基于線彈性斷裂力學的深埋水工隧洞水力劈裂分析

左擁軍

（萬年縣水利局，江西 萬年縣 335500）

近年來，我國水利行業發展迅速，在西部地區建成了許多大型水電站，這些水電站具有裝機容量大、水頭、地下水位高等特點，且大多數是位于高山峽谷地方。因此，水工隧洞常深埋于地下水位以下的位置，導致隧洞圍巖在開挖過程中面臨高地應力和高滲透壓力帶來的一系列問題[1]。由于在隧洞施工過程中，使得局部巖體應力狀況發生變化，而巖石表面存在的裂紋在有效應力作用下發生擴展，因此，裂紋面受到的有效應力是導致巖體破壞直接因素。在高滲透壓力和高地應力條件下，裂紋的水力劈裂作用會進一步加強，這種由于水力劈裂現象造成的事故在國內外也很常見[2，3]。崔少英等[4]通過對水工隧洞中水力劈裂臨界孔隙水壓力進行研究，得出了3 種類型裂縫和無裂縫情況下的臨界孔隙水壓力計算方法。彭立鋒等[5]通過模型試驗對高地溫水工高壓隧洞進行了研究，得出高地應力條件下水工隧洞水力劈裂位置與地應力側限系數的關系。針對深埋水工隧洞出現的水力劈裂問題，本文采用線彈性斷裂力學理論，重點分析在壓剪復合斷裂模式下廣義臨界水壓力與中心裂縫角度之間的關系。

1 圍巖壓力的計算

根據深埋水工隧洞在開挖過程中圍巖所處應力情況，計算圓形洞室圍巖中任意一點M（r，α）的應力，其應力分布圖如圖1 所示。圖中p 為豎直方向的壓應力，p = γH ，γ 為圍巖容重，H 為洞室頂部與地面的距離；q 為水平方向的壓應力，q=k0γH ，k0為側壓力系數。r0為洞室半徑，r 為從洞室中心位置算起的任意徑向距離，α 為圍巖中任意一點所處洞室方位角，σθ為切向應力，σr為徑向應力，τrθ為剪切應力。

圖1 圍巖應力分布圖

其中，σr，σα，τrθ可按文獻［6］進行計算：

2 深埋水工隧洞圍巖力學模型的建立

由文獻［1］可知深埋水工隧洞圍巖處于高地應力和高滲透壓力的特殊環境中，所以在運用斷裂力學分析裂紋擴展時，不能忽視水壓力這個重要因素。假設在單軸壓縮情況下，單位厚度巖體存在一條長為2a，與加載方向的夾角為β 的中心裂縫，裂縫中作用有滲透壓力P，設裂縫尖端裂紋的擴展方向與裂縫中軸線的夾角為θ0，則加載的荷載為σθ=( p+q )+2( p-q )cos 2α，如圖2 所示。

圖2 中心單裂縫巖體模型

裂縫面上的應力狀態為：

根據式（5）可知，裂縫面上既存在正應力σβ又存在剪應力τβ，因此，裂紋擴展失穩問題應屬于Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋問題。此時裂縫面上的正應力σβ有兩種情況：當σβ為拉應力時，裂紋擴展失穩應屬于拉剪復合型問題；當σβ為壓應力時，擴展失穩應屬于壓剪復合型問題。

3 基于線彈性斷裂力學的斷裂判據

由線彈性斷裂力學可知，當裂紋在復合型加載模式下，其擴展往往不是沿著軸線方向擴展的，而是與軸線成一定的夾角，這個夾角稱為斷裂角。最大周向應力理論作為目前研究復合型斷裂問題的重要方法，能很好地解決斷裂判據和斷裂角兩個方面的問題。

Ⅰ-Ⅱ復合型加載的裂紋端部區域應力分量在極坐標情況下的表達式為：

式中：θ 為裂紋尖端與x 軸之間的夾角。

最大周向應力理論有以下假設：1）裂紋沿最大軸向拉應力σθ所處截面進行擴展的，因此，該截面與原裂紋線之間的夾角即為斷裂角，用θ0表示（圖3）；2）裂紋開始擴展是因為最大周向應力達到某一臨界值，可以把這個臨界值作為材料的斷裂韌性KⅠc，此時裂紋的斷裂條件可表示為Ke=KⅠc。

圖3 斷裂角和最大軸向應力理論

其中，θ0可按下式計算：

由最大周向應力可知，裂紋擴展沿著斷裂角θ0形成新的裂紋線方向。而應力σθ( r，θ0)與新的裂紋線垂直，相當于在Ⅰ型加載情況下的應力σ（yr，0）。為此，根據Ⅰ型斷裂應力強度因子KⅠ的定義引入一個相當應力強度因子：

將式（8）代入式（9）可得：

將式（8）對θ 進行求導，并令其為0，則可得到：

3.1 拉剪復合斷裂判據

當σβ＜0 時，正應力為拉應力，這種情況屬于拉剪復合斷裂問題。此時裂縫面是張開型的，裂縫面間無滑動摩擦，將式（11）中得到的θ0代入Ke中，得到：

若巖體開裂則表明斷裂韌度Ke≥KⅠc，則可得到開裂時的臨界水壓力：

由式（11）可知，拉剪復合裂紋失穩起裂角與滲透水壓力相關，所以式（12）需進行迭代計算。由式（4）可知，σα與水平方向的壓應力q、豎直方向的壓應力p 和方位角α 有關。本文選取α =0°，30°，60°，90°進行討論。其中，q=k0p，在深埋水工隧洞條件下k0≥1/3。由此得到：

將式（14）代入式（13）即可得到不同方位角和拉剪狀態下巖體開裂時的臨界水壓力。

在式（14）中引入一個廣義臨界水壓力

由式（14）和（15）可知，廣義臨界水壓力與β ，θ0，k0有關。由于參數較多，計算較為復雜，本文就不再討論了。

3.2 壓剪復合斷裂判據

當σβ＞0 時，正應力為拉應力，這種情況屬于壓剪復合斷裂問題。此時裂縫面被壓緊并閉合，裂紋失穩的主要原因是由于裂縫面上的有效剪應力迫使裂縫面發生相對滑動，有效剪應力可按下式計算：

式中：φ 為裂縫面上的內摩擦角；c 為裂縫面的粘聚力。

同樣，選取α=0°，30°，60°，90°進行討論，由于σα取值是一致的，因此只需將式（14）代入式（17）即可得到壓剪復合狀態下巖體裂紋起裂時的臨界水壓力。

在式（17）中引入一個廣義臨界水壓力，可得：

由式（14）和（18）可知，廣義臨界水壓力與β ，φ，k0有關。其中，k0≥1/3，選取k0=1/3，1/3 ＜k0＜3（k0=2），k0=3，k0＞3（k0=4）進行分析，根據文獻［6］中的數據，取tan φ=0.365，得到在壓剪狀態下廣義臨界水壓力與裂紋方向之間的關系（圖4）。

由圖4 可知：1）隨著中心裂縫角度β 的增加，廣義臨界水壓力呈現先增加后減小的趨勢（其中k0=1/3，α=90°與k0=3，α=0° 除 外），并 且 當β=55° 時，廣義臨界水壓力取得最大值。2）當α=0°時，廣義臨界水壓力隨側壓力系數k0的增加而減小，并在k0=3 時為0。由此表明，當k0≥3時，水平方向水壓力不會對裂紋的擴展起作用。3）當α=30°時，廣義臨界水壓力與側壓力系數不相關，而是一固定值。4）當0°＜α ＜90°時，廣義臨界水壓力則隨側壓力系數的增加而增加，且當k0≥2，α=90°時，廣義臨界水壓力最大，由此表明，在豎直方向水壓力對裂紋的擴展有較大的貢獻作用。

圖4 壓剪復合斷裂時裂紋方向與廣義臨界水壓的關系

4 結語

由于深埋水工隧洞在開挖過程中圍巖的應力狀況會發生變化，并且圍巖還處于高地應力和高滲透壓力的環境中，這種環境會對巖體的破裂產生促進作用，其中，水力劈裂現象更為顯著。

1）在拉剪復合斷裂模式下，廣義臨界水壓力與中心裂縫角度β 、斷裂角θ0和側壓力系數k0相關；而在壓剪復合狀態下，廣義臨界水壓力與中心裂縫角度β 、裂縫面間的內摩擦角φ 和側壓力系數k0相關。

2）在壓剪復合斷裂下，當中心裂縫角度β =55°時，其廣義臨界水壓力取得最大值，在圍巖中任意一點所處洞室方位角α=30°時，其廣義臨界水壓力是一固定值。此外，當側壓力系數k0≥2時，洞室豎直方向的水壓力對裂紋擴展的貢獻最大；當k0=1/3 時，洞室水平方向的水壓力對裂紋擴展的貢獻最大。

3）深埋水工隧洞圍巖洞室的破壞是在高地應力和高滲透壓力共同作用導致的。