2種損傷變量之間關系的分析

崔 崧, 呂 嫣, 李惠玲,3

(1. 沈陽師范大學 物理科學與技術學院, 沈陽 110034; 2. 沈陽師范大學 遼寧省射線儀器儀表工程技術研究中心, 沈陽 110034; 3. 電子科技大學 物理學院, 成都 611731)

0 引 言

損傷變量是力學上描述材料內部性能劣化狀態的一個宏觀變量,是連續損傷力學中一個重要概念,可以依據一些宏觀的力學量(如彈性模量)引入標量、矢量、張量等不同形式的損傷變量[1-7],細觀損傷力學則力圖從細觀層次上對含有微觀缺陷的典型損傷單元進行分析,確定其有效彈性模量[8-12]。將2種方法有機地結合,是損傷力學將來發展的方向[13-14]。

一些學者根據損傷對材料拉伸和剪切模量的不同影響,提出了雙標量損傷模型[15-16],即拉伸損傷和剪切損傷。2種損傷都是微細觀缺陷的特征在宏觀的體現,因此它們之間并非相互獨立,而是具有一定的聯系,研究它們之間的關系可以一定程度上簡化損傷理論。

1 拉伸損傷和剪切損傷變量

考慮一個從薄板上截取的寬度和高度分別為2l和2h代表性單元,其中央有一長度為2a的裂紋,建立坐標系o-xy,裂紋沿x方向。令單元體分別承受拉伸和剪切載荷,如圖1、圖2所示。

圖1 受拉伸作用的單元體Fig.1 Element under tension

圖2 受純剪切的單元體Fig.2 Element under shear

由文獻[17-18],圖1對應的單元拉伸損傷變量D2和圖2對應的剪切損傷變量ω12分別為

則式(1)中的f1、f2的表達式為

同理,與剪切載荷作用下位移有關的函數為

2 2種損傷變量間的關系

利用式(1)和式(2)可以得到損傷變量D2和ω12的關系曲線,這里做2個算例。算例1保持圖1和圖2中的單元體尺寸l和h不變以及泊松比μ=1/3不變,令裂紋尺寸a逐漸增大的方式使損傷增加,并分別取h/l=0.6、1和1.4。計算結果如圖3所示:D2-ω12曲線形狀與h/l的取值有關,但是只有當損傷較大時,h/l對D2-ω12曲線形狀的影響才比較顯著,否則可以忽略這種影響。

算例2則在算例1的基礎上令泊松比μ分別取1/3、1/4和1/5,并取h/l=1不變,計算結果如圖4所示:D2-ω12曲線形狀也與泊松比μ的取值有關,當2種材料的泊松比μ的差值較大時,μ對D2-ω12曲線形狀的影響在損傷較小時就很明顯,并隨著損傷的增大這種影響也逐漸增大。

由圖3、4的曲線形狀可以認為D2與ω12的關系近似為多項式。利用式(1)和式(2),令

圖3 h/l對D2-ω12曲線的影響Fig.3 Influence of h-l on D2-ω12 relation cueve

圖4 μ對D2-ω12曲線的影響Fig.4 Influence of μ on D2-ω12 relation cueve

(3)

且k=k(ω12),由式(3),有

D2=D2(ω12)=k(ω12)ω12

上式令其在ω12=0處作Taylor展開,保留到3次,則有

(4)

式(4)即為2種損傷變量關系的近似式。其中式中的k(0)可由式(3)得到,k′(0)和k″(0)則可利用數值方法求出,例如當h/l=1,μ=1/3時,可以求出k(0)=2.666 7,k′(0)=-3.529 4,k″(0)=11.375 42,圖5為這種情況下的D2-ω12關系的實際曲線和按照式(4)得到的理論曲線的比較,圖6為當h/l=0.6,μ=1/3時實際曲線和理論曲線。

圖5 h/l=1時D2-ω12的理論曲線和實際曲線

圖6 h/l=0.6時D2-ω12的理論曲線和實際曲線

由上圖可以看到,2種情況下D2-ω12關系的理論曲線和實際曲線都符合的很好,表明公式(4)是實用的。

3 結 論

應用彈性力學理論的復變函數法,分析了平面應力問題的含裂紋單元的拉伸損傷變量和剪切損傷變量,并給出了具體的表達式,進一步分析了2種損傷變量之間的關系,得到了實用的簡單公式。計算結果表明,2種損傷變量的關系與泊松比μ及損傷的擴展方式有關。雖然分析的是簡單含裂紋單元,但是方法和結論可用來分析脆性材料內部復雜裂紋分布情況下的拉伸損傷和剪切損傷之間的關系。