合理分類 理清概念

王見新

[摘? 要] 概念學習是小學數(shù)學學習過程中的一項重要內(nèi)容，其分類與層次對構(gòu)建學生的概念學習系統(tǒng)有著重要的意義。概念分類是數(shù)學思想中的一個分支，它既是構(gòu)建學生數(shù)學概念的基礎(chǔ)，又是加深學生理解數(shù)學概念的途徑。數(shù)學學習的過程就是用數(shù)學概念不斷進行分析、比較、概括、綜合、推理和判斷的過程。文章從概念形成、概念同化、概念形成和概念同化相結(jié)合三個方面具體闡述概念分類的思想。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學概念;概念分類;概念同化

數(shù)學概念泛指一種思維形式，指人腦對客觀對象的空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的反映，一般以公式、法則、或定理的方式呈現(xiàn)。理解并合理使用數(shù)學概念是學好數(shù)學這門學科的基礎(chǔ)與前提。概念分類是概念學習的重要載體，教師不可能將所有的數(shù)學現(xiàn)象提供給學生，而是提供一些不同類的數(shù)學材料，組織學生對這些材料進行分類總結(jié)，推理出同類數(shù)學概念 [1]。奧蘇伯爾（D.P.AuSubel）認為數(shù)學概念的形式有概念形成和概念同化兩種形式。教師可根據(jù)概念的形式，引導學生充分感悟概念分類的過程，提高數(shù)學思想。

一、實操分類，感知概念形成

學生大腦中原有的數(shù)學概念與新概念之間達到平衡的狀態(tài)是數(shù)學概念形成的原始動力，概念形成的過程就是學生獲得同類事物共同屬性的過程。教師可引導學生通過實際操作，讓學生在經(jīng)歷中感知數(shù)學現(xiàn)象的抽象、概括、分類，從而發(fā)展學生的數(shù)學空間概念并感知概念形成的具體過程。概念形成過程一般經(jīng)歷以下幾個步驟：辨別，學習者根據(jù)實際情況找出數(shù)學材料的基本屬性;分類，將數(shù)學材料中同一屬性的歸為一類;抽象，剔除材料的非本質(zhì)屬性，用語言提煉其本質(zhì)屬性;檢驗，對比其他數(shù)學材料是否也存在這種屬性;概括，文字表達這種屬性;形式化，用字母或數(shù)學符號表達，概念形成。整個過程環(huán)環(huán)相扣，缺一不可。

案例1：“平年與閏年”的教學。

在學生初步認識年、月、日后，讓學生通過各種方式統(tǒng)計近五年期間每個月的天數(shù)，記錄下來。

師：同學們都對近五年期間每個月的天數(shù)進行了統(tǒng)計，現(xiàn)在請大家觀察自己記錄的數(shù)據(jù)，找找每個月天數(shù)的規(guī)律。

生1：我發(fā)現(xiàn)大部分月份都是30天或31天。

生2：我發(fā)現(xiàn)每年的2月份天數(shù)不固定，其他相同月份是固定的，比如每年的3月份都是31天。

生3：對的，2020年的2月份是29天，比2019年多1天。

師：同學們觀察得都很仔細，那我們就單獨觀察一下2月份的天數(shù)，大家說說你的發(fā)現(xiàn)。

生4：2020年和2016年的2月份都是29天，2017年、2018年、2019年的2月份都是28天。

師：很好，今天我們要學習的知識就是“平年與閏年”的概念，2月份有29天的年份，我們稱其為閏年;2月份有28天的年份，我們稱其為平年。我們再觀察閏年年份的數(shù)字與平年年份的數(shù)字有什么區(qū)別。（學生交流討論）

生5：2016年和2020年這兩個數(shù)都是4的倍數(shù)，而2017年、2018年、2019年的數(shù)都不是4的倍數(shù)。

……

教師選擇讓學生觀察近五年每月的天數(shù)，目的在于引導學生通過觀察與比較迅速找到不同年份中每個月天數(shù)的異同屬性，學生尋找到2月份以外每個月天數(shù)的固定規(guī)律后，再針對2月份這個特殊月份進一步比較分析，從而獲得閏年和平年的本質(zhì)。這種通過實際操作分類逐漸形成的概念，不僅培養(yǎng)了學生觀察分類標準的嚴謹性，還讓學生充分感知了平年和閏年概念形成的過程。學生通過親自參與分類獲得的數(shù)學概念比直接誦讀獲得的數(shù)學概念要牢固穩(wěn)定得多。

二、衍生概念，感知概念同化

概念同化一般指利用學生認知中原有的概念，用定義的方式提示新概念的主要特征，讓學生獲得新概念的方式。概念同化多用于衍生概念教學中，以衍生概念的原概念作為課堂教學的起點，通過激活學生認知結(jié)構(gòu)中原概念知識的經(jīng)驗而同化出新概念。新概念是否得到充分的同化，主要取決于學習者原有概念與新概念是否能達到平衡的狀態(tài) [2]。因此，教師引導學生獲得概念同化的關(guān)鍵任務(wù)就是從實際情況出發(fā)，使用觀察、操作、分類與分析等方法，協(xié)助學生達成新概念與原概念的平衡。

案例2：“認識方程”的教學。

教師在白板上展示以下8道式子，要求學生分組討論這8道式子的分類方法。

35+65=100 100+x>100

100+x=200 100+x<300

x-5=30 y+20=180

60<50+30 4x=360

一部分學生將式子中有“=”號的分類在一起，有“<”或“>”號的分類在一起（見圖1）：

還有一部分學生將含有字母的式子歸為一類，沒有字母的式子歸為一類（見圖2）：

教師鼓勵學生從圖1和圖2的分類方式尋找異同點，經(jīng)過分組討論后得出下圖（見圖3）：

教師在三張圖形的基礎(chǔ)上揭示方程的概念。其實方程是等式衍生出來的新概念，學生的認知結(jié)構(gòu)中原有等式的概念，經(jīng)過教師的引導由淺入深地層層遞進，衍生出新概念——方程。圖1根據(jù)式子是否含有“=”號進行分類，圖2根據(jù)式子是否含有字母進行分類，再對這兩種分類結(jié)果進行觀察比較，尋找出異同點，學生能清晰地認識到其中的關(guān)系——有些式子含有字母的同時又是等式，方程的概念也昭然揭曉。這是概念同化的過程，是學生根據(jù)式子的分類逐層揭曉新概念的本質(zhì)，明確等式與方程的區(qū)別與聯(lián)系，在大腦中構(gòu)建新的認知。

三、兩者結(jié)合，形成概念系統(tǒng)

構(gòu)建良好的概念系統(tǒng)，需將概念形成和概念同化的方法結(jié)合在一起使用。學生在兩種方法結(jié)合的過程中體會概念之間的關(guān)系，可用下圖（見圖4）表示：

根據(jù)概念系統(tǒng)形成的圖示可見：概念系統(tǒng)的形成首先是學生根據(jù)實際操作或?qū)嵗M行觀察、分析、分類，總結(jié)出概念的本質(zhì);然后在概念形成的基礎(chǔ)上，通過觀察和分類將大腦中原有的概念衍生出新概念;再根據(jù)概念之間的內(nèi)部聯(lián)系，逐漸形成良好的概念系統(tǒng) [3]。

例如，“認識三角形”的教學，展示一組三角形（見圖5）。

師：觀察圖5，其中圖①、圖②的三個角分別是什么角？

生：圖①有一個直角、兩個銳角;圖②有三個銳角。

師：我們來量一量看（在白板上演示量角器的測量過程），可見這位同學的回答是正確的。大家再觀察一下其他的三角形，是不是所有的三角形都是由直角或銳角組成的呢？

生：圖③和圖⑤里面有鈍角。

師：這位同學觀察得很仔細，現(xiàn)在大家來填寫這張表格（表1）。

學生根據(jù)表格的結(jié)果進行三角形分類如下：

（1）有直角的是圖①和圖⑥，沒有直角的是圖②、圖③、圖④、圖⑤;

（2）有鈍角的是圖③和圖⑤，其他四幅圖形都沒有鈍角;

（3）有三個銳角的是圖②和圖④，有兩個銳角的是圖①、圖③、圖⑤、圖⑥;

（4）三個角都是銳角的是圖②和圖④，有一個直角、兩個銳角的是圖①和圖⑥，有一個鈍角、兩個銳角的是圖③和圖⑤。

學生在交流過程中分別闡述了分類的理由，各種角度分類，顯示出層次感與條理性，并從分類中引出銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形的概念。這是概念形成和概念同化相結(jié)合的過程，學生也由此對三角形產(chǎn)生了完整的認識，形成系統(tǒng)概念。

綜上所述，構(gòu)建數(shù)學概念需學生經(jīng)歷比較、分類、討論、總結(jié)的過程。學生經(jīng)歷概念形成和概念同化過程中的分類，逐漸積累經(jīng)驗，感悟分類是概念系統(tǒng)形成的重要載體。若遇到層次繁多而復雜的情況，教師可引導學生從各個角度確定分類標準，化難為易，不漏不重地歸類總結(jié)，解決問題，幫助學生構(gòu)建新的概念體系。

參考文獻：

[1]? 邱呈玲，宋慶福. 中學數(shù)學概念教學的策略研究[J]. 荊楚學刊， 2003（06）.

[2]? 崔友花，李慶民. 將概念教學進行到底——談數(shù)學教學中的概念教學[J]. 網(wǎng)絡(luò)科技時代，2007（16）.

[3]? 徐正洲. 在概念建構(gòu)中感悟分類思想——以《三角形按角分類》的教學為例[J]. 小學教學研究，2018（25）.