文將結合這四個步驟，基于學習路徑分析設計圓的面積教學，就如何充分理解學生，實施有效教學做進一步探究。

“圓的面積”是人教版小學數學六年級上冊的內容，是學生所接觸的第一種曲線圖形的面積計算。它作為小學“圖形與幾何”內容的重要組成部分，是平面圖形測量中由直線圖形向曲線圖形過渡的關鍵點。《義務教育數學課程標準（2011年版）》對該內容的要求是“探索并掌握圓的面積公式，并能解決簡單的實際問題”。根據課標的要求，學生既要經歷圓面積計算公式的推導過程，掌握圓的面積計算公式，又要能夠靈活運用其解決實際問題。

一、理解學習目標

北師大版、人教版、浙教版以及蘇教版教材中關于“圓的面積”計算都采用了“分割—拼合”法，即將圓等分成若干個小扇形，再將其拼合成近似的長方形，進而根據長方形的面積計算公式推導出圓的面積計算公式。由于前面學習過平行四邊形、三角形、梯形等平面圖形的面積，積累了大量利用數方格和“分割—拼合”法研究直線圖形面積的經驗，學生較容易想到運用這兩種方法求解。但方格法操作麻煩，誤差較大，利用“分割—拼合”法轉化成學習過的平面圖形則是較為精確求解圓面積的主要方法。公式推導的過程中涉及轉化和極限的數學思想，考慮到學生已有的知識經驗和思維特點，對極限思想的理解將是本節課的一大學習難點。

因此，為了幫助學生突破難點，真正理解“圓的面積”這一內容，現將學習目標分解為以下幾點：

1. 正確理解圓的面積的概念;

2. 把圓分割、拼合成學過的平面圖形，體會轉化后的圖形與圓之間的關系，積累研究圖形面積的經驗;

3. 經歷操作、觀察、分析、想象等活動，推理歸納出圓的面積計算公式，體會化歸和極限思想，感受圖形間的聯系和轉化;

4. 理解圓的面積計算公式，能正確計算圓的面積，解決實際問題。

二、確定學習起點

準確了解學生的學習起點是進行教學設計的前提和依據 [2]。確定學生真實的學習起點可以通過學生訪談、進行相應的課前測試、依據教學經驗或者已有研究等途徑來實現。關于“圓的面積”這一內容，通過對已有文獻進行研究，發現大多數學生研究圓的面積主要采用數方格、與外切或內接正方形進行比較、分割成原來學過的圖形或者均分為小扇形等方法，以及部分學生沒有深刻理解面積的定義，容易將圓的周長與面積的概念混淆;少數學生在第一次接觸曲線圖形的面積計算時沒有任何思路，存在學習困難;知道圓的面積計算公式的學生中大部分不清楚公式的推導過程，不理解公式的實質意義等。

對這些問題進行分析，了解學生存在的學習困難，找準學生在學習圓的面積時的認知起點，確定真實的學習起點，進而幫助學生逐步完成知識的建構。

三、分析學習路徑

為了實現圓面積推導方法的多樣化，將提供方格圖以及不同等分的圓形學具，讓學生在動手操作中積累基本活動經驗，體會轉化和極限的數學思想。根據對學習目標的理解以及學習起點的分析，確定了以下的學習路徑：（1）動手操作，自主探索圓的面積;（2）結合同伴的求解方法，通過對比判斷尋求研究思路;（3）借助直觀演示，分析想象，體會轉化和極限的數學思想，推導圓面積的計算公式;（4）溝通不同角度的面積推導公式之間的聯系，理解圓的面積公式的本質。

四、教學過程設計

1. 問題情境引領學生探究新知

活動1：給出問題情境，提出研究問題。

問題情境：（課件呈現）李大叔打算新建一個半徑為15m的圓形牛欄，想要沿牛欄邊沿打上木樁，里面種植牧草。如果每隔2m打一根木樁，大約要打多少根木樁？每平方牧草10元，植草需要花費多少錢？

提示學生思考：要求木樁的數量，需要先知道什么？計算公式是什么？要求植草花費的金額，需要先求什么？

【設計意圖】 創設真實問題情境，幫助學生復習舊知，厘清圓周長和面積的概念，激發學生的求知欲，并提出接下來所要研究的問題。

2. 經驗激活階段思考研究方法

活動2：引導學生思考研究圓的面積的方法。

問題1：前面我們學習過哪些平面圖形的面積，推導面積計算公式的過程中用到了哪些方法？

問題2：你打算用什么方法來研究圓的面積？

【設計意圖】 溝通新舊知識之間的聯系，激活學生已有的關于直線圖形面積計算的知識經驗，促成遷移，進而幫助學生在自己經驗范圍內找到研究曲線圖形面積的可能方法。

3. 問題串引領思維縱深發展

活動3：通過問題串的引導，增進新知。

學生動手實踐，自主探究（教師巡視指導，先挑選幾份選用方格法的學生作品）。

教師展示學生作品（如圖1），并讓學生匯報自己的思路。

問題3：他們是用什么方法來求解的？

問題4：你認為以上哪個會更接近圓的面積？為什么？

問題5：如果想要更準確地計算圓的面積，該怎么辦？

我們發現利用數方格的方法，可以把一個個面積單位累加起來計算圓的面積，方格分得越小，估計值就會越接近圓的面積。

【設計意圖】先從學生最容易想到的數方格法入手，通過對比判斷哪種做法會更接近圓的面積來滲透極限思想，讓學生在動手操作和思考分析中體會該方法的局限性，為之后探索更科學、合理的計算方法打下基礎。

教師繼續展示學生作品（如圖2），讓學生匯報自己的思路。

問題6：這些方法之間有什么共同之處？這一做法好在哪？

針對第一種拼法，教師選取將圓8等分以及16等分拼成的圖形進行展示，引導學生觀察。

問題7：觀察這兩位同學的作品，你們有什么發現？

教師利用課件演示將圓平均分成32等份以及64等份后再拼起來。

問題8：再繼續等分下去，分成128份后拼成的圖形會有什么變化？分成256份呢？如果一直無限分下去，等分成無數份，會拼出怎樣的圖形？

問題9：針對第二、三種拼法，如果也一直無限分下去，等分成無數份，又會拼出怎樣的圖形？

【設計意圖】 通過學生匯報交流、教師問題引領的方式，促進學生思考，鼓勵學生用自己的方式解決問題，理解并欣賞他人的解法。始終以轉化和極限思想的滲透為主線，從多元的學習路徑設計符合學生認知規律的教學，尊重學生思維的個性化和多樣化。

4. 水到渠成推出面積公式

活動4：繼續追問，突破難點，推導公式。

問題10：拼成的平行四邊形（長方形）與原來的圓之間有什么聯系？

引導學生找到拼成后的近似長方形的長和寬與圓之間的關系。

問題11：你能推導出圓的面積計算公式嗎？

問題12：前面還把圓轉化成三角形和梯形，你能試著利用不同的轉化圖形來推導圓的面積計算公式嗎？

【設計意圖】利用多種轉化圖形來推導圓面積的計算公式，從不同角度的探索中體會轉化思想。

問題13：回到活動1，你能計算出種植牧草所需花費的金額嗎？

5. 探尋歷史追本溯源

教師利用課件展示數學家們求解圓的面積的歷程。

【設計意圖】 引入數學史，介紹相關的歷史背景，能夠激發學生的學習興趣和求知欲，使學生了解知識的發生、發展過程，從而促進學生更系統全面地理解數學。

6. 總結回顧，體會感悟

（1）梳理圓面積計算公式的推導過程;

（2）總結本節課所涉及的數學思想方法;

（3）掌握研究曲線圖形面積的方法。

五、結語

一堂課就如同一場旅行，事先我們會做好所有的計劃，但在旅行的過程中往往會因為各種情況而做出調整，或者改變行程，或者改變目的地的順序。課堂教學亦是如此，所有課前的教學安排與假想的教學路徑都不應該是直接照搬。學生學習的過程是思維碰撞、生發智慧的過程，在這個過程中，他們所選擇的解決問題的方法都是不盡相同的。為了實現教學效果最大化，教師應該盡可能多地照顧到所有學生的思維方法。在設計并調整教學時就需要教師理解學生，了解學生原有的知識經驗進而分解學習目標，找準教學的起點和重難點，確定思維的障礙點，獲取并分析學生的學習路徑，從多元的學習路徑設計適切的教學路徑，以學定教，在培養學生個性化發展的同時優化學習路徑，使不同學習路徑的學生得到最優發展。

參考文獻：

[1]? 張春莉，劉怡. 基于學生學習路徑分析的教學路徑研究[J]. 中小學教師培訓，2015（09）.

[2]? 章勤瓊. 基于學習路徑分析的小學數學教學：概述與基本框架[J].小學教學，2019（14）.