拓撲優化在結構工程中的應用

高文俊 呂西林

（1.同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，上海200092；2.同濟大學結構防災減災工程系，上海200092）

0 引 言

為了實現結構創新以滿足新的社會需求，從20世紀70年代開始，結構工程不斷吸收與融合工程力學、計算機科學、材料學、機電控制、信息工程、智能技術等學科的先進技術，從而極大地豐富了自身的內涵并取得了許多創新成果。在這些跨學科技術方法中，拓撲優化（Topology Optimization）尤為引人注目。拓撲優化自誕生起經歷長期發展與完善，在結構創新中逐漸顯露出自身獨特的優勢與可持續性，促進了前沿物理、聲學、光學、航空航天、機械制造、結構工程等諸多領域的技術進步與發展。在2000 年以后，隨著計算機性能的大幅度提升和并行計算技術的進一步發展與普及，拓撲優化的應用范圍進一步擴大：從比較簡單的二維平面應力問題，推廣到復雜的三維問題［1］；從靜力學問題，推廣到動力學問題［2］；從單一物理場問題，推廣到多物理場耦合問題［3］。尤其是近10 年來，越來越多的工程結構借鑒了拓撲優化的結果，拓撲優化已成為工程結構創新的有力工具。主要的拓撲優化數值方法可分為基結構法［4］、均勻化方法［5］、密度法［6］以及水平集法［7］等；其中，基結構法主要用于桁架桿系結構的優化，而均勻化方法、密度法以及水平集法主要用于連續體結構的優化，詳細的拓撲優化方法介紹可以參考綜述文獻［8］。

對于工程結構而言，拓撲優化的研究對象是結構材料在三維空間內的分布形式。無論是尺寸優化還是形狀優化都需要一個給定的結構布置形式，并且這個給定的結構布置形式在優化過程中不會發生拓撲變化，既不會出現新的孔洞，也不會改變既有構件的連接方式。在傳統的結構設計過程中，結構的布置形式往往依據設計人員的工程經驗給出，從而具有主觀性。而拓撲優化并不需要這樣一個既定的結構布置，并且在優化過程中允許結構的拓撲性質不斷發生變化，最終給出優化結果。

在結構理論層面，拓撲優化結果能夠加深對“最優”結構形式的理解與認知。例如，Sigmund等［9］基于拓撲優化的數值結果指出：對于各向同性材料而言，類似Michell桁架（實際上，Michell桁架并不是一般意義上的桁架，而是一種非均勻各向異性連續體）的二力桿系結構并不總是最小化柔順度問題（minimal compliance problem）的最優解；該問題的最優解在二維或者三維情況下有可能是變厚度的板殼連續體結構；而類似Michell 桁架的優化結果是由于有限元網格劃分不夠精細或者約束了構件的最小尺度（minimum length-scale）導致的。Aage 等［10］基于密度法對單元量級在千兆（10 億）的機翼結構以剛度最大為目標進行拓撲優化，其優化結果表明機翼最優的結構形式由桿件、曲面肋板、連續的變厚度墻體復合而成。Sigmund 與Aage 的研究表明在邊界條件和設計域較為復雜的情況下，高效的結構具有較為復雜的組成形式，并且可能包含曲面形式的連續體。

近年來，通過與具體的工程問題結合，拓撲優化在結構工程領域內涌現出許多新的應用。針對不同的工程問題，這些應用主要可以歸納為以下四個方面：①混凝土構件的配筋；②結構構件的布置；③結構構件的形態優化；④結構找形。通過拓撲優化得到的配筋布置形式能夠提高混凝土構件的承載力。設計純框架結構中支撐的布置位置以及選擇超高層建筑結構中伸臂桁架所在的樓層則屬于結構構件的布置問題，這類問題也可以利用拓撲優化獲得合理的布置方案。而對結構構件的形態進行拓撲優化一方面可以減小構件的自重，例如，對鋼梁腹板、翼緣板的開洞布置與開孔形狀進行優化；另一方面也可以改善構件的力學性能，例如，通過對金屬桿件的截面形式進行拓撲優化從而提高桿件的屈曲臨界荷載。當拓撲優化用于結構找形時，則以結構整體為優化對象，得到指定條件下合理的結構形式。如果拓撲優化得出的結構形態較為復雜，通常還需要工程師對優化結果進行簡化與歸并，以便實際的施工與建造。這些應用為結構設計與建造開拓了新思路，對更加高效的結構形式進行了探索與嘗試。本文將對目前拓撲優化技術在結構工程領域內的應用進行介紹。

1 拓撲優化在結構工程中的應用

1.1 鋼筋混凝土構件配筋

在靜力荷載作用下并且允許的體積率較低時，拓撲優化的結果往往接近純桿件構成的桁架結構。在文獻［11-12］中，這些類似桁架的拓撲優化結果被視為鋼筋混凝土構件在靜力作用下所形成的拉壓桿模型，可以簡潔地表達鋼筋混凝土構件在既定荷載作用下的最優傳力路徑。這些研究認為，依據優化得到的拉壓桿模型，在拉桿處布設受拉鋼筋更為合理，但是這些研究在優化的過程中沒有考慮鋼筋與混凝土的材料非線性，而把整個設計域視為各向同性的彈性體。文獻［11］采用漸近結構優化法，給出的算例以最小化結構總重量為優化目標，要求結構的位移需小于設置的限值；優化結果如圖1 所示，圖中給出了幾種簡單工況下的優化結果以及所對應的拉壓桿模型。其中，優化結果可能帶有繁雜的枝節，而實際應用中則希望配筋的布置盡可能簡潔，所以拉壓桿模型會根據優化結果作進一步簡化。

圖1 拓撲優化結果與拉壓桿模型［11］Fig.1 Results of topology optimization and strut-and-tie models［11］

Gaynor等［13］結合基結構法與密度法使用拓撲優化獲得鋼筋混凝土構件的拉壓桿模型。在該研究中，混凝土與鋼筋分別用實體單元和桁架單元表示；混凝土區域與鋼筋部分同時進行優化；以結構整體應變能最小為優化目標，并對使用的材料用量進行限制；給出的算例如圖2 所示，圖中黑色區域代表混凝土形成的壓桿，而紅色線條則表示鋼筋形成的拉桿。Yang 等［14］將Gaynor 使用的方法推廣到三維的情況。Amir［15］也采用了與Gaynor類似的方法，不同之處在于混凝土本構中考慮了損傷機制。

圖2 用于構建拉壓桿模型的混合拓撲優化結果［13］Fig.2 Hybrid topology optimization results for generating strut-and-tie models［13］

1.2 結構構件的布置

拓撲優化能夠進一步完善現有的結構體系，對原有結構體系中的結構構件布置給出更優的方案。目前，這類應用主要體現在兩個方面：一方面是優化高層建筑中伸臂桁架的布設位置；另一方面是優化框架結構中支撐的布置。對于高層建筑，如果只布設一道伸臂桁架，通過窮舉法可以找到最優的布置位置；但是若需要布設多道伸臂桁架，使用窮舉法尋找最優布設位置的計算代價通常難以接受，而使用拓撲優化則有更高的效率。

Lee 等［16］把超高層建筑中所有可能布設伸臂桁架的位置視為設計域，如圖3 所示，該設計域由離散的桁架桿件組成，每層伸臂桁架桿件的橫截面積被視為設計變量，而伸臂桁架桿件的材料用量則作為約束條件，以風荷載作用下結構整體應變能最小為目標進行優化。Zhu 等［17］研究了隨機激勵下結構動力響應的拓撲優化問題。其中的一個算例采用了基結構法研究了伸臂桁架布置位置的優化問題，以最小化地面隨機激勵下結構頂層水平位移響應的方差作為優化目標，并對伸臂桁架構件的總體積設置上限，通過優化得到了布設伸臂桁架的最優樓層位置。其研究表明最優的布設位置取決于隨機激勵主要頻率與結構自振頻率之間的關系。

圖3 設計域中伸臂桁架的初始布置［16］Fig.3 Initial layout of outriggers in the design domain［16］

Zhu 等［17］還對隨機激勵下框架結構中支撐布置的拓撲優化問題進行了研究。優化問題將最小化結構頂層水平位移響應的方差作為優化目標，并對支撐材料的總用量設置了上限，采用基結構法對支撐布置位置進行拓撲優化。為了比較隨機動力優化結果與等效靜力優化結果之間的區別，Zhu 等［17］對具有相同立面構形的框架，見圖4（a），進行了框架剛度、支撐尺寸以及樓層質量這三方面的變化，從而獲得不同的測試模型。框架剛度被分為強、中、弱三種等級；支撐尺寸被分為大、中、小三種等級；樓層質量被分為大、中、小三種等級。因此，共有27 種測試模型，對每種測試模型分別進行隨機動力優化與等效靜力優化。圖4（b）展示了框架剛度等級為強、支撐尺寸等級為大、樓層質量等級為中的框架在隨機動力優化下得到的支撐布置結果；圖4（c）展示了框架剛度等級為強、支撐尺寸等級為大、樓層質量等級為大的框架在隨機動力優化下得到的支撐布置結果。圖4（b）與圖4（c）中的框架與支撐具有相同的剛度，但是由于圖4（c）中樓層質量被放大，使得結構周期延長，導致優化結果的改變。然而，圖4（b）與圖4（c）對應的框架在等效靜力優化中獲得了相同的結果，如圖4（d）所示。這表明，在該情況下隨機動力優化并不能被等效靜力優化所取代，二者有顯著區別。

圖4 隨機激勵下框架支撐布置的拓撲優化［17］Fig.4 Topology optimization of brace placement in frames under stochastic excitation［17］

Gholizadeh 等［18］對框架結構中支撐的布置位置進行離散拓撲優化，優化目標為最小化結構的總重量，同時考慮了性能設計約束條件、構件幾何尺寸約束條件以及構件強度約束條件。其中，性能設計約束條件指根據不同性能水準下的性能指標定義的約束條件，為了使得優化結果滿足指定的性能要求。這些與結構性能設計相關的約束條件包括：層間位移角小于規范限值、柱構件的塑性鉸轉角小于規范限值以及支撐的軸向變形小于規范限值。該研究中，拓撲設計變量獨立于梁、柱、支撐的幾何尺寸。如圖5（a）所示，對各樓層的每一跨框架可以定義兩個拓撲設計變量XTi和XTj，分別對應兩種可能的支撐布置位置。拓撲設計變量的值只允許取0或1；0代表該位置沒有支撐，而1 代表該位置有支撐。在優化過程中，結構的抗震性能通過推覆分析（Pushover Analysis）獲得。從支撐布置的優化結果可以看出，如圖5（b）和圖5（c）所示，各樓層支撐并沒有在同一跨內從上到下連續布置，而是隨樓層的不同而變化，相互之間交錯排布。

圖5 框架支撐布置的拓撲優化［18］Fig.5 Topology optimization of brace placement in frames［18］

1.3 結構構件的形態優化

拓撲優化也可以用于改進結構構件的形態［19］，從而使得整體結構獲得更好的性能。Briseghella 等［20］將拓撲優化用于鋼箱梁底部翼緣的開孔設計，為了減輕一座組合梁橋的自重，如圖6 所示。拓撲優化采用了密度法，以最小化結構應變能為目標，限定了允許使用的最大材料用量。該橋因建造經費問題而一度停工，再建時卻發現原設計方案難以滿足新的抗震設計規范。為保留已建成的下部結構，唯有減輕橋梁上部結構的重量。經過拓撲優化后，新的設計在保證橋梁承載力與剛度的同時顯著降低了上部結構的自重，從而減小了整體結構的抗側力需求。

圖6 鋼箱梁底部翼緣開孔設計［20］Fig.6 Cavity design for the bottom flange of steel box girders［20］

Briseghella 等［21］還將基于密度法得到的拓撲優化結果應用于鋼筋混凝土殼體的設計中，見圖7。在優化過程中，通過調整殼體的材料分布，殼體受彎的區域逐漸減少，從而避免了拉應力的出現，有益于混凝土裂縫的控制；另一方面，優化后的殼體有較大面積的開孔，可以減少結構的材料用量。拓撲優化也可以結合其他優化策略與方法用于鋁制梁柱構件的截面優化［22］，如圖8 所示，從而增加構件的剛度與穩定性。Baandrup等［23］基于密度法對懸索橋的加勁梁進行拓撲優化，優化以最小化結構應變能為目標，并限定了允許使用的最大材料用量，優化結果見圖9。該研究認為，漸近分布的曲面肋板比等間距分布的平面肋板具有更高的結構效率，從而可以通過減小肋板的厚度降低結構的材料用量。但是，該研究沒有考慮肋板的穩定性問題，過薄的肋板難以用于實際工程。

圖7 薄殼結構的拓撲優化［21］Fig.7 Topology optimization of thin-shell structures［21］

圖8 柱截面優化結果［22］Fig.8 Optimization results of column cross-section profiles［22］

1.4 結構找形

圖9 懸索橋大梁的拓撲優化［23］Fig.9 Optimization results of girders in suspension bridges［23］

結構找形的目的是為了找到合理高效的結構形態。在結構工程中，一個明確的結構形態需包含以下三個要素：①構件的幾何外形；2）構件之間的連接關系；③構件的空間位置。尺寸優化和形狀優化針對的只是構件的幾何外形，通常能給出較為精細的結果。而拓撲優化則同時涵蓋這三個層次，可以通過改變構件之間的連接關系與空間位置提升結構效率，從而成為結構找形的方法之一。

當設計域劃分較為粗糙時，拓撲優化結果很難在構件層次上給出精細的幾何外形［24-25］，只能給出較為簡略的結構形態，如圖10（a）（b）所示。當設計域劃分的精細程度提升以后，拓撲優化結果可以清晰地展示所有的結構細節，見圖10（c）。對于局部結構或者結構構件的設計常使用精細的數值模型，從而獲得更加細致的結構形狀與幾何信息。對于較為復雜的整體結構，則可以使用較為粗略的數值模型以避免難以接受的計算代價。通常使用粗略的數值模型獲得的優化結果無法提供精確的幾何信息，但拓撲優化結果能夠給出合理高效的結構形式，為設計人員在概念設計與初步設計階段提供有價值的參考。

圖10 不同精細度下的優化結果Fig.10 Optimization results under different resolutions

一方面拓撲優化可用于桁架結構的找形［26-27］；另一方面拓撲優化也可用于框架結構體系中抗側力系統的找形［28-30］。文獻［28］采用了密度法對框架結構的抗側力系統進行了拓撲優化。優化過程中，框架體系作為已知的結構部分內嵌于設計域中，在優化過程中不發生變化，設計域單獨針對抗側力系統；拓撲優化以最小化結構應變能為目標，限定了允許使用的最大材料用量。Allahdadian等［29］使用時域方法考慮地震激勵下抗側力系統的優化問題，采用密度法進行了拓撲優化，目標函數為自定義的結構位移范數在時域內的積分，并研究了使用持時較短的脈沖信號替代真實地震波對優化結果的影響。Qiao等［30］對具有不同抗側力系統的框架結構進行了地震激勵下的非線性時程分析，并對比了結構的損傷程度。圖11（a）是Qiao 等［30］使用拓撲優化方法得到的典型框架抗側力系統。整個抗側力系統由相互斜交的桿件組成，每根桿件并不是直線而是曲線；此外，這些桿件的布置并不受到樓層或框架的約束，與支撐布置問題的優化結果相比更加自由。圖11（b）是圖11（a）簡化后的結果，非線性時程分析中采用圖11（b）中的結構與傳統的支撐框架（見圖11（c）和圖11（d））進行對比。圖11中圓點表示地震激勵下構件的屈服位置。對比結果表明：在材料用量相同的情況下，按拓撲優化結果進行支撐布置的框架其抗震性能優于傳統的支撐框架，并且依據拓撲優化結果設計的抗側力系統能使框架受到更少的損傷。徐佳琦等［31］基于連續體拓撲優化對結構的抗側力體系進行了研究，研究發現通過引入層間位移角限值約束后，拓撲優化結果具有明確的支撐框架形態，并且避免了不易建造的細微結構。

圖11 具有不同抗側力系統的框架在地震作用下的損傷［30］Fig.11 Seismic damage in the frames with different lateral load resisting systems［30］

超高層建筑結構抗側力體系是決定超高層建筑結構是否經濟合理的關鍵［32］。近年來，超高層建筑呈現主要抗側力構件周邊化、支撐化、巨型化和立體化的特點，對結構效率的要求也越來越高。文獻［33-35］對于超高層建筑結構抗側力體系進行拓撲優化，從而衍生出新的結構類型，促進了超高層建筑結構抗側力體系的發展。Stromberg等［33］基于密度法對超高層建筑的外周結構進行拓撲優化，以結構整體應變能最小為優化目標，限制允許的最大材料用量，設計域為下方上圓的漸變筒體，優化結果如圖12（a）所示，優化后的外周結構以重復漸變的斜交構件為主要特征。Stromberg等［34］的研究表明：在各區間內，巨型斜交桿件的最優相交節點在該區間3∕4 高度的位置，如圖12（b）所示，并且這一結論與虛功原理的推導結果一致。文獻［35-37］得到了類似的優化結果。

圖12 高層建筑抗側力系統找形Fig.12 Form finding of lateral force resisting system in tall buildings

以拓撲優化結果為主要形態特征的外周結構逐漸出現在超高層建筑的結構設計方案中［32，38-41］。文獻［38-39］展示了外周結構為斜交網格的超高層建筑結構設計方案，如圖13（a）（b）所示。對于高約300 m 的塔樓，抗側力系統包括外圍的斜交網格以及內部的鋼筋混凝土核心筒，兩者共同承擔豎向力和側向力。斜交網格形成的外周結構使得結構整體剛度較大，不需要設置環帶桁架或伸臂桁架即可滿足層間位移角的要求。此外，在外周結構剛度足夠大的情況下，可以減小核心筒占用的面積，使內部的建筑空間更加開闊。葛文澤［40］使用PERFORM-3D 軟件對圖13（a）中所示具有拓撲優化結果特征的超高層結構進行了抗震性能分析，研究了該結構體系在地震作用下的塑性發展順序，對圖13（a）中所示結構是否滿足實際工程要求進行了數值模擬檢驗，為將來可能的工程應用提供了參考信息。然而文獻［38-39］中展示的外周結構，結構工程中一般稱為米歇爾桁架，是斜交網格結構在側向荷載作用下以結構剛度最大為優化目標的優化結果。但是，如果考慮水平荷載和豎向荷載組合工況，則類似米歇爾桁架的斜交網格結構不一定是超高層建筑外周結構的最優形式。因此，該問題的研究有待進一步完善。

Chung 等［41］展示的超高層建筑結構設計方案中，外周結構采用了更加簡潔的形式，見圖13（c）。該結構形式與Stromberg 等［34］的優化結果類似，側向荷載經由斜交桿件傳遞至角柱。這些斜交桿件以軸向變形為主，具有較高的結構效率，但會導致樓面梁有軸向力。陳才華等［42］對巨型斜撐框架-核心筒超高層結構進行了模型振動臺試驗。試驗結果表明：以斜交桿件為特征的外周結構不僅增加了整體抗側剛度，使剛度沿豎向的分布更均勻，同時增加了整體抗扭剛度。

圖13 超高層建筑抗側力系統設計Fig.13 Designs of lateral force resisting system in super tall buildings

2 未來的研究趨勢與發展方向

本文回顧了近年來拓撲優化在結構工程中的應用，涉及鋼筋混凝土構件的配筋、結構構件的形態優化與布置優化以及結構整體找形等多個層面，并對當前的發展現狀進行了介紹，為今后的應用與研究提供了較為豐富的參考文獻。在結構工程的未來發展中，結構設計會更加精細與合理，結構形式將不斷優化。其中，結構創新是歷久彌新的主旋律，而拓撲優化作為結構創新的一種重要手段將為結構工程的發展注入新的活力。特別是在非傳統結構設計與功能結構設計中，拓撲優化具有廣闊的應用前景。其中，具有價值的應用方向包括但不限于：

（1）設計受力復雜的構件或者節點。鋼結構網架的支承節點往往有多根桿件匯交，常采用半球狀鑄鋼連接節點，而高位斜撐—柱轉換支承節點常采用分叉樹枝狀鑄鋼連接節點，這類鑄鋼節點受力復雜設計難度高。目前，已有學者開展了探索性的研究［43］，將拓撲優化應用于復雜節點的設計，以提高此類節點的整體性能。此外，拓撲優化也可以應用于索桿結構中典型節點的設計，從而獲得受力合理、形式新穎且具有美感的節點形態［44］。

（2）優化需要大量重復制作的預制構件，以及需要重復建設的基礎設施。由于需要重復制作或建造，減少結構的材料用量能帶來巨大的經濟效益。而拓撲優化是提升結構效率，減少結構材料用量的有效方法。

（3）復雜結構、超高層結構整體找形。大高寬比（大于10∶1）、傾斜體型、扭轉體型、核心筒偏置等復雜形體的超高層建筑以及由超高層建筑群組成的“空中城市”將給結構設計和施工提出更大的挑戰［32］。尋求高效合理的結構體系是這類高難度結構設計的關鍵，而使用拓撲優化能為復雜的結構設計提供合理的結構形式。

（4）提升動力作用下的結構性能。在大跨橋梁或者超高層建筑抗風問題中，結構形體與顫振、渦振等動力現象緊密相關。合理的結構形體能有效減小這些負面的振動效應，提高結構的安全性。而拓撲優化是獲得合理結構形體的有效方法，通過拓撲優化減小結構的風致振動是未來的研究方向。在建筑結構抗震中，可以對結構抗側力構件的布置或者結構的抗側力體系進行拓撲優化，從而提升結構的抗震性能。但是，此類研究中目前多采用靜力荷載或者等效靜力荷載進行結構優化，沒有充分考慮結構的動力特性，所以在未來的研究中還有待完善。

目前與結構拓撲優化相關的研究主要側重結構的優化方法，已開展的研究常以優化方法的局部細節改進為創新點，注重闡明改進后的優化方法帶來的變化，但缺少面向工程應用的考慮與討論，也缺乏系統的對比分析和試驗驗證。系統的對比分析需包括：1）結構的線性與非線性性能分析；2）結構的魯棒性；3）結構造價與結構的材料用量。其中，結構造價是工程實踐所關心的問題，但是經常被忽略。試驗驗證則包含靜力試驗與動力試驗兩個方面。其中，使用振動臺對新型結構進行模擬地震激勵試驗是研究結構抗震性能的有效方法。在試驗的過程中，由于拓撲優化結果通常具有較多的復雜匯交節點，試驗模型的制作與加工將會面臨挑戰。

目前可以實現拓撲優化的軟件有Altair Solidthinking Inspire、HyperMesh、Altair OptiStruct

等，一些著名的大型商用計算分析軟件（例如，AnsysAbaqusComsol 等）也添加了相應的結構拓撲優化模塊，以便普通結構設計人員使用，降低了拓撲優化的應用門檻。然而，對于復雜的拓撲優化問題，商用計算軟件中的內嵌模塊并不能充分滿足要求，也不能提供靈活的計算框架。目前，研究人員解決復雜拓撲優化問題時，仍然傾向使用面向過程的編程方式建立有限元模型并編寫優化程序。這需要具備相關的編程經驗以及數值計算方面的專業知識與技巧。因此，拓撲優化在復雜問題中的應用往往需要經驗豐富的研究人員參與。在未來，拓撲優化技術將進一步發展，并且與結構工程的聯系會更加緊密，相關的技術應用值得結構工程領域研究人員關注與學習。